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1、7070函数的幂级数展开第 初等函数的幂级数展开 直接展开法 泰勒级数 (n)0)nf(x=0n!(x-x0)n(n+1)Rn(x)=f(x)n+1(n+1)!(x-x0)nlimRn(x)=0麦克劳林级数 f(n)n(0)=0n!xn(n+1)Rn(x)=f(qx)n+1(n+1)!xx=qx0q11 x例1，将函数f(x)=e展成x的幂级数 解：f(n)(x)=ex f(n)(0)=1f(x)=exxn的麦克劳林级数是n=0n!un+1nlimu=limx=0 nnn+1收敛域(-,+)Rn(x)=f(n+1)(x)n+1(n+1)!(x-x0)ex=n+1(n+1)!x 2 1Qn+收敛
2、 nx=0(n+1)!n+1nlimx(n+1)!=0 nlimRn(x)=0ex=nnx=0n!例2，将f(x)=sinx展成x的幂级数 p解：f(n)(x)=sin(x+2n)f(n)(0)=sinpn2f(x)=sinx的麦克劳林级数是 3 (n)(0)nnf=0n!x =x-13!x3+15!x5 +L+(-1)n2n+1(2n+1)!x+L(-1n=)2n+1(2n+1)!x n=0limun+1 nun2=nlimx(2n+3)(2n+2)=0收敛域(-,+) 4 (x)n+1f(n+1)Rn(x)=(n+1)!x=sin(x+pn+12n)x(n+1)!xn+1n=0(n+1)!
3、收敛 xn+1nlim(n+1)!=0nlimRn(x)=0sinx=(-1)nn+1)!x2n+1n=0(2 间接展开法 5 Q 基本公式1 ex=nnx=0n! 收敛域(-,+)基本公式2 nsinx=(-1)2n+1n+1)!xn=0(2 收敛域(-,+)基本公式3 11-x= nxn=0收敛域(-1,1)例3，将函数f(x)=e-x3展成x的幂级数 6 ex=xn解：n=0n!ne-x3=(-1)n!3xnn=0n 收敛域(-,+)例4，将函数f(x)=cosx展成x的幂级数 sinx=(-1)n解：2n+1(2n+1)!xn=0对上式求导 cosx=(-1)n2nn2n)!x=0( 收敛域(-,+)例5，将arctanx 展成x的幂级数 7 1n解： =x 1-xn=011+x=(-1)x2n=0n2n x011+x=dx2n=0x0n(-1)xdx n2narctanx=(-1)n=0收敛域1x2n+1 2n+1-1,1 8
