7第七讲简单三角恒等变换.docx

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1、7第七讲简单三角恒等变换第七讲 简单三角恒等变换 一、引言 本节的地位：三角函数恒等变换是高中教学的重要知识之一，也是历年高考必考查的内容，体现考纲对运算能力、逻辑推理能力的要求 考纲要求：通过本节的学习要掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等证明重点是应用公式进行三角函数式的化简、求值和恒等证明 考情分析：一般考查对公式理解与熟练运用，以及考查运算能力、逻辑推理能力，在历年的高考中，常常要考查，考试类型有应用公式化简求值、恒等变形、与其它知识交汇等对数形结合、函数与方程思想、分类与整合思想、转化与化归

2、等重要思想重点考查 二、考点梳理 1两角和与两角差的正弦公式：sin(ab)=sinacosbcosasinb； 余弦公式：cos(ab)=cosacosb正切公式：tan(ab)=sinasinb； tanatanb 1tanatanb2二倍角的正弦公式：sin2a=2sinacosa； 二倍角的余弦公式：cos2a=cosa-sina=2cosa-1=1-2sina； 22222tana 1-tan2a1-cos2a1+cos2a223降幂公式：sina=；cosa= 22二倍角的正切公式：tan2a=4解题时既要会正用这些公式，也要会逆用及变形用，特别是二倍角公式，正用化单角，逆用降次

3、三、典型问题选讲 化简问题 例1 求下列各式的值：cos20cos40cos80； tan70+tan50-3tan50tan70；sin50(1+3tan10）. 分析：本题考查三角公式的应用，会逆用及变形用，特别是二倍角公式，正用化单角，逆用降次 1sin160132sin20cos20cos40cos80= 8sin20823sin20sin40sin80sin1601= 法二原式=2sin202sin402sin808解析：法一原式=原式=tan(70+50)(1-tan70tan50)-3tan50tan70 1 =-3+3tan70tan50-3tan50tan70=-3 原式=s

4、in50(1+3sin10sin50(cos10+3sin10) )=cos10cos102sin50(cos60cos10+sin60sin10)2sin50cos50=cos10cos10 sin100cos10=1 cos10cos10=归纳小结：在已知角求值的式子变形中，常通过“造出特殊角”、“对偶式”来简化计算过程一般情况下，当ab是特殊角时，使用tanatanb=tan(ab)(1tanatanb)化简式子 例2 化简下列各式： 11113p-+cos2aa，2p；22222cos2a-sin2a pp2cot+acos2-a44分析：若注意到化简式是开平方根和2a是a的二倍，a是

5、a2的二倍，以及取值范+a+围不难找到解题的突破口；由于分子是一个平方差，分母中的角若注意到这两大特征，不难得到解题的切入点 解：因为p4p4-a=p2，3p11a2p，所以+cos2a=cosa=cosa， 222又因a3pa11aap，所以-cosa=sin=sin，所以，原式=sin 2422222cos2acos2a= pppp2tan-acos2-a2sin-acos-a4444原式=cos2acos2a=1 pcos2asin-2a2归纳小结：在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于2a是a的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意2a，+a，-a三个角的内在联系的作

6、pp44用，cos2a=sinppp化简题一2a=2sinacosa是常用的三角变换244定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次，消元，切化弦，异名化同名，异角化同角是 2 常用的化简技巧公式变形cosa=sin2a1+cos2a1-cos2a2，cos2a=，sina= 2sina22asin例3 已知正实数a，b满足p55=tan8p，求b的值 pp15aacos-bsin55+bcosp分析：从方程的观点考虑，如果给等式左边的分子、分母同时除以a，则已知等式可化为关于的方程，从而可求出bab，若注意到等式左边的分子、分母都具有asinq+bcosqa的结构，可考虑引入辅助角求解 bp8

7、+cossinp5a5=15，则 解法一：由题设得pbp8cos-sincosp5a515sin8p8psin8p-psinpcos-cospsinb155=tanp=3. 155155=8p8ppa38cospcos+sinpsincosp-155155515解法二：因为asinpp5+bcospp =a2+b2sin+j，55bp=a2+b2cos+j，其中tanj=，55a58pp由题设得tan+j=tan.155p8p所以+j=kp+p，即j=kp+，5153bpp故=tanj=tankp+=tan=3.a33 acos-bsinpppbtan+8解法三：原式可变形为：5a=tanp，

8、bp151-tana5 +tanab8p5令tana=，则有=tan+a=tanp，a155patanp1-tantan+tana5b8p令tana=p，则有85=tan+ap=tanp，pa515由此可a+=kp+1-tanp(akZ),所以a=kp+，(kZ)tan51535pkp+p8=tanp=3，即b=3p 故tanaa=+tan由此可=kp+p(kZ),所以a=kp+，(kZ)33a5153ppb故tana=tankp+=tan=3，即=333atan3 p归纳小结：以上解法中，方法一用了集中变量的思想，是一种基本解法；解法二通过模式联想，引入辅助角，技巧性较强，且辅助角公式asi

9、na+bcosa=a2+b2sin(a+j)，ab22asina+bcosa，或=a+bcosa-j，其中tanj=其中tanj=()在历年高考中ba使用频率是相当高的，应加以关注；解法三利用了换元法，但实质上是综合了解法一和解法二的解法优点，所以解法三最佳 例4 已知tana，求 tanb是方程x2-5x+6=0的两个实根，2sin2(a+b)-3sin(a+b)cos(a+b)+cos2(a+b)的值 分析：由韦达定理可得到tana+tanb及tanatanb的值，进而可以求出tan(a+b)的值，再将所求值的三角函数式用tan(a+b)表示便可知其值 tanatanb=6， 解法一：由韦

10、达定理得tana+tanb=5，所以tan(a+b)=tana+tanb5=-1. 1-tanatanb1-62sin2(a+b)-3sin(a+b)cos(a+b)+cos2(a+b) 原式=22sin(a+b)+cos(a+b)2tan2(a+b)-3tan(a+b)+121-3(-1)+1=3 tan2(a+b)+11+1tanatanb=6， 解法二：由韦达定理得tana+tanb=5，所以tan(a+b)=3tana+tanb5=-1.于是有a+b=kp+p(kZ)， 41-tanatanb1-6333331原式=2sin2kp+p-sin2kp+p+cos2kp+p=1+=3 42

11、2422归纳小结：本例解法二比解法一要简捷，好的解法来源于熟练地掌握知识的系统结构，从而寻找解答本题的知识“最近发展区”运用两角和与差的三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系，次数关系，三角函数名等抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点对公式的逆用公式，变形式也要熟悉，如 4 cos(a+b)cosb+sin(a+b)sinb=cosa，tan(a+b)(1-tanatanb)=tana+ta

12、nb，tan(a+b)tanatanb=tan(a+b)-tana-tanb，tana+tanb+tan(a+b)tanatanb=tan(a+b)。恒等变形 cosx1+sinx=例5 求证： 1-sinxcosx分析：恒等变形问题可由一边推证得另一边，也可以从两边进行推证得出相等关系 证法一：由题意知cosx0，所以1+sinx0,1-sinx0 所以左边=cosx(1+sinx)cosx(1+sinx)1+sinx=右边则原式成立 =2cosx(1-sinx)(1+sinx)cosx证法二：由题义知cosx0，所以1+sinx0,1-sinx0 又(1-sinx)(1+sinx)=1-s

13、inx=cosx=cosxcosx，所以证法三：由题意知cosx0，所以1+sinx0,1-sinx0 22cosx1+sinx= 1-sinxcosxcosx1+sinxcosxcosx-(1+sinx)(1-sinx)cos2x-1+sin2x-=0， 1-sinxcosx(1-sinx)cosx(1-sinx)cosx则cosx1+sinx= 1-sinxcosx归纳小结：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：从一边开始，证明它等于另一边；证明左右两边同等于同一个式子；证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立 与其他知识综合 例6

14、ABC中，tanC=sinA+sinB，sin(B-A)=cosC求A,C cosA+cosB分析：“切化弦”是解决三角问题常用的方法，再利用三角形中角的关系进行恒等变形 sinA+sinBsinCsinA+sinB=，即， cosA+cosBcosCcosA+cosB所以sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB， 解：因为tanC=即sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB，得sin(C-A)=sin(B-C) 所以C-A=B-C，或C-A=p-(B-C)(不成立) 即2C=A+B，得C=p3，所以B+A=2p 3又因为sin(B-

15、A)=cosC=1p5p，则B-A=，或B-A= 266 5 得A=p4,B=5p 12kp，kZ)，B(3，0)，C(0，4归纳小结：注意三角形中角的范围，注意分类讨论 例7 已知三点A、B、C的坐标分别为A(cosa，sina)(a3)，若ABAC=-1，求1+sin2a-cos2a的值 1+tana分析：本题将向量知识与三角知识结合起来，综合考查应用知识的能力 解：AB=(3-cosa，-sina)，AC=(-cosa，3-sina)， ABAC=-1，(cosa-3)cosa+sina(sina-3)=-1 2整理得：sina+cosa= 31+sin2a-cos2a2sin2a+2s

16、inacosa=sina1+tana1+cosa =2sinacosa(sina+cosa)=2sinacosa sina+cosa451+sin2a-cos2a5，2sinacosa=-即=- 991+tana9由平方得1+2sinacosa=归纳小结：正确应用ABAC=-1，得到关于角a的三角函数关系，利用二倍角、同角三角函数公式解决问题 例8已知向量a=(sinq,cosq-2sinq),b=(1,2). 若a/b，求tanq的值； 若|a|=|b|,0qp,求q的值 分析：利用向量共线及三角函数同角关系求值，利用向量模相等得出三角函数关系，求得q的值 解：因为a/b，所以2sinq=c

17、osq-2sinq,于是4sinq=cosq，故tanq=. 由|a|=|b|知，sin2q+(cosq-2sinq)2=5,所以1-2sin2q+4sinq=5. 从而-2sin2q+2(1-cos2q)=4，即sin2q+cos2q=-1， 214于是sin(2q+所以2q+p4)=-pp9p2又由0qp知，2q+， 4442p4=5pp7pp3p. ，或2q+=因此q=，或q=44442归纳小结：本题考查向量的模、向量共线及三角函数化简求角 四、本专题总结 本节课研究三角恒等变换，主要方法有：引入辅助角、换元、降次，消元，切化弦，异名化同名，异角化同角等常用的化简技巧，体现化归与转化思想

18、、函数与方程思想、数形结 6 合思想等，应注意在应用公式时，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系，次数关系，三角函数名等.抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点对公式的逆用公式，变形式也要熟悉 第八讲 平面向量的坐标表示与线性运算 一、引言 本节主要内容：平面向量的基本定理、平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算、平面向量共线的坐标表示等内容通过本节学习，进一步加深对平面向量的认识，掌握通过向量的坐标表示，将几何问题转化为代数问题

19、来解决的方法，领悟数学知识间的内在联系和数形结合的重要数学思想 本节学习要求：了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加法、减法、数乘运算，理解用坐标表示的平面向量共线的条件，灵活运用平面向量的基本定理和平面向量的坐标表示解决相关问题，发展运算能力和数形结合解决问题的能力 本节高考的热点是向量的概念、加法、减法，平面向量的坐标运算，两个非零向量平行的充要条件；试题多以选择题、填空题为主，考查基本概念、基本运算在解答题中，一般是将某些基本概念、公式作为中间步骤来考查，难度适中 在高考试题中，对平面向量的考查主要有：1主要考查平面向量的概念、性质和

20、运算法则，理解和运用其直观的几何意义；2考查向量坐标表示，向量的线性运算；3和其他知识结合在一起，在知识的交汇点设计试题，考查向量与学科知识间综合运用能力；4考查以向量为工具，即构造向量解决有关数量问题，侧重体现向量的工具性作用 二、考点梳理 1平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数l1、l2，使a=l1e1+l2e2 我们把不共线向量e1、e2做表示这一平面内所有向量的一组基底 注意：基底不惟一，关键是不共线； 由定理可将平面内的任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解； 基底给定时，分解形式惟一，l1、l2是被a，

21、e1，e2唯一确定的数 2两个向量的夹角 已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则AOB=q叫做向量a和b的夹角 说明：向量a和b的夹角的范围是0q180当q=0时，a和b同向；当q=180时，a和b反向； 当q=90时，我们说向量a和b垂直，记作ab 3平面向量的正交分解和坐标表示 平面向量的正交分解 7 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解正交分解是向量分解中常见的一种情形 在直角坐标系内，如图，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a=xi+yj， 这样，平面内的任一向

22、量a都可以由x、y唯一确定，我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作：a=(x,y) 其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a=(x,y)叫做向量的坐标表示与a相等的向量的坐标也为(x,y) 特别地，i=(1,0)，j=(0,1)，0=(0,0) 如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OA=a，则点A的位置由a唯一确定 设OA=xi+yj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一有序实数对唯一表示 4平面向量的坐标运算 若a=(x1,y1)，b=(x2,y2)， 则a+b

23、=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)，由向量线性运算的结合律和分配律，可得： a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j， 即a+b=(x1+x2,y1+y2)，同理可得a-b=(x1-x2,y1-y2) 8 即两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差 la=l(x1i+y1j)=lx1i+ly1j，即la=(lx1,ly1) 即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则 AB=OB-OA=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1) 即一个向量的坐标等于表示此向量的有

24、向线段的终点坐标减去始点的坐标 若P是线段AB的中点，则由向量的线性运算可知： OP=x+xy+y2x+xy+y21(A+OB)=(12,1)，即点P的坐标为(12,1) 222225平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，其中b0我们知道，a、b共线当且仅当存在实数l，使a=lb x1=lx2,如果用坐标表示，可以写为(x1,y1)=l(x2,y2)，即消去l后得y=ly.12x1y2-x2y=10 这就是说，当且仅当x1y2-x2y1=0时，向量a、b(b0)共线 注意：消去l时不能两式相除，因为y1，y2有可能为0 b0，x2，y2中至少有一个不为0； 充要条件

25、不能写成y1y2，因为x1，x2有可能为0； =x1x2三、典型例题选讲 例1 已知a是以点A(3,-1)为起点，且与向量b=(-3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是 解：方法一：设向量a的终点坐标是(x,y)，则a=(x-3,y+1)，则题意可知1812x=,x=,4(x-3)+3(y+1)=012118955，解得：或，故填,-或,- 22=15555x3）+y=-1y=-955 9 方法二：与向量b=(-3,4)平行的单位向量是134(-3,4)，故可得a=-,，从555而向量a的终点坐标是(x,y)=a+(3,-1)，便可得结果 归纳小结：向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要

26、分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念；与a平行的单位向量e=a |a|例2 给出下列命题：若|a|b|，则a=b；若A，B，C，D是不共线的四点，则AB=DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若a=b，b=c，则a=c；a=b的充要条件是|a|=|b|且a/b；若a/b，b/c，则a/c，其中正确的序号是 解析：不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同 正确AB=DC，|AB|=|DC|且AB/DC，又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则，AB/DC且|AB|=|DC|，

27、因此，AB=DC 正确a=b，a，b的长度相等且方向相同；又bc，b，c的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故ac 不正确当a/b且方向相反时，即使|a|=|b|，也不能得到a=b，故|a|=|b|且a/b不是a=b的充要条件，而是必要不充分条件 不正确考虑b=0这种特殊情况综上所述，正确命题的序号是 归纳小结：本例主要复习向量的基本概念，向量的基本概念较多，因而容易遗忘，为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联系，帮助理解，加深记忆 例3平面向量a，b共线的充要条件是 Aa，b方向相同 Ba，b两向量中至少有一个为零向量 D存在不

28、全为零的实数l1，l2，l1a+l2b=0 C$lR，b=la 解析：若a,b均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数l1,l2,使 10 l1a+l2b=0；若a0，则由两向量共线知，存在l0，使得b=la，即la-b=0，符合题意，故选 归纳小结：概念定理性的问题往往是看似简单，实则处处陷阱，所以应加强对基础概念、定理的深入理解，明确问题关键之处，体会本质 例4 平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(-1,3)，若点C满足OC=aOA+bOB，其中a，bR且a+b=1，则点C的轨迹方程为 A3x+2y-11=0 B(x-1)2+(y-2)2=5 C2x-y=0

29、Dx+2y-5=0 解析：解法1：设C(x,y)，则(x,y)=(3a,a)+(-b,3b)=(3a-b,a+3b). x=3a-b, 又a+b=1x=4a-1，y=-2a+3 y=a+3b.消去参数a，得点C的轨迹方程为x+2y-5=0 解法2：利用向量的几何运算，考虑定比分点公式的向量形式，结合条件知：A，B，C三点共线，故点C的轨迹方程即为直线AB的方程x+2y-5=0，故本题应选D 归纳小结：本题主要考查向量的运算及直线的方程，把向量联系起来，使问题立意更新，情景更好，内容更丰富 例5 如图，在ABC中，C、D是AB的三等分点，OA=e1，OB=e2，则OC= ，OD= 分析：以OA，

30、OB为基底，借助C、D是AB的三等分 点，由平面向量的基本定理可以将OC、OD线性表出 解：因为C、D是AB的三等分点，所以AC=11AB，BD=-AB 33112121OC=OA+AC=OA+AB=OA+(OB-OA)=OA+OB=e1+e2 333333 11 111212OD=OB+BD=OB-AB=OB-(OB-OA)=OA+OB=e1+e2 33333311归纳小结：若C是AB的中点，则OC=e1+e2的结论是显然的，这里给出了AB22的三等分点C、D，向量OC、OD与OA、OB的关系，从中我们不难猜想AB的四等分点、五等分点，时的情况，这些规律可以作为结论记下来 例6已知向量a、b

31、不共线，c=ka+b(kR)，d=a-b，如果cd，那么 Ak=1且c与d同向 Bk=1且c与d反向 Ck=-1且c与d同向 Dk=-1且c与d反向 解析：解法一：取a=(1,0)，b=(0,1)若k=1，则c=a+b=(1,1，)d=a-b=(1,-1)，显然，c与d不平行，排除A、B 若k=-1，则c=-a+b=(-1,1)，d=a-b=(1,-1)，即cd且c与d反向，排除C，故选D 解法二：若cd，则存在lR，使得c=ld，即ka+b=la-lb，从而有(k-l)a+(1+l)b=0，因为向量a、b不共线，由平面向量基本定理可得，k-l=0，1+l=0，即k=l=-1，且c与d反向故选

32、D 归纳小结：本题主要考查向量的共线、向量的加减法属于基础知识、平面向量基本定理等基础知识，侧重基本方法、基本运算的考查 例7 已知平面上三点A(-2,1)、B(-1,3)、C(3,4)，求点D的坐标，使得这四点能够成平行四边形的四个顶点 分析：本题没有指明所构成的平行四边形的顶点顺序，故应分三种情况分别求解 解：当平行四边形为ABCD时，因为AD=BC，所以(4,1)=(x+2,y-1) 所以x=2,y=2，即D(2,2)； 当平行四边形为ACDB时，因为BA=DC，所以(-1,-2)=(3-x,4-y) 所以x=4,y=6，即D(4,6)； 当平行四边形为DACB时，因为DA=BC，所以(

33、4,1)=(-2-x,1-y) 12 所以x=-6,y=0，即D(-6,0) 归纳小结：没有指明平行四边形顶点顺序时，要分情况讨论 例8 设G、H分别为非等边三角形ABC的重心与外心，A(0,2)，B(0,-2)且GH=lAB(lR) 求点C(x,y)的轨迹E的方程； 过点(2,0)作直线l与曲线E交于点M、N两点，设OP=OM+ON，是否存在这样的直线l，使四边形OMPN是矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由 分析：通过向量的共线关系得到坐标的等量关系；根据矩形应该具备的充要条件，得到向量垂直关系，结合韦达定理，求得k的值 xyx333x2x2x2y22+=1(x23) CH=

34、HA，(x-)+y=+4，即33124设l方程为y=k(x-2)，代入曲线E得：(3k2+1)x2-12k2x+12(k2-1)=0. 解：由已知得G(,),又GH=lAB，H(,0) 12k212(k2-1)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则x1+x2=2，x1x2= 3k+13k2+1OP=ON+OM，四边形OMPN是平行四边形 若四边形OMPN是矩形，则ONOM 212(k2-1)24k2212(k-1)+k(-+4)=0，得k=3 x1x2+y1y2=0，3k2+13k2+13k2+1直线l为：y=3(x-2) 归纳小结：这是一道平面几何、解析几何、向量三者之间巧妙结合的问题，注

35、重数学知识之间联系的考查，解题时应充分考虑基础知识的结合点，灵活应用基本方法解决问题 四、本专题总结 向量有了运算，变得威力无限今后高考的考查会逐渐加大，综合性会更强向量具有数形兼备的特点，成为了作为联系众多知识的桥梁因此，向量与三角、解析几何、立体几何的交汇是当今高考命题的必然趋势，以后必须非常重视对向量的复习与演练，直至达到深刻理解、运用熟练的程度 第九讲 平面向量的数量积 一、引言 本节主要内容：平面向量数量积的物理背景、数量积的定义及其几何意义、数量积的性质、数量积的运算律、数量积的坐标表示、平面向量的模、向量的夹角等内容，通过本节学习，进一步加深对平面向量的运算的认识，掌握通过向量的

36、坐标表示，将几何问题转化为代数问题来解决的方法，领悟数学知识间的内在联系和数形结合的重要数学思想，提高合情推理能力 对于平面向量的数量积的要求如下： 通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义； 13 体会平面向量的数量积与向量投影的关系； 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算； 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 本节在高考中以选择题、填空题考查本章的基本概念和性质，重点考查平面向量的数量积的概念及应用，重点体会向量为代数几何的结合体 平面向量的综合问题是属于新的热点题型，其形式为与直线、圆锥曲线、解三角形、三角函数等联系，解

37、决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主 二、考点梳理 1平面向量数量积的物理背景 我们知道，如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W=|F|s|cosq，其中q是F与s的夹角 2平面向量数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是q，则数量|a|b|cosq叫a与b的数量积，记作ab，即有ab=|a|b|cosq， 我们规定，零向量与任何向量的数量积为0 两个向量的数量积与实数与实数的积有很大区别： 两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定； 两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积ab，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格

38、区分符号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替； 在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在向量的数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0，因为其中cosq有可能为0 已知实数a、b、c(b0)，则ab=bca=c但是ab=bca=c 如图所示：ab=|a|b|cosb=|b|OA|，bc=|b|c|cosa=|b|OA|， 则ab=bc，但显然ac. (5)在实数中，有(ab)c=a(bc)，但是(ab)ca(bc) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而a与c不一定共线 3“投影”的概念 14 定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影

39、注意：投影也是一个数量，不是向量，它可正可负，可以为零； 当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q=0时投影为|b|；当q=180时投影为-|b| 4向量的数量积的几何意义 数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积 5两个向量的数量积的性质 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量 ea=ae=|a|cosq；abab=0； 当a与b同向时，ab=|a|b|；当a与b反向时，ab=-|a|b|； 特别的aa=|a|2或|a|=cosq=aa； ab；ab|a|b| |a|b|6平面向量数量积的运算律 交换律：ab=ba；数乘结合律：(

40、la)b=l(ab)=a(lb)； 分配律：(a+b)c=ac+bc. 说明：有如下常用性质：a=|a|2；(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd；2(a+b)2=a+2ab+b 7平面向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，设i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，那么a=x1i+y1j，b=x2i+y2j， 所以ab=(x1i+y1j)(x2i+y2j)=x1x2i+x1y2ij+x2y1ij+y1y2j, 又ii=1，jj=1，ij=ji=0，所以ab=x1x2+y1y2 这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即ab=x1x

41、2+y1y2 平面内两点间的距离公式 若a=(x,y)，则|a|2=x2+y2或|a|=2222x2+y2； 15 若向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，那么|a|=(x1-x2)2+(y1-y2)2(平面内两点间的距离公式) 向量垂直的判定设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则abx1x2+y1y2=0 两向量夹角的余弦abcosq=|a|b|x1x2+y1y2x1+y1222x2+y228向量中一些常用的结论 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用； |a|-|b|ab|a|+|b|，特别地， 当a、 b同向时有|a+b|=|a|+|

42、b|a|-|b|=|a-b|； 当a、 b反向时有|a-b|=|a|+|b|a|-|b|=|a+b|； 当a、 b不共线|a|-|b|ab|a|+|b|(这些和实数比较类似). 在DABC中， 若A(1,x)1y,(B2),x(2,y3)，Cx3,则3其y重心的坐标为：y+y+x+x+2x1y2G1,3； 33PA+PB+PC=0P为DABC的重心； PAPB=PBPC=PCPAP为DABC的垂心； 向量l(AB+AC)(l0)所在直线过DABC的内心(是BAC的角平分线所在|AB|AC|直线)； 向量PA、 PB、 PC中三终点A、B、C共线存在实数a、b使得PA=aPB+bP且Ca+b=1

43、 例如平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3)，若点C满足OC=l1OA+l2OB，其中l1,l2R且l1+l2=1，则点C的轨迹是直线AB 三、典例例题选讲 例1 判断下列各命题正确与否： 16 0a=0；0a=0；若a0,ab=ac，则b=c； 若ab=ac，则bc当且仅当a=0时成立； 2(ab)c=a(bc)对任意a,b,c向量都成立；对任意向量a，有a=a 2解析：错；对；错；错；错；对 归纳小结：通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别与联系，重点清楚0a为零向量，而0a为零 例2已知|a|=2,|b|0，且关于x的方程x2+|a|x+ab=0有实根，则a与b的夹角的取值范围是 A0,ppp2pp B,p C, D,p 633362解析：|a|=2,|b|0，且关于x的方程x+|a|