ch13 能量法.docx

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1、ch13 能量法第十三章 能量法 13-2 图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。已知板件厚度为d，长度为l，左、右端 的截面宽度分别为b1与b2，材料的弹性模量为E，试用能量法计算板件的轴向变形。 题13-2图 解：对于变截面拉压板件，应变能的表达式为 由图可知，截面x的宽度为 2FNVe=dx=02EA(x)l2FNdx 02Edb(x)l(a) b(x)=b1+b2-b1x l代入式,并考虑到FN=F,于是得 b1F2F2l V=dx=ln2 02Eb-b2E(b2-b1)b1b1+21xl设板的轴向变形为Dl，则根据能量守恒定律可知， l 由此得 bFlF2l=ln2 22E(b2-b1

2、)b1l=bFlln2 E(b2-b1)b113-4图示结构，承受铅垂载荷F作用。已知杆BC与DG为刚性杆，杆1与2为弹性杆，且各横截面的拉压刚度均为EA，试用能量法计算节点D的铅垂位移。 题13-4图 1 解： 1. 轴力计算 未知支反力四个，未知轴力两个，即未知力共六个，而独立或有效平衡方程也为六个，故为一静定问题。设杆1与杆2均受拉，则刚性杆BC与DG的受力如图b所示。 由平衡方程 得 2. 铅垂位移计算 结构的应变能为 2222210F2lFNlFlFl421N2V=+= +-=2EA2EA2EA339EAMB=0, FN1a+FN22a=0 MG=0, F2a-FN12a-FN2a=

3、0 FN1=4F2F， FN2=- 33设节点D的铅垂位移DDy与载荷F同向，因此，载荷F所作的功为 FDyW= 2根据能量守恒定律，于是有 FDy10F2l= 29EA由此得节点D的铅垂位移为 Dy=20Fl 9EA()13-5 图a所示圆柱形大螺距弹簧，承受轴向拉力F作用。试用能量法证明弹簧的轴向变形为 8FD3n2Gsin2al=cosa+ 4EcosaGd式中：D为弹簧的平均直径，d为弹簧丝的直径，n为弹簧的圈数，a为螺旋升角，E为弹性模量，G为切变模量。 题13-5图 2 解：由图b可知，s截面的弯矩与扭矩分别为 M(s)=MFsina=据能量守恒定律，有 W=V 其中， W=而 V

4、= 式中，l为簧丝总长，其值为 l=FDFDsina, T(s)=MFcosa=cosa 22Fl 2 lM2 lT2(s) 02GIPds+(s) 02EIds Dn cosa将式代入式，并注意到式，得 2GIPsinaF2D3n V=(coas+) 8GIPEIcoas最后，将式和代入式，于是得 8FD3n2Gsin2al=(cosa+) 4EcosaGd13-6 图示等截面直杆，承受一对方向相反、大小均为F的横向力作用。设截面宽度为b、拉压刚度为EA，材料的泊松比为m。试利用功的互等定理，证明杆的轴向变形为 Dl=mbFEA题13-6图 解：设该杆两端承受轴向拉力F1作用，杆的横向变形为

5、 Db=-meb=-m根据功的互等定理，于是有 F1mFbb=-1 EAEAmF1bF1l=F EA由此得 l=mbFEA 3 13-8 图示桁架，在节点B承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试用卡氏定理计算该节点的铅垂位移DB。 题13-8图 解：根据卡氏定理，有 F1B=FNiliNi EAi=1F5各杆编号示如图13-8。 图13-8 求B的运算过程示如下表： l li FNi 2F 22F 21F 2FNi F-2 22 21 2FNiliFNi F1 2a -2Fa 22Fa 21Fa 42 2a a -3 4 a 1F 2F 1 21 1Fa 4Fa 5 a 4 由此得

6、 3+22Fa 2B=(3+22)Fa 2EA13-9 图示刚架，承受载荷F作用。设弯曲刚度EI为常数，试用卡氏定理计算截面C的转角。 题13-9图 解：在截面C处假想附加一矩为MC的力偶，由图可得 M(x1)=(F+MCM(x1)x1)x1 , = aMCaM(x2)M(x2)=Fx2+MC , =1 MC图13-9 根据卡氏定理，得 1qC=EIx(Fx1)(1)dx1+ 0a a5Fa2(Fx2)(1)dx2= 06EI a13-10 图示各梁，弯曲刚度EI均为常数，试用卡氏定理计算横截面A的挠度D与转角q。 AA 5 题13-10图 解：令Fa=MA，由图13-10a易得 M(x)=M

7、A-Fx， M(x)=-x， M(x)=1 FMA图13-10(a) 注意到左半段梁上M=0，于是得 1A=EIFa3(Fa-Fx)(-x)dx=- 06EI a1qA=EIFa2(Fa-Fx)(1)dx= 02EI a解：令qa=F，并在A端附加一顺钟方向的力偶矩MA，自A向左取坐标x，有 M(x)M(x)1=-1 M(x)=-MA-Fx-qx2， =-x， MAF2根据卡氏定理，得 41A=EI11qa1(-qax-qx2)(-x)dx= 0224EI2qa31 a12qA=(-qax-qx)(-1)dx= EI 023EI a13-12 图示圆截面轴，承受集度为m的均布扭力矩作用。设扭转

8、刚度GI为常数，试用p卡氏定理计算杆端截面A的扭转角。 题13-12图 解：在A端附加一扭力矩MA，自A向左取坐标x1，自轴中间截面向左取坐标x2，于是有 6 T(x1)=MA+mx1 , T(x2)=MA+ma 及 T(x1)T(x2)=1 MAMA依据卡氏定理，得 1jA=GIp3ma(mx1)(1)dx1+(ma)(1)dx2= 0 02GIp a a213-14 图示简支梁，承受集度为q(x) 的分布载荷作用，现在，使梁发生横向虚位移w(x)，*该位移满足位移边界条件与变形连续条件，试证明： w(x)q(x)dx=M(x)dq l l*即证明外载荷q (x) 在虚位移上所作之总虚功We

9、 ，等于可能内力M(x)在相应虚变形上所作之总虚功Wi 。 题13-14图 解：虚位移为满足变形连续条件与位移边界条件的微小位移，因此 dw*q=， w*(0)=w*(l)=0 dx可能内力是满足平衡与静力边界条件的内力，即 dFdM=M(l)=0 q(x)=S , FS(x)= , M(0)dxdx于是有 *dFWe=w(x)q(x)dx=w(x)Sdx=w*FSl 0dx* l*l0dw*-FSdx 0dx l =-qdMdx=-q*M 0dx l*l0+ l 0M(x)dq*=M(x)dq l*=Wi 13-15 图示阶梯形简支梁，承受载荷F作用。试用单位载荷法计算横截面C的挠度D与C横

10、截面A的转角qA。 题13-15图 解：设两种单位状态如下： 7 1令F=1； 2在截面A处假想加一顺钟向力偶矩MA=1，坐标示如图13-15。 图13-15 三种弯矩方程为 11FM(x1)=x1 , M(x1)=1-x1 , M(x1)=x1 33a311FM(x2)=x2 , M(x2)=1-x2 , M(x2)=x2 33a3212FM(x3)=x3, M(x3)=x3, M(x3)=x3 33a3依据单位载荷法，有 1DC=EI及 1F1(x1)(x1)dx1+ 0332EI a a 2a axF1(2)(x2)dx2+332EI22F13Fa3(x3)(x3)dx3= () 033

11、54EI a1qA=EIxF1(1-1)(x1)dx1+ 03a32EI a 2axF1(1-2)(x2)dx2+3a32EIx32F31Fa2(x3)dx3= 03a3108EI a13-16 图示含梁间铰的组合梁，外伸段承受均布载荷q作用。设各梁各截面的弯曲刚度均为EI，试用单位载荷法计算该铰链两侧横截面间的相对转角q。 题13-16图 解：求q的单位状态及坐标取法示如图13-16。 图13-16 两种弯矩方程为 q2 M(x1)=0, M(x1)=-x12xqaM(x2)=1-2, M(x2)=-x2 a28 M(x3)=1+由此得到 x3qa, M(x3)=x3 a2x3qaqa3(1

12、+)(x3)dx3= 0a23EI a1q=EIxqa1(1-2)(-x2)dx2+ 0a2EI a13-17 图示桁架，在节点B处承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试用单位载荷法计算该节点的水平位移DB与杆AB的转角qAB。 题13-17图 (a) 解：求B和qAB的单位状态分别示如图13-17a和a。 图13-17a 求B的运算过程列表如下： i 1 2 li a a FNi FNi F FNiFNili 3Fa 33 33 3F F 2-3Fa 33Fa 123Fa 123 a -3 6- - 9 故有 B=求qAB的运算过程列表如下： i 1 2 3 i=13FNiFNi

13、li3Fa=- EA12EAli a a a FNi 23a1FNi F FNiFNili 23 F3-3a1F 3 F3-3 F63aF 2 故有 53 F6qAB=FNiFNili53F= EA6EAi=13(b) 解：求B和qAB的单位状态分别示如图13-17b和b。 图13-17b 求B的运算过程列表如下： i 1 2 3 4 li a FNi 1 0 1 FNi F FNiFNili Fa 2a a -2F 0 Fa F 2F 10 2a 2 22Fa 5 故有 a 0 F 0 (2+22)Fa B=求qAB的运算过程列表如下： FNiFNili(2+22)Fa= EAEAi=15i

14、 1 2 3 4 5 故有 li a FNi FNi FNiFNili 1 aF F 2a a -2 a-2F 22F 0 0 2 a-1 aF 2F 2a a 22F F F (2+42)F qAB=i=15FNiFNili(2+42)F= EAEA13-18 图示刚架，弯曲刚度EI为常数。试用单位载荷法计算截面A的转角及截面D的水平或铅垂位移。 11 题13-18图 (a)解：求qA及D的单位状态分别示如图13-18a和。 图13-18a 弯矩方程依次为 q2 M(x1)=1, M(x1)=x1, M(x1)=qax1-x12qa1M(x2)=x2, M(x2)=a, M(x2)=x2 a

15、2M(x3)=0, M(x3)=x3, M(x3)=0 依据单位载荷法，有 1qA=EI及 q2(1)(qax1-x1)dx1+ 02 ax2qax2qa3dx2= 0a22EI a1D=EIq2(x1)(qax1-x1)dx1+ 02 aqa11qa4(a)(x2)dx2= 0224EI a(b)解：求qA及D的单位状态如图13-18b和b所示。 12 图13-18b 弯矩方程为 M11M(x)=x, M(x)=x, M(x)=ex a2a注意到BC段的M和M均为0，AB段的M为0，于是得到 1qA=EI1D=EIMeaxMe(x)dx= 0aa3EI a aMea2xMe(x)dx= 02

16、a6EI13-21 图示圆截面刚架，横截面的直径为d，且a=10d 。试按下述要求计算节点A的铅垂位移DA，并进行比较。 同时考虑弯矩与轴力的作用； 只考虑弯矩的作用。 题13-21图 解：令F=1即为求A的单位状态，坐标x自下顺轴线向上取。 考虑M与FN同时作用 M(x)=FN=22x, M(x)=Fx 4422, FN=F 4413 利用对称性，可得 2a22222Fa3Fa16030FA=(x)(Fx)dx+(F)a=+= EI 044EA4412EI4EA3Ed只考虑M作用 此时，有 Fa316000FA= 12EI3Ed比较可知，后者只比前者小0.2%。 13-23 图示变截面梁，自

17、由端承受集中载荷F = 1kN作用，材料的弹性模量E =200GPa。试用单位载荷法计算截面A的挠度。 题13-23图 解：令F=1即为求A的单位状态，自A向左取坐标x，则有 M(x)=-x, M(x)=-Fx 梁截面之惯性矩为 b(x)h30.0103x1.00010-7Iz(x)=(0.020+)=(0.100+x) 121256由此得 A=x2611030.0560943 dx=m=0.01683m -790.100+x1020010 l 0M(x)M(x)6F dx=-7EIz(x)10E 0.400 013-24 图示结构，在截面C处承受载荷F作用。梁BC各截面的弯曲刚度均为EI，杆

18、DG各截面的拉压刚度均为EA，试用单位载荷法计算该截面的铅垂位移DC与转角qC。 题13-24图 解：令F=1作为求C的单位状态；求qC的单位状态如图13-24所示，坐标取法亦示于图中。 14 图13-24 梁的弯矩方程为 M(x1)=-x1, M(x1)=-1, M(x1)=-Fx1 xM(x2)=-x2, M(x2)=-2, M(x2)=-Fx2 a杆的轴力为 2FN=-22, FN=-, FN=-22F a依据单位载荷法，得 2C=EI12Fa382Fa(-x1)(-Fx1)dx1+(-22)(-22F)(2a)=+ 0EA3EIEAa1aqC=(-1)(-Fx1)dx1+EI 0x21

19、25Fa242F(-)(-Fx2)dx2+(-)(-22F)(2a)=+ 0aEAa6EIEA a13-26 图示结构，在铰链A处承受载荷F作用。各曲杆各截面的弯曲刚度均为EI，试用单位载荷法计算该铰链两侧横截面间的相对转角q。 题13-26图 解：求q的单位状态如图13-26所示。 图13-26 15 j自A处量起，弯矩方程为 M(j)=cosj, M(j)=注意到左右对称，可得 FR(sinj+cosj-1) 2q=2 /2FR(cosj)(sinj+cosj-1)RdjEI 02(-2)FR2FR2 /22=(sinjcosj+cosj-cosj)dj=EI 04EI13-28 图示圆弧

20、形小曲率杆，横截面A与B间存在一夹角为Dq的微小缝隙。设弯曲刚度EI为常数，试问在横截面A与B上需加何种外力，才能使该二截面恰好密合。 题13-28图 解：设在A、B面上需加一对力偶矩Me及一对力F后可使二截面恰好密合，现确定Me及F之值。载荷状态及求qA/B、A/B的单位状态分别示如图13-28,和。 图13-28 弯矩方程依次为 M(j)=Me+FR(1-cosj), M(j)=1, M(j)=R(1-cosj) 根据单位载荷法，有 qA/B=A/B2=EI2EI 0(1)Me+FR(1-cosj)Rdj=2R(Me+FR) EI2R23R(1-cosj)Me+FR(1-cosj)Rdj=

21、(Me+FR) 0EI2根据题意要求，应有 qA/B=q, A/B=Rq 由此得 16 F=0, Me=EIq 2R结论：加一对矩为Me=EIq(2R)的力偶，可使缝隙处该二截面恰好密合。 13-29 图示开口平面刚架，在截面A与B处作用一对与刚架平面垂直的集中力F。试用单位载荷法计算该二截面沿载荷作用方向的相对线位移DA/B。弯曲刚度EIy与EIz以及扭转刚度GIt均为常数，且Iy=Iz= I 。 题13-29图 解：求A/B的单位状态及路径分段坐标示如图13-29。 图13-29 载荷状态及单位状态的弯矩方程依次为 M(x1)=-Fx1, M(x1)=-x1 M(x2)=Fx2, M(x2

22、)=x2 M(x3)=Fx3, M(x3)=x3 两种状态的扭矩方程依次为 T(x2)=-Fll, T(x2)=- 22T(x3)=-Fl, T(x3)=-l 17 根据单位载荷法，并据Iy=Iz=I，可得 A/B1=2EI l/2 02Fx1dx11+EI l 02Fx2dx21+GIt lFl2 04dx2+1EI l/2 02Fx3dx3+1GIt l/2 0Fl2dx3 5Fl33Fl3 = +6EI2GIt13-30 图示圆弧形小曲率杆，承受矩为M的力偶作用。设弯曲刚度EI与扭转刚度GIet均为常数，试用单位载荷法计算截面A的扭转角jA与铅垂位移A。 题13-30图 解：求jA和A的

23、单位状态俯视图如图13-30a和b所示。 图13-30 求jA的弯矩、扭矩方程依次为 M(q)=-sinq, M(q)=-Mesinq T(q)=cosq, T(q)=Mecosq 由此得 1jA=EI1MesinqRdq+ 0GIt 2 0Mecos2qRdq=MeRMeR+ 2EI2GIt求A的单位状态的弯矩，扭矩方程依次为 M(q)=-Rsinq, T(q)=-R(1-cosq) 18 由此得 1A=EI 01MeRsinq Rdq+GIt2MeR2MeR2MeR(cosq-cosq)Rdq=+ 02EI2GIt 2113-32 图示等截面刚架，杆AB的左侧及杆BC的顶面的温度升高T，另

24、一侧的温度升高T2，并沿截面高度线性变化。设横截面的高度为h，材料的线膨胀系数为al，试用单位载荷法计算截面C的铅垂位移Dy、水平位移Dx与转角qC。 题13-32图 解：1求dq和dd 设T2T1，由题13-31之解可知， dq=2求截面C的位移 al(T2-T1)dxh, dd=al(T2+T1)dx2求y，x和qC的单位状态依次示如图13-32a,b和c。 图13-32 由图a可知， M(x1)=x1, M(x2)=l, FN2=1 由此得 0h3l2al(T2-T1)lal(T2+T1) =+2h2由图b可知， 0 ly=(x1)al(T2-T1)dx1+ l(l)al(T2-T1)h

25、dx2+ l 0(1)al(T2+T1)2dx2 19 FN=1, M(x2)=-x2 由此得 x=(1) 0 lal(T2+T1)2dx1+(-x 0 l2)al(T2-T1)hlal(T2+T1)l2al(T2-T1)dx2=- 22h由图c可知， M(x1)=1, M(x2)=1 由此得 lqC=(1) 0al(T2-T1)hdx1+ l 0(1)al(T2-T1)hdx2=2lal(T2-T1)h若T2T1，各位移均反向。 13-33 图示桁架，在节点C承受载荷F作用。各杆的横截面面积均为A，各杆的材料相同，应力-应变关系呈非线性，拉伸时为s=c，压缩时亦同，其中c为已知常数，试用单位

26、载荷法计算该节点的铅垂位移y与水平位移x。 题13-33图 解：1令F=1作为求y的单位状态；求x的单位状态及各杆编号示如图13-33。 图13-33 2内力计算结果及杆长列于下表： 20 i 1 2 3 4 5 3建立li与FNi的关系 根据 FNi 0 1 1 0 FNi 1 0 0 0 0 FNi 0 F F 0 li l l l l 2 2F 2l s=ce 得 s2=c2e 或写成 2FNls2e=2=22 lcAc由此得 22FNlFNlil=22, li=2i2 AcAc4求位移 根据单位载荷法及以上内力结果，得 6F2ly=FNili=22 Aci=15x=i=15FNili=

27、0 13-34 题13-17所述桁架，材料的线膨胀系数为a。设杆AB的温度升高DT，试计算由l此引起的节点B的铅垂位移。 解：由图13-34a可得 21 图13-34a i 1 2 3 于是有 FNi 1 1 li 0 FNili 0 -alaT alaT 0 12 0 -alaT B=FNili=-alaT i=13解：由图13-34b可得 图13-34b i FNi 1 li FNili 1 2 3 alaT 0 0 alaT 0 0 -2 1 22 4 5 2 1 0 0 0 0 alaT 于是有 B=Fi=15Nili=alaT 13-36 试用图乘法解题13-15。 解：由图13-3

28、6可得 图13-36 w1=Fa2, MC1=a w2=Fa2, MC2=131214a 271629w3=Fa2, MC3=a 2137MC1=, MC2=, MC3= 9279于是得到 23 491Fa221Fa2141Fa2413Fa3 C=(a)+(a)+(a)=EI692EI2272EI3954EI及 1Fa221Fa2131Fa2731Fa2qA=+= EI692EI2272EI39108EI13-38 试用图乘法解题13-11。 解：由图13-38可得 图13-38 w1=2Fa, FNC1=1 qa2w2=-, FNC2=1 2于是有 qa(4F-qa)a1A=(2Fa)(1)

29、+(-)(1)= EA22EA213-40 图示等截面刚架，承受均布载荷作用。设弯曲刚度EI与扭转刚度GI均为已知常t数，试用图乘法计算截面A的铅垂位移DA。 题13-40图 解：由图13-40可得 24 图13-40 qa33w1=-, MC1=-a 64qal22lw2=-, MC2=- 23qa2lw3=-, TC3=-a 2于是有 1qa33a1qal22l1qa2lqa4qal3qa3l A=(-)(-)+(-)(-)+(-)(-a)=+EI64EI23GIt28EI3EI2GIt13-42 图示圆截面简支梁，直径为d，承受均布载荷q作用，弹性模量E与切变模量G之比为8/3。 若同时

30、考虑弯矩与剪力的作用，试计算梁的最大挠度与最大转角； 当l/d =10与l/d =5时，试计算剪切变形在总变形中所占百分比。 25 题13-42图 解：计算梁的最大挠度的单位状态如图13-42a所示。 图13-42 qlq1M(x)=x, M(x)=x-x2 222ql1FS(x)=, FS(x)=-qx 22得最大挠度为 2max=EI l/2 0xqlq102(x-x2)dx+2229GA l/2 01ql5ql2l28(-qx)dx=(+) () 2222Ed6d27计算梁的最大转角的单位状态如图13-42b所示。 x1M(x)=1-, FS(x)=- ll得最大转角为 1qmax=EI

31、xqlq210 l1qlql38ql3(1-)(x-x)dx+(-)(-qx)dx= 0 0l229GAl224EI3Ed4 l 由以上结果可知，剪力引起的挠度为 40ql2s= 27Ed2占总挠度的比例为 d=s81 =2max27l8+6d227当ld=10时，d=1.75% 当ld=5时，d=6.64% 由此可见，对于细长梁，剪力对位移的影响比弯矩小得多，通常可以忽略不计。 13-43 图示两端铰支细长压杆，承受均布载荷q作用。试利用能量法确定载荷q的临界值。设压杆微弯平衡时的挠曲轴方程为 x w=fsinl式中，f 为压杆中点的挠度即最大挠度。 26 题13-43图 解：由题设可知，

32、w=f sin据此得 fxx, w=cos lll1l(x)=2qcr所作之功则为 1(w)dx= 02x2*f2f22x2x2x*cosdx=+sin 0ll8lllxf2qcrW=l(x)qcrdx= 08l l2f2qcr2x2x+sin dx= 0ll8 l又由于 2xw=-2fsin ll得压杆所增应变能为 EI4f21 l2V=EI(w)dx=2 02l4EI4f2xsindx= 0l4l3 l2将以上结果代入 W=V 于是得q的临界值为 22EIqcr= l313-44 图示两端铰支细长压杆，承受轴向载荷F作用。设压杆微弯平衡时的挠曲轴方程为 xw=fsin l式中，f 为压杆中

33、点的挠度即最大挠度。试利用能量法确定载荷F的临界值Fcr。 27 题13-44图 解：根据题设 w=fsin有 x l2xxw=fcos, w=-f2sin llll由此得 l1l=22 l/2 02f2(w)dx=22l2 l/2 02f2xcosdx= l8l21l(l)=2于是得外力所作之功为 2f2(w)dx= 04l l232f2Fl W=Fl+l(l)=28l又 EI4f21 l2V=EI(w)dx=202l4EI4f2xsindx= 30l4l l2将以上结果代入 W=V 最后得F的临界值为 EI4f222EI8lFcr=22= 3f4l33l2解：根据题设 w=fsin有 x

34、l 28 2xxw=fcos, w=-f2sin llll由此可得 l=12于是 2f2(w)dx= 02l2 l22fxcosdx= 0l4l l222f2DW=F=F 4l又 V=l/212l/422EI(w)dx+2EI(w)dxl/4 02(3+2)EI3f2EIf24l/42x2EIf24l/22x =sindx+sindx= 0l/4lll4l48l3将以上结果代入 W=V 最后得载荷F的临界值为 Fcr=(3+2)2EI2l22EI=1.822 l0 13-45 图示变截面细长压杆，横截面A的惯性矩为I, x截面的惯性矩为 xI=I01- 2l设压杆微弯平衡时的挠曲轴方程为 x2w=f2 l式中，f为压杆自由端的挠度。试利用能量法确定压杆的临界载荷Fcr 。 题13-45图 解：根据题设 29 x2w=f2 l有 w=由此可得 2f2fx, w= l2l22f2xdx= 03l l21l=2于是 2f2(w)dx=4 0l l22f2FDW=Fl= 3l又 2f1 l2V=EI(w)dx=42 0l23f2EIoxEIo1-dx= 02l2l3 l将以上结果代入 W=V 最后得载荷F的临界值为 Fcr=9EIo 4l2 30