《4 题典 习题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《4 题典 习题.docx（14页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、4 题典 习题第4章 线面积分 练习题 三、本章练习题 1计算下列对弧长的曲线积分： eCx2+y2ds,其中C是圆周x2+y2=4. y2ds,其中C为右半单位圆周. Cxyds, 其中C为抛物线2x=y2上由A(1,-1)到B(2,2)的一段弧. C2(x+y)ds, 其中C是连接点O(0,0),A(1,0),B(1,1)的三角形边界. C2.计算下列对坐标的曲线积分： xydx+(y-x)dy，其中C为 C1) 直线y=x从点(0,0)到点(1,1)的线段； 2) 抛物线y=x2从点(0,0)到点(1,1)的一段弧； 3) 立方抛物线y=x3从点(0,0)到点(1,1)的一段弧. x2y
2、2ydx+xdy, 其中C为沿逆时针方向的上半椭圆2+2=1. abC222xydx+x2dy, 其中C为圆周x2+y2=a2上由A(0,a)到B(a,0)的较短的一段弧. C22(x+y)dy, 其中C为直线x=1,y=1,x=3,y=5构成的矩形按逆时针方向的边C界. xyxy2(e+2xcosy)dx+(e-xsiny)dy化为相应的二重积分，其中C是平面3.把线积分C区域D的正向边界. . 4.用格林公式计算沿下列曲线C的曲线积分： x2y2(x+y)dx-(x-y)dy,C为2+21的边界曲线的正向； (1)abCxe(2)(1-cosy)dx-(y-siny)dy,C为区域0xp,
3、0ysinx的边界曲线的正向. CC(x+y)dx-(x-y)dy,其中C为圆周x2+y2=a2逆时针方向绕行一周. 22x+y 1 第4章 线面积分 练习题 xydx+2xdy，其中C为抛物线x=y2，直线y=1及x=0所围成区域C的整个边界 5.计算曲线积分(y2+xe2y)dx+(x2e2y+1)dy，其中C是沿第一象限半圆弧C(x-2)2+y2=4,由点O(0,0)到A(4,0) 一段弧. 6.计算曲线积分(2xy+3xex)dx+(x2-ycosy)dy,其中C为抛物线y=1-(x-1)2，从C点O(0,0)到A(2,0)的一段弧. 7计算曲线积分edx+2xyedy，其中L是从原点
4、沿y=x至点A(1,1)的直线段. L(5,2)y2y28.验证曲线积分(3,4)(3,4)xdx+ydy与路径无关，并计算其值. 22x+y9.判断积分(1,2)(6xy2-y3)dx+(6x2y-3xy2)dy是否与路径无关，并计算此积分. xsiny3cxodsx-10.验证4sin3coys3cxodsy2整个xOy平面内是某个二元函数在u(x,y)的全微分，并求这样的一个u(x,y). 11.求曲面积分(x2+y2-z2-1)dS，其中S是z=x2+y2,0z1的部分. S12.计算曲面积分z2dS,其中S是柱面x2+y2=4介于z=0,z=3之间的部分. S13.设抛物面壳S:z=
5、12(x+y2),(0z0)所围成的立体表面的外侧. 16计算曲面积分xdydz+ydzdx+(z+1)dxdy，其中S是曲面z=1-x2-y2在z0S部分的下侧. 17计算曲面积分333xdydz+ydzdx+zdxdy，其中S是曲面Sz=-R-x2-y2的下侧. 18.计算下列向量场在指定点的散度： r(2)A(2,1,-2)=xy,yz,zx(2,1,-2). rrrrxy219.求向量场A=ei+cos(xy)j+cos(xz)k的散度： rrrkF=-(x i+y j)的作用，在半平面(x0)上运动证明该力对质点20一质点受力3r所作的功与质点运动的路径无关，其中r=x2+y2. 2
6、1填空题 (1)设C是连接原点和P(1,1)的直线段，则xds . C(2)设C是下半圆周y=-a2-x2(a0)，则x2+y2ds . C(3) 设C是沿右半圆周x2+y2=a2由(0,-a)到(0,a)的半圆弧则xdy= . C(4) 曲线积分ydx的值是 ，其中路径C是沿抛物线y2=x从点(1,-1)到点(1,1)C的一段弧. (5)设C是原点向P(1,8)连接的有向直线段，则dx+xdy . C(6) 设L是以点O(0,0),A(2,0),B(2,1)为顶点的三角形的边界，方向为逆时针方向，则ydx-xdy= . L(7)设L是正向的圆周x2+y2=9，则曲线积分(2xy+2y)dx+
7、(x2-4y)dy= . L22x+yx2x22+y1上具有连续的二阶偏导数，L是椭圆周(8)设f(x,y)在+y2=1顺时针44 3 第4章 线面积分 练习题 (x,y)dy= . 方向的曲线，则-3y+fx(x,y)dx+fyL(9)设函数f(x,y)可微，则当f(x,y)满足 条件时，积分f(x,y)(ydx+xdy) C与路径无关 (10)设L是沿上半圆周y=2x-x2，由O(0,0)到P(2,0)，则积分 222(x+2xy)dx+(x-y)dy= . Lx2y2(11)设C为沿上半椭圆2+2=1由(a,0)到(-a,0)， ab则(x2-2y)dx+(2x-y2)dy= . C(1
8、2) 设S是圆柱面x2+y2=a2介于z=0,z=1之间部分的外侧，则 22(x+y)dxdy= . S(13)设S是由锥面z=x2+y2及z=2所围成的封闭曲面的外侧. 则zdxdy= . S22单项选择题 (1)设曲线L是从A(0,0)到B(4,3)的直线段，则曲线积分(x-y)ds= . L43(A) x-xdx ; 0434 (C) y-ydy ; 03439(B) x-x1+dx ; 0416 (D)94y-y1+dy .01633(2) 设C是直线x+y=2上界于(0,2)和(2,0)的一段，则x+yds= . C(A)4 ; (B)22 ; (C)2 ; (D)2. (3) 设C
9、为曲线y=-x上对应由(1,-1) 到(0,0)的一段，则(x-y)dy= . C(A)(y2-y)dy ; (B)(y2-y)dy ; (C)-1001011x+11dx ; (D)(x+x)1+dx.024xx2y2ydx+xdy= . (4)设C为椭圆2+2=1的正向，则曲线积分abC(A)-1 ; (B)1 ; (C)2 ; (D)0. 4 第4章 线面积分 练习题 (5)设C是上半单位圆x2+y2=1，由(1,0) 到(-1,0)的半圆弧，则 C2xydx+x2dy . (A)0 ; (B)p ; (C)2p ; (D)2. (6)设C是抛物线y=1-x2上由(1,0) 到(0,1)
10、的一段弧，则 Cy2dx-x2dy= . 1(A)(1-x2)2-x2(-2x)dx ; 0 (B)(y22x3)dx ; 01 (C)(1-x2)2-x2(-2x)dx ; 10 (D)(y2-x2)dx.10(7)设C是沿上半圆周y=2x-x2由O(0,0)到A(2,0)，则 22. xydx-xydy= L(A)0 ; (B)-(x2+y2)dxdy ; (C)-4xydxdy ; (D)(x2+y2)dxdy. DDD(8) 设S是抛物面z=x2+y2在第一象限中介于z=0,z=2之间部分的下侧，则 dS S . 20(A)2p0dq1+4r2rdr;(B)2p0dq201+4r2rdr;(C)2p0dqr01+4r2rdr;(D)2p0dq20rdr(9)设S1表示上半球面x2+y2+z2=R2，z0的上侧，S2下半球面x2+y2+z2=R2，z0的下侧，若I1=zdxdy，I2=zdxdy，则必有 . S1S2(A)I1I2 ; (B)I1I2 ; (C)I1=I2 ; (D)I1I2=0. (10)设S是平面块：z=x,0x1,0z2的左侧，则ydzdx= . S(A)-1 ; (B)1 ; (C)1 ; (D)-2. 2 5
