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1、91高等数学同济大学第六本习题9-1 1. 设有一平面薄板(不计其厚度), 占有xOy面上的闭区域D, 薄板上分布有密度为m =m(x, y)的电荷, 且m(x, y)在D上连续, 试用二重积分表达该板上全部电荷Q. 解 板上的全部电荷应等于电荷的面密度m(x, y)在该板所占闭区域D上的二重积分 Q=m(x,y)dsD. 2. 设I1=(x2+y2)3ds, 其中D1=(x, y)|-1x1, -2y2; D1 又I2=(x2+y2)3ds, 其中D2=(x, y)|0x1, 0y2. D2试利用二重积分的几何意义说明I1与I2的关系. 解 I1表示由曲面z=(x2+y2)3与平面x=1,
2、y=2以及z=0围成的立体V的体积. I2表示由曲面z=(x2+y2)3与平面x=0, x=1, y=0, y=2以及z=0围成的立体V1的体积. 显然立体V关于yOz面、xOz面对称, 因此V 1是V位于第一卦限中的部分, 故 V=4V1, 即I1=4I2. 3. 利用二重积分的定义证明: (1)ds=s (其中s为D的面积); D 证明 由二重积分的定义可知, Df(x,y)ds=liml0nf(xi,hi)Dsi i=1其中Dsi表示第i个小闭区域的面积. 此处f(x, y)=1, 因而f(x, h)=1, 所以, dsD=liml0Dsi=1ni=lims=sl0. (2)kf(x,y
3、)ds=kf(x,y)ds (其中k为常数); DD 证明 kf(x,y)dsDni=1=liml0kf(x,h)Dsiii=1ni=limkf(xi,hi)Dsi l0i=1n =klimf(xi,hi)Dsi=kf(x,y)ds. l0D (3)f(x,y)ds=f(x,y)ds+f(x,y)ds, DD1D2其中D=D1D2, D1、D2为两个无公共内点的闭区域. 证明 将D1和D2分别任意分为n1和n2个小闭区域Dsi和Dsi, 12n1+n2=n, 作和 nn1n2i=1f(xi,hi)Dsi=f(xi1,hi1)Dsi1+f(xi2,hi2)Dsi2i1=1i2=1. 令各Dsi和
4、Dsi的直径中最大值分别为l1和l2, 又12l=max(l1l2), 则有 limf(xi,hi)Dsi=llimf(xi,hi)Dsi+llimf(xi,hi)Dsi, 00l0i=11nn1n2i1=11112i2=1222即 Df(x,y)ds=f(x,y)ds+f(x,y)dsD1D2. 4. 根据二重积分的性质, 比较下列积分大小: (1)(x+y)2ds与(x+y)3ds, 其中积分区域D是由x轴, yDD轴与直线x+y=1所围成; 解 区域D为: D=(x, y)|0x, 0y, x+y1, 因此当(x, y)D时, 有(x+y)3(x+y)2, 从而 32(x+y)ds(x+
5、y)ds. DD (2)(x+y)2ds与(x+y)3ds, 其中积分区域D是由圆周DD(x-2)2+(y-1)2=2所围成; 解 区域D如图所示, 由于D位于直线x+y=1的上方, 所以当(x, y)D时, x+y1, 从而(x+y)3(x+y)2, 因而 23(x+y)ds(x+y)ds. DD (3)ln(x+y)ds与(x+y)3ds, 其中D是三角形闭区域, 三DD角顶点分别为(1, 0), (1, 1), (2, 0); 解 区域D如图所示, 显然当(x, y)D时, 1x+y2, 从而0ln(x+y)1, 故有 ln(x+y)2 ln(x+y), 因而 2ln(x+y)dsln(
6、x+y)ds. DD (4)ln(x+y)ds与(x+y)3ds, 其中D=(x, y)|3x5. 0y1. DD 解 区域D如图所示, 显然D位于直线x+y=e的上方, 故当(x, y)D时, x+ye, 从而 ln(x+y)1, 因而 ln(x+y)2ln(x+y), 故 2ln(x+y)dsln(x+y)ds. DD 5. 利用二重积分的性质估计下列积分的值: (1)I=xy(x+y)ds, 其中D=(x, y)| 0x1, 0y1; D 解 因为在区域D上0x1, 0y1, 所以 0xy1, 0x+y2, 进一步可得 0xy(x+y)2, 于是 0dsxy(x+y)ds2ds, DDD
7、即 0xy(x+y)ds2. D (2)I=sin2xsin2yds, 其中D=(x, y)| 0xp, 0yp; D 解 因为0sin2x1, 0sin2y1, 所以0sin2xsin2y1. 于是 220dssinxsinyds1ds, DDD即 0sin2xsin2ydsp2. D (3)I=(x+y+1)ds, 其中D=(x, y)| 0x1, 0y2; D 解 因为在区域D上, 0x1, 0y2, 所以1x+y+14, 于是 ds(x+y+1)ds4dsDDDD, 即 2(x+y+1)ds8. (4)I=(x2+4y2+9)ds, 其中D=(x, y)| x2+y2 4. D 解 在D上, 因为0x2+y24, 所以 9x2+4y2+94(x2+y2)+925. 于是 229ds(x+4y+9)ds25ds, DDD 9p22(x2+4y2+9)ds25p22, D即 36p(x2+4y2+9)ds100p. D
