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1、842偏导数与全微分第四节 偏导数与全微分 全微分 定义8.6 设函数z=f(x,y)，如果自变量在(x,y)的改变量Dx、Dy时，因变量的改变量 Dz=f(x+Dx,y+Dy)-f(x,y) Dz=ADx+BDy+0(r) 可以写成 其中 则称该函数在点A、B与Dx，Dy无关, r=(Dx)+(Dy)22(x,y)可微，并记 dz=ADx+BDy z=f(x,y)在点(x,y)可微，则该函数在该点的偏导数存在，且A=f(x,y)，B=f(x,y) yx定理8.1 若函数 证： Dz=ADx+BDy+0(r) 令Dy=0 o(Dx)DxDzo(r)=A+=A+ DxDxDxDxDzfx(x,y
2、)=lim=ADx0Dx类似地，可推出 Dzfy(x,y)=lim=B Dy0Dy定理8.2 若函数z=f(x,y)在点(x,y)的某一邻域内有连续的偏导数，则z=f(x,y)在点(x,y)点一定可微 注意：可微一定可导，可导不一定可微； 可微一定连续，连续不一定可微。 Dz=ADx+BDy+0(r) 当r0，有Dz0 求微分公式 df(x,y)=fx(x,y)Dx+fy(x,y)Dy df(x,y)=fx(x,y)dx+fy(x,y)dy 对三元函数有 df(x,y,z)=fxdx+fydy+fzdz f(x+Dx,y+Dy)-f(x,y)fx(x,y)Dx+fy(x,y)Dy 例1 求z=
3、e的全微分，并计算在(2,1)，Dx=0.15，xyDy=-0.1时的全微分 解： zx=yexy，zy=xexydz=yexydx+xexydy 在(2,1)，当Dx=0.15，Dy=-0.1时 有 dz=e20.15+2e2(-0.1) =-0.05e2例2 求1.013+1.983的近似值 解： z=f(x,y)=x3+y32 z3x则x=2x3+y3 3yzy=32x+y3223x3ydz=3dx+dy2x+y32x3+y3 当2x=1y=2dx=0.01dy=-0.02， ， 3134dz=0.01+(-0.02)2323=-0.0351.01+1.9833=f(1.01,1.98) f(1,2)-0.035 =3-0.035 =2.965
