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1、521抽样分布与参数估计第五章 抽样分布与参数估计 内容提要 一 样本与统计量 1 总体与样本 一批对象是一个总体. 其中任何一个对象是一个个体. 设总体X是随机变量, 如果X1,X2,L,Xn是与总体具有同一分布函数F(x), 且相互独立的随机变量, 则称X1,X2,L,Xn为来自总体X的容量为n的简单随机样本. 2 统计量 设X1,X2,L,Xn是来自总体X的样本, g(x1,x2,L,xn)是连续函数, 且其中不含总体的未知参数, 则称函数g(X1,X2,L,Xn)为统计量. 常用统计量： 1n(1) 样本均值: X=Xi ni=11n1n222(2) 样本方差: S=(X-X)=X-n
2、Xii n-1i=1n-1i=12S2 1nk(4) 样本k阶原点矩: Ak=Xi ni=1(3) 样本标准差: S= 二 抽样分布 1 c2-分布 设相互独立的随机变量X1,X2,L,Xn都服从标准正态分布, 称统计量c=自由度n的c2-分布. 记作c2 2 t-分布 设随机变量XN(0,1)与Y2nXi=12i 服从c2(n). 222可加性: 若c1c2(n2)相互独立, 则c12+c2c2(n1+n2). c2(n1)与c2XY/nc2(n)相互独立, 称统计量T=服从自由度n的t-分布. 记作Tt(n). 对称性: 概率密度关于纵轴对称. 极限定理: 当n时, t-分布趋向于标准正态
3、分布. 3 F-分布 设随机变量Xc2(n1)与Yc2(n2)相互独立, 称统计量F=X/n1服从自由度为Y/n2 126 (n1,n2)的F-分布. 记作FF(n1,n2). 1倒数: 如果FF(n1,n2), 则F(n2,n1). F 三 点估计 1 矩估计法 设总体X的概率密度为f(x;q1,L,qk), 其中q1,L,qk是待估参数. 设X有前k阶原点矩ml=xlf(x;q1,L,qk)dx,l=1,2,L,k, 则它们是参数q1,L,qk的函数. 设-+1nlX1,X2,L,Xn是X的一个样本, 前k阶样本矩为Al=Xi,l=1,2,L,k. ni=1矩估计法的原则是: 用样本矩作为
4、相应的总体矩的估计量. 即令 l=Al, l=1,2,L,k m,L,q就是参数q,L,q的矩估计量. 如此产生的q1,L,qk的方程组的解q1k1k命题1 设总体X有均值m和方差s则均值与方差的矩估计量为 20, 均未知. 设X1,X2,L,Xn是X的一个样本, 1n1n1n2222=Xk-X=(Xk-X)2=Sn=Xk=X s mnk=1nk=1nk=1 2 最大似然估计法 设总体X的分布律为PX=x=p(x;q)， X1,X2,L,Xn是X的一个样本, 则样本的联合分布律 L(q)=L(x1,x2,L,xn;q)=p(xi;q) i=1n称为参数估计的似然函数. ,L,q处达到最大如果似
5、然函数L=L(x1,x2,L,xn;q1,L,qk)作为q1,L,qk的函数在q1k,L,q为q,L,q的最大似然估计量. 值, 则称q1k1k命题2 设总体XN(m,s), X1,X2,L,Xn是X的一个样本, 则它的数学期望和方差21n1n22=Xk=X, s=(Xk-X)2=Sn的最大似然估计量为m. nk=1nk=1注意 与矩估计法所得结果相同. 命题3 设函数u=u(q)有单值的反函数q=q(u). 又设q是总体X的概率密度f(x;q)是u=u(q)的最大似然估计量. =u(q中参数q的最大似然估计量, 则u1n= 例如 总体的标准差的最大似然估计量为s(Xk-X)2. nk=1 四
6、 估计量的评选标准 1 无偏性 127 )=q, 则称q是参数q的无偏估计量. 设q是未知参数q的估计量, 如果E(q命题1 设总体X有k阶原点矩mk, 样本为X1,X2,L,Xn, 则样本的k阶原点矩Ak是总体的k阶原点矩mk的无偏估计量. 特别, 样本均值是数学期望的无偏估计量. 1n 命题2 设总体X有数学期望m与方差s, 则S=(Xi-X)2是s2的无偏估计n-1i=11n22量, 而Sn=(Xi-X)2不是s的无偏估计量. ni=122 2 有效性 是参数q的两个无偏估计量, 如果 设q1和q2)D(q) D(q12有效的估计量. 如果在q的所有无偏估计量中, q的方差最小, 则称q
7、是q的有则称q1是比q211效估计量. 五 区间估计 1 置信区间 定义 设总体X有未知参数q, 由样本X1,X2,L,Xn产生两个统计量q和q, 使得对于给定值0a1, 有 Pqq1)，则Y=211212215 所服从的分布为( ). 1所服从的分布为( ). X2(A) 2(n). (B)2(n-1). (C)F(n,1). (D)F(1,n). (X1+X2)24设X1,X2,X3,X4为来自正态总体XN(0,1)的一个样本，则统计量所服从2(X3-X4)的分布为( ). (A) t(2). (B) t(4). (C) F(1,1). (D) F(2,2). 5设(X1,X2,L,Xn)
8、是总体X的简单随机样本，则下列不是总体期望m的无偏估计量为( ). 1n (A) Xi (B) 0.2X1+0.5X2+0.3Xn ni=1(C)X1+X2 (D)X1-X2+X3 三、简单计算题 四、计算题 b,x11. 设总体X的概率密度为f(x,b)=xb+1(1), 又X1,X2,L,Xn为总体0，x1X的简单随机样本, 求未知参数的矩估计量 (q+1)xq,0x0, X1,X2,L,Xn是总体0,其它X的简单随机样本，求未知参数q的最大似然估计量 13. 设总体Xp2求p的最大似然估计值. 23, 已经取得了样本值x1=1,x2=2, x3=1, 2p(1-p)(1-p)2 130
