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1、9第九章 方差分析及回归分析第九章 方差分析及回归分析 1单因素试验的方差分析 方差分析是对试验结果所得数据作分析的一种常用的数理统计方法。 在第八章曾讨论过两个正态总体均值m1,m2是否相等的假设检验法，在那里建立了t检验法，本章要讨论三个或三个以上正态总体的均值是否相等的假设法。 当试验中仅有一个因素在改变，其他保待不变的情形称为单因素试验，因素所处的状态称为水平，例子见书P270例1，2，例3则为多因素试验法。 对例1，数据可看成来自三个不同的总体的样本值，m1,m2,m3为各个总体的均值，需检验假设 H0:m1=m2=m3H1:m1,m2,m3不全等。 一般地，设因素A有s个水平A1，
2、A2，.,.As，今考虑这s个水平对于某总体X的效应：设在每个水平Ai,1=i=s下，总体服从N(mi,s2).,.i=1.s，其中mi,s2均未知。在Ai,1=i=s下，取得样本为X1i,X2i,.Xnii,(i=1.s)并假定这S组样本相互独立。 (表9.4)观测结果水平A1 A2 Ai.A.j.A.s . X11 X12 X1i.X1j.X1s X21 X22 X2i.X2j.X2s . Xn1 Xn2 Xi.X1j.X1s 12样本总和 T*1 T*2 .T*j.T*sT*=T*j j=1s样本均值 X*1 X*2 .X*j.X*s 总体均值 m1 m2 .mj.ms 下面用线性模型加
3、以研究 QXijN(mj,s2),i=1.nj,1jsXij-mjN(0,s2) 故Xij-mj=eij称作随机误差。 或写 Xij=mj+eij， i=1,2,nj eijN(0,s2) j=1,2,.s. 其中eij是相互独立的随机变量列，常称不可观察随机变量。 s1s记总平均m=njmj， 其中n=nj. nj=1j=1令dj=mj-m 称它为水平Ai的效应，它反映因素在第j个水平下对试验指标的“纯”作用大小，易知mj之间的差异是等价的，且由,(1.3）知 ndij=1sj=nj(mj-m)=nm-nm=0 . j=1s于是的数学模型可改写为 Xij=m+dj+eij,.i=1,.,nj
4、.(1.6) .2eijN(0,s),.j=1,.,s当不同的水平并不影响总体时，即在水平Aj(j=1.s)下有 m1=m2=.=ms=m,这时d1=d2=.=ds=0 反之，若在某些水平下对总体有影响，这时相应的d值就不为0。 方差分析的任务是寻求一个统计量，对未知参数作假设检验，即假定有S个正态总体N(m1,s2),N(m2,s2),.,N(ms,s2)(或写为N(m+d1,s2),。.N(m+ds,s2),去检验假设 H0:m1=m2=.=ms=m.(1.7) .或d1=d2=.=ds=0法国数学家费歇尔在对总平方和ST作深入分析后，获得适当的统计量。具体分析为 记X*j1=njXi=1njij,.j=1.s.(1.8) 为第j个总体的样本均值 1S=nj2ij(Xi=1njij-X*j)2 为第j个总体的样本方差 1sj1sX=Xij=njX*j nj=1i=1nj=1n为样本总平均ST=(Xij-X)2 j=1i=1snj为总离差平方和或总变并差 下面分析ST Q(Xij-X)2=(Xij-X*j)+(X*j-X)2=(Xij-X*j)2+2(Xij-X*j)(X*j-X)+(X*j-X)2ST=(Xij-X*j)+2(Xij-X*j)(X*j-X)+(X*j-X)22j=1i=1j=1i=1j=1i=1snjsnjsnj但是
