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1、41高等数学同济大学第六本习题4-1 1. 求下列不定积分: (1)1x2dx; -2 解 1x2dx=xdx=1-2+1x-2+1+C=-1x+C. (2)xxdx; 3 解 xxdx=x2dx=321+13x2+1+C=25x2x+C. (3) 解 1xdx; -121xdx=xdx=-112+1x-12+1+C=2x+C. (4)x23xdx; 7 解 x23xdx=xdx=3173+17x3+1+C=310x33x+C. (5)1x2dxx; -52 解 1x2xdx=xdx=-152+1x-52+1+C=-32xx1+C. m (6)xndx; n 解 xdx=xmdx=nmmn1+
2、1nxm+1+C=mn+mm+nxm+C. (7)5x3dx; 解 5x3dx=5x3dx=x4+C. 45 (8)(x2-3x+2)dx; 解 (x2-3x+2)dx=x2dx-3xdx+2dx=x3-x2+2x+C. 3213 (9)dh2gh(g是常数); 解 dh2gh=12gh-12dh=12g12h2+C=2hg+C. (10)(x-2)2dx; 解 (x-2)2dx=(x2-4x+4)dx=x2dx-4xdx+4dx=x3-2x2+4x+C. 31 (11)(x2+1)2dx; 解 (x2+1)2dx=(x4+2x2+1)dx=x4dx+2x2dx+dx=x5+x3+x+C. 5
3、312 (12)(x+1)(x3-1)dx; 132323 解 (x+1)(x-1)dx=(x-x+x-1)dx=xdx-x2dx+x2dx-dx =x-x2+3321323255x2-x+C. (13)(1-x)x(1-x)x4dx; 2 解 (14) 解 (15) 解 dx=21-2x+xxdx2dx=(x-12131-2x2+x2)dx=2x2-433x2+255x2+C. 3x+3x+1x+13x+3x+1x+1x222422; 2dx=(3x+1x+12)dx=x+arctanx+C3. 1+xx2dx; x+1-11+x221+x2dx=dx=(1-11+x2)dx=x-arcta
4、nx+C. (16)(2ex+)dx; x 解 (2ex+)dx=2exdx+3dx=2ex+3ln|x|+C. xx (17)(31+x31+x22331-21-x21-x22)dx; 解 (-)dx=311+x2dx-211-x2dx=3arctanx-2arcsinx+C. (18)e(1-xe-x)dx; x 解 ex(1-e-xx)dx=(e-xx-12x1)dx=e-2x2+C. (19)3xexdx; 解 3edx=(3e)dx= (20)23-523xxxxxxx(3e)xln(3e)+C=3exxln3+1+C. dx; 解 23-523xx2x2x52x3dx=2-5dx=
5、2x-5+C=2x-+C23ln2-ln33ln3. (21)secx(secx-tanx)dx; 解 secx(secx-tanx)dx=(sec2x-secxtanx)dx=tanx-secx+C. (22)cos2dx; 2 解 cos2xx2dx=1+cosx2dx=1(1+cos2x)dx=12(x+sinx)+C. (23)dx; 1+cos2x 解 dx=dx=tanx+C. 21+cos2x22cosx (24)dx; cosx-sinx 解 dx=dx=(cosx+sinx)dx=sinx-cosx+C. cosx-sinxcosx-sinx (25) 解 (26)(1- 解
6、 1x21111cos2xcos2xcos2x-sin2xcos2xcoscos2xsinxsin2xxdx; dx=coscos2cos2x22x-sin222xxsinxdx=(1sin2x-1cos2x)dx=-cotx-tanx+C. )xxdx; 3-5411-x2xxdx=(x4-x)dx=477x4+4x-14+C. 2. 一曲线通过点(e2, 3), 且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数, 求该曲线的方程. 解 设该曲线的方程为y=f(x), 则由题意得 y=f(x)=11x, 所以 y=dx=ln|x|+C. x2 又因为曲线通过点(e, 3), 所以有=3-2=1
7、3=f(e 2)=ln|e 2|+C=2+C, C=3-2=1. 于是所求曲线的方程为 y=ln|x|+1. 2 3. 一物体由静止开始运动, 经t秒后的速度是3t(m/s), 问 (1)在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ (2)物体走完360m需要多少时间？ 解 设位移函数为s=s(t), 则s=v=3 t2, s=3t2dt=t3+C. 因为当t=0时, s=0, 所以C=0. 因此位移函数为s=t 3. (1)在3秒后物体离开出发点的距离是s=s(3)=33=27. (2)由t 3=360, 得物体走完360m所需的时间t=33607.11s. 4. 证明函数e212x, eshx和echx都是xxexchx-shx的原函数. 证明 exexex=x-x=e2x. x-x-xchx-shxe+ee-ee-2222exchx-shx 因为(1e2x)=e2x, 所以1e2x是的原函数. 因为 (exshx)=exshx+exchx=ex(shx+chx) 所以exshx是ex-e-xex+e-x=e(+)=e2x, 22xexchx-shx的原函数. 因为 (exchx)=exchx+exshx=ex(chx+shx) 所以echxxex+e-xex-e-x=e(+)=e2x, 22xex是chx-shx的原函数.
