5空间解析几何辅导.docx

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1、5空间解析几何辅导空间解析几何 基本知识 一、向量 1、已知空间中任意两点M1(x1,y1,z1)和M2(x2,y2,z2)，则向量 M1M2=(x2-x1,y2-y1,z2-z1) 2、已知向量a=(a1,a2,a3)、b=(b1,b2,b3)，则 向量a的模为|a|=a1+a2+a3 222ab=(a1b1,a2b2,a3b3) la=(la1,la2,la3) 3、向量的内积ab ab=|a|b|cos ab=a1b1+a2b2+a3b3 其中为向量a,b的夹角，且0p 注意：利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。 4、向量的外积ab iab=a1ja2

2、b2ka3 b3b15、a/ba=lba1a2a3 =b1b2b3abab=0a1b1+a2b2+a3b3=0 二、平面 1、平面的点法式方程 已知平面过点P(x0,y0,z0)，且法向量为n=(A,B,C)，则平面方程为 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 100 注意：法向量为n=(A,B,C)垂直于平面 2、平面的一般方程Ax+By+Cz+D=0，其中法向量为n=(A,B,C) 3、平面过原点(0,0,0) Ax+By+Cz=0 平面与x轴平行法向量n垂直于x轴By+Cz+D=0 平面与y轴平行法向量n垂直于y轴Ax+Cz+D=0 平面与z轴平行法向量n垂直于z轴Ax+B

3、y+D=0 平面与xoy面平行法向量n垂直于xoy面Cz+D=0 平面与xoz面平行法向量n垂直于xoz面By+D=0 平面与yoz面平行法向量n垂直于yoz面Ax+D=0 注意：法向量的表示 三、直线 1、直线的对称式方程 过点P(x0,y0,z0)且方向向量为v=(v1,v2,v3)直线方程x-x0y-y0z-z0 =v1v2v3注意：方向向量v=(v1,v2,v3)和直线平行 A1x+B1y+C1z+D1=02、直线的一般方程，注意该直线为平面A1x+B1y+C1z+D1=0和Ax+By+Cz+D=02222A2x+B2y+C2z+D2=0的交线 x=x0+v1t3、直线的参数方程y=y

4、0+v2t z=z+vt034、方向向量v=(0,v2,v3)，直线垂直于x轴 方向向量v=(v1,0,v3)，直线垂直于y轴 101 方向向量v=(v1,v2,0)，直线垂直于z轴 5、方向向量v=(0,0,v3)，直线垂直于xoy面 方向向量v=(0,v2,0)，直线垂直于xoz面 方向向量v=(v1,0,0)，直线垂直于yoz面 应用 一、柱面 f1(x,y,z)=01、设柱面的准线方程为，母线的方向向量v=(v1,v2,v3)，求柱面方程 f2(x,y,z)=0方法：在准线上任取一点M(x1,y1,z1)，则过点M(x1,y1,z1)的母线为 x-x1y-y1z-z1 =v1v2v3又

5、因为M(x1,y1,z1)在准线上，故 f1(x1,y1,z1)=0 f2(x1,y1,z1)=0 令 x-x1y-y1z-z1=t v1v2v3由、消去x1,y1,z1求出t，再把t代入求出关于x,y,z的方程F(x,y,z)=0，则该方程为所求柱面方程 x2+y2+z2=1r例1：柱面的准线为，而母线的方向为v=-1,0,1，求这柱面方程。 2222x+2y+z=2解：在柱面的准线上任取一点M(x1,y1,z1)，则过点M(x1,y1,z1)的母线为 x-x1y-y1z-z1= -101即x1=x+t,y1=y,z1=z-t 又因为M(x1,y1,z1)在准线上，故x1+y1+z1=1，2

6、x1+2y1+z1=2 由得x+y+z+2xz-1=0 2、圆柱面是动点到对称轴的距离相等的点的轨迹，该距离为圆柱面的半径 方法：在圆柱面上任取一点M0(x0,y0,z0)，过M0(x0,y0,z0)点做一平面垂直于对称轴，该平面的法向量为对称轴的方向向量，把该平面方程和对称轴方程联立求得平面和对称轴的交点222222222M1(x1,y1,z1)，则|M0M1|为圆柱的半径 例2：已知圆柱面的轴为程。 解：设圆柱面上任取一点M0(x0,y0,z0)，过点M0(x0,y0,z0)且垂直于轴的平面为 xy-1z+1，点M1在此圆柱面上，求这个圆柱面的方=1-2-2 102 (x-x0)-2(y-

7、y0)-2(z-z0)=0 轴方程的参数式为x=t,y=1-2t,z=-1-2t代入平面方程得 x0-2y0-2z09x-2y0-2z09-2x0+4y0+4z0-9-2x0+4y0+4z0,) 故该平面和轴的交点为(0999115过点M1和轴垂直的平面和轴的交点为(,-) 333 t=因为圆柱截面的半径相等，故利用距离公式得 8x2+5y2+5z2+4xy+4xz-8yz-18y+18z-99=0 注意：也可找圆柱面的准线圆处理 例3：求以直线x=y=z为对称轴，半径R=1的圆柱面方程 解：在圆柱面上任取一点M0(x0,y0,z0)，过点M0(x0,y0,z0)且垂直于轴的平面为 (x-x0

8、)+(y-y0)+(z-z0)=0 轴方程的参数式为x=t,y=t,z=t代入平面方程得 x0+y0+z03x+y0+z0x0+y0+z0x0+y0+z0,) 故该平面和轴的交点为M1(0333 t=则M0M1的长等于半径R=1 故利用距离公式得 (x0-x0+y0+z02x+y0+z02x+y0+z02)+(y0-0)+(z0-0)=1 333即所求方程为(2x0-y0-z0)2+(-x0+2y0-z0)2+(-x0-y0+2z0)2=9 二、锥面 锥面是指过定点且与定曲线相交的所有直线产生的曲面。这些直线是母线，定点为顶点，定曲线为准线。 f1(x,y,z)=01、设锥面的准线为，顶点为M

9、0(x0,y0,z0)，求锥面方程 f(x,y,z)=02方法：在准线上任取一点M1(x1,y1,z1)，则过点M1(x1,y1,z1)的母线为 x-x0y-y0z-z0 =x1-x0y1-y0z1-z0又因为M(x1,y1,z1)在准线上，故 f1(x1,y1,z1)=0 f2(x1,y1,z1)=0 103 由、消去x1,y1,z1求出关于x,y,z的方程F(x,y,z)=0，则该方程为所求锥面方程 x2y2例1锥面的顶点在原点，且准线为a2+b2=1，求这锥面方程。 z=c解：在准线上任取一点M1(x1,y1,z1)，则过点M1(x1,y1,z1)的母线为 xyz= x1y1z1xy又因

10、为M(x1,y1,z1)在准线上，故12+12=1且z1=c abx2y2z2上面三个方程消去x1,y1,z1得2+2-2=0 abc2、圆锥面 已知圆锥面的顶点M0(x0,y0,z0)，对称轴的方向向量为v=(v1,v2,v3)，求圆锥面方程 方法：在母线上任取一点M(x,y,z)，则过该点的母线的方向向量为 22n=(x-x0,y-y0,z-z0) 利用v和n的夹角不变建立关于x,y,z的方程，该方程为所求 例2求以三根坐标轴为母线的圆锥面的方程。 解：在坐标轴上取三点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)，则过三点的平面为 x+y+z=1 故对称轴的方向向量为(1,1,1)，一条

11、母线的方向向量为(1,0,0)， 则母线和对称轴的夹角为11+10+10=31cosa，即cosa=3 3在母线上任取一点M(x,y,z)，则过该点的母线的方向向量为n=(x,y,z) x+y+z=22x2+y2+z23cosa 22所以(x+y+z)=x+y+z 例3圆锥面的顶点为(1,2,3)，轴垂直于平面2x+2y-z+1=0，母线和轴成30，求圆锥面方程 解：在母线上任取一点M(x,y,z)，轴的方向向量为(2,2,-1)，母线的方向向量为0n=(x-1,y-2,z-3) (x-1)2+(y-2)2+(z-3)29cos300 222则2(x-1)+2(y-2)-(z-3)=2即 4(

12、2x+2y-z-3)=27(x-1)+27(y-2)+27(z-3) 三、旋转曲面 104 设旋转曲面的母线方程为x-x0y-y0z-z0f1(x,y,z)=0=，旋转轴为，求旋转曲面方程 XYZf2(x,y,z)=0方法：在母线上任取一点M1(x1,y1,z1)，所以过M1(x1,y1,z1)的纬圆方程 X(x-x1)+Y(y-y1)+Z(z-z1)=0 222222(x-x)+(y-y)+(z-z)=(x-x)+(y-y)+(z-z)000101010又因为M1(x1,y1,z1)在母线上，有 f1(x1,y1,z1)=0 f(x,y,z)=02111由上述四个方程消去x1,y1,z1的方

13、程F(x,y,z)=0为旋转曲面 xyz-1绕直线l：x=y=z旋转一周所得的旋转曲面的方程。 =210解：在母线上任取一点M1(x1,y1,z1)，则过M1(x1,y1,z1)的纬圆方程 例4求直线(x-x1)+(y-y1)+(z-z1)=0 222222x+y+z=x1+y1+z1又因为M1(x1,y1,z1)在母线上，有x1y1z1-1= 210由上述方程消去x1,y1,z1的方程得9x2+9y2+9z2=5(x+y+z-1)2+9 四、几种特殊的曲面方程 1、母线平行于坐标轴的柱面方程 设柱面的准线是xoy平面上的曲线f(x,y)=0，则柱面方程为f(x,y)=0 z=0g(x,z)=

14、0设柱面的准线是xoz平面上的曲线，则柱面方程为g(x,z)=0 y=0设柱面的准线是yoz平面上的曲线h(y,z)=0，则柱面方程为h(y,z)=0 x=0注意：母线平行于坐标轴的柱面方程中只含两个字母 准线为坐标平面内的椭圆、双曲线、抛物线等柱面称为椭圆柱面、双曲线柱面、抛物线柱面 例求柱面方程 y2=2z准线是，母线平行于x轴 x=0解：柱面方程为y=2z 2x2y2-z2=1+准线是4，母线平行于y轴 9y=3解：柱面方程为x=4z 105 22x2y2z2-=1+准线是4，母线平行于z轴 99x=2解：x=2 2、母线在坐标面上，旋转轴是坐标轴的旋转曲面 f(x,y)=022设母线是

15、，旋转轴是x轴的旋转曲面为f(x,y+z)=0；旋转轴是y轴的旋转曲z=0面为f(x2+z2,y)=0 注意：此类旋转方程中一定含有两个字母的平方和的形式，且它们的系数相等。 y2z2+-x=0是什么曲面，它是由xoy面上的什么曲线绕什么轴旋转而成的 例方程22y2-x=0绕x轴旋转而成的 解：xoy面上的23、平行于坐标面的平面和曲面f(x,y,z)=0的交线方程 平行于xoy面的平面z=h和曲面f(x,y,z)=0的交线为f(x,y,h)=0z=hf(x,h,z)=0平行于xoz面的平面y=h和曲面f(x,y,z)=0的交线为 y=h平行于yoz面的平面x=h和曲面f(x,y,z)=0的交

16、线为例求曲面和三个坐标面的交线 x+y+16z=64 222f(h,y,z)=0x=hx2+y2=64x2+16z2=64y2+16z2=64解：、 z=0y=0x=0x2-4y2-16z2=64 解：注意在yoz面上无交线 x+9y=10z 解：在xoy面上交于一点(0,0) 1、求点在平面上的投影、求点到平面的距离、求关于平面的对称点 方法：过点作直线垂直于平面，该直线的方向向量为平面的法向量 求直线和平面的交点，该交点为点在平面上的投影 例5求点A(3,1,-1)在平面3x+y+z-20=0上的投影 求点A(1,2,-5)到平面x-y+z-10=0的距离，并求该点关于平面的对称点坐标 2

17、2五、求投影 106 求过直线3x-2y+2=0且与点M(1,2,1)的距离为1的平面方程 x-2y-z+6=02、求点在直线上的投影、求点到直线的距离、求关于直线的对称点 方法：过点作平面垂直于直线，该平面的法向量为直线的方向向量 求直线和平面的交点，该交点为点在直线上的投影 例6求点A(1,-1,0)到直线求点M(1,-1,0)到直线3、直线在平面上的投影 方法：过直线作平面和已知平面垂直，该平面的法向量为直线的方向向量和已知平面法向量的外积 联立两个平面方程所得直线为该直线在平面上的投影 例7求直线x-2y-1z-1=的距离，该点在直线上的投影 2012y-3z-3=0的距离 x-y=0

18、2x-4y+z=0在平面4x-y+z-1=0上的投影直线的方程 3x-y-2z-9=04x+5z+3=04y-7z=5，在x，求直线在xoyoz面上的投影为y=0x=0直线在yoz面上的投影为面上的投影 4、曲线f(x,y,z)=0在坐标面上的投影柱面及投影 g(x,y,z)=0h1(x,y)=0为曲线在xoy面上的投影 z=0方法：消去z得h1(x,y)=0，则h2(y,z)=0消去x得h2(y,z)=0，则为曲线在yoz面上的投影 x=0消去y得h3(x,z)=0，则h3(x,z)=0为曲线在xoz面上的投影 y=0例求球面x2+y2+z2=9与平面x+z=1的交线在xoy面上的投影柱面及

19、投影 222y+z+4x=4z把曲线2的方程用母线平行于x轴和z轴的两个投影柱面方程表示 2y+3z-8x=12z解：消去x得母线平行于x轴的投影柱面方程y+z=4z；消去z得母线平行于z轴的投影柱面22y+z=4z方程y+4x=0，因此曲线可表示为2 y+4x=0222五、求平面方程 1、过直线A1x+B1y+C1z+D1=0的平面方程可设为 A2x+B2y+C2z+D2=0 107 (A1x+B1y+C1z+D1)+l(A2x+B2y+C2z+D2)=0 如果直线方程是点向式或参数式可转化为上述形式处理 例在过直线x+y+z+4=0的平面中找出一个平面，使原点到它的距离最长。 x+2y+z

20、=00平面过OZ轴，且与平面y-z=0的夹角为60，求该平面方程 求过点M(1,0,-1)和直线x-2y-1z-1=的平面方程 201过直线x+2z-4=0x-y-4=0作平面，使它平行于直线 3y-z+8=0y-z-6=0222 (5)过平面2x+y=0和4x+2y+3z=6的交线作切于球面x+y+z=4的平面 求由平面2x-z+12=0,x+3y+17=0所构成的两面角的平分面方程 2、利用点法式求平面方程 注意：任何垂直于平面的向量n均可作为平面的法向量 和平面Ax+By+Cz+D=0平行的平面可设为Ax+By+Cz+D1=0 如存在两个向量a=(a1,a2,a3)、b=(b1,b2,b

21、3)和平面平行，则平面的法向i量为n=ab=a1ja2b2ka3 b3b1例已知两直线为x-1y-1z-1x-3y-1z-2=，求过两直线的平面方程 11-11-12求过A(8,-3,1)和B(4,7,2)两点，且垂直于平面3x+5y-z-21=0的平面 一平面垂直于向量(2,1,2)且与坐标面围成的四面体体积为9，求平面方程 222已知球面x+y+z-2x+4y-6z=0与一通过球心且与直线求它们的交线在xoy面上的投影 3、轨迹法求方程 x=0垂直的平面相交，y-z=0方法：设平面上任一一点M(x,y,z)列出含有x,y,z的方程化简的平面方程 108 例求由平面x-y+3z+1=0和x+

22、y-3z-2=0所构成的二面角的平分面的方程 六、求直线方程 1、把直线的一般方程化为点向式方程 方法：已知直线方程为A1x+B1y+C1z+D1=0，则该直线的方向向量为 A2x+B2y+C2z+D2=0iv=A1A2jB1B2kC1=(v1,v2,v3) C2在直线上任取一点(x0,y0,z0)，则直线方程为x-x0y-y0z-z0 =v1v2v32x+y+z-5=0例化直线的一般方程为标准方程 2x+y-3z-1=02、根据直线的方向向量求直线方程 例过点M(0,1,2)，且平行于两相交平面x-y+3z+1=0和x+y-3z-2=0的直线方程 求过点M(1,0,-2)，且与平面3x+4y

23、-z+6=0平行，又与直线线方程 注意：一直线和两直线垂直；一直线和两平面平行；一直线和一平面平行，和另一直线垂直均可确定直线的方向向量 3、利用直线和直线的位置关系求直线方程 注意：两直线平行，则m1m2m3，其中(m1,m2,m3)和(n1,n2,n3)为直线的方向向量 =n1n2n3两直线x-x0y-y0z-z0x-x1y-y1z-z1和相交，则 =m1m2m3n1n2n3y1-y0m2n2z1-z0m3n3=0且m1n1x1-x0D=m1m2m3 n1n2n3两直线x-x0y-y0z-z0x-x1y-y1z-z1和异面，其中公垂线的方向向量为=m1m2m3n1n2n3 109 iv=m

24、1n1jm2n2k|D|m3=(v1,v2,v3)，则两异面直线的距离为d=；公垂线方程为|v|n3x-x0m1v1x-x1n1v1y-y0m2v2y-y1n2v2z-z0m3v3z-z1n3v3=0=0xyzx-1y-2z-3=和=都相交的直线方程 123214解：设所求直线的方向向量为(a,b,c)，已知两直线的方向向量为(1,2,3)、(2,1,4)，且分别过点例求通过点M(1,1,1)且与两直线(0,0,0)、(1,2,3) 111则10-1-21b4=0，即a+2b-c=0 c23=0，即a-2b+c=0；2abca故a=0,c=2b，故(a,b,c)=(0,1,2) x-1y-1z

25、-1= 012xyz+1x-1y-1z-1=已知两异面直线=和，求它们的距离与公垂线方程 1-10110x+2y-1z-3=求与直线平行且与下列两直线相交的直线 871所求直线为z=5x-6z=2x-4和 z=4x+3z=3y+5求过点P(1,-2,3)与z轴相交，且与已知直线xy-3z-2=垂直的直线方程 43-2110 习题 (x-1)2+(y+3)2+(z-2)2=251、已知柱面的准线为且母线平行于x轴母线平行于x+y-z+2=0直线x=y,z=c，求柱面方程 x=y2+z22、已知柱面的准线为母线垂直于准线所在的方程，求柱面方程 x=2z3、求过三条平行线x=y=z,x+1=y=z-

26、1,x-1=y+1=z-2的圆柱面方程 4、求顶点为原点，准线为x2-2z+1=0,y-z+1=0的锥面方程 5、顶点为(3,-1,-2)，准线为x2+y2-z2=1,x-y+z=0，求锥面方程 6、顶点为(1,2,4)，轴垂直于平面2x+2y+z=0，且过点(3,2,1)，求该圆锥面的方程 7、求下列旋转曲面方程 x-1y+1z-1xyz-1=绕直线=旋转 1-121-12xyz-1xyz-1=直线=绕直线=旋转 21-11-12x-1yz=绕直线z旋转 直线1-33直线2z=x曲线2绕直线z旋转 2x+y=18例求曲面和三个坐标面的交线 x+4y-16z=64 x-9y=10z x+4y-

27、16z=0 9求点P(2,0,-1)关于直线求点A(2,3,-1)到直线10求直线22222222x-y-4z+12=0的对称点 2x+y-2z+3=02x-2y+z+3=0的距离， 3x-2y+2z+17=0x-1yz-1=在平面x-y+2z-1=0上的投影直线的方程 11-111求曲线在三个坐标面的投影柱面和投影 x2+y2-z=0 z+x=1x2+z2-3yz-2x+3z-3=0 y-z+1=0222z=x+y 2z=2yx+2y+6z=5 3x-2y-10z=712过直线x+2y-z-6=0作平面，使它垂直于平面x+2y+z=0 x-2y+z=0111 求过点M(3,1,-2)和直线x

28、-4y+3z=的平面方程 021求过两平面3x-y+2z-2=0、x+y-4z-3=0交线且与平面x+y+2z-1=0垂直的平面 求过点M(2,0,-1)和直线x+1yz-2=的平面方程 2-13过直线2x-y+z-3=0x-2y+3z+1=且与直线垂直 1-5-1x+2y-z-5=0过直线x-1y+2z-2=且与平面3x+2y-z-5=0垂直的平面 2-32x-1z+3=y-1=(7)在过直线的所有平面中找出一个平面，使它与原点的距离最远 0-113求平行于平面x+2y+3z+4=0且与球面x2+y2+z2=9相切的平面方程 求过两直线3x-y+z-1=02x-5y-8z+5=0、的平面方程

29、 x+z+3=0x+2y+5z-2=0求和平面x-2y+4z=2平行，且距离为3的平面 求和两直线x-1y+3zx-5y+1z-2=，=平行且与两直线等距离的平面方程 1-11237求过点M(0,1,2)，且垂直于平面x+2y+z-1=0与x-z+3=0的平面方程 14求由平面x+2y-2z+3=0和3x-4y-1=0所构成的二面角的平分面的方程 动点与点(1,0,0)的距离等于这点到平面x=4的距离的一半，求动点轨迹。 15化直线的一般方程x-2y+3z-4=0为标准方程 x-2y-z=000016过点M(1,-5,3)且与x,y,z三轴成60,45,120的直线 x-1yz+1xy-1z+

30、1=和=垂直的直线 11-11-10过点M(2,-3,-5)且与平面6x-3y-5z+2=0垂直的直线 过点M(1,0,-2)且与两直线17在平面x+y+z+1=0内求垂直相交于直线y-z+1=0的直线方程 x+2z=0x-1y-3z=相交的直线方4-21求过点P(1,0,-2)而与平面3x-y+2z-1=0平行且与直线程 112 求通过点M(4,0,-1)且与两直线求过点P(2,1,0)而与直线x+y+z=1x-y-z=3和都相交的直线方程 2x-y-z=22x+4y-z=4x-5yz+25=垂直相交的直线方程 32-2x-3yz-1x+1y-2z=的公垂线方程 求两异面直线和210101x-1yzxyz+2=与=求直线之间的距离 0112-10x=2t-3x=5t+10x+2y-1z-3=求与直线平行且与下列两直线相交的直线y=3t+5和y=4t-7 871z=tz=t 113