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1、ch9 强度理论第九章 强度理论 9-3 已知脆性材料的许用拉应力s与泊松比m，试根据第一与第二强度理论确定纯剪s1=-s3=t, s2=0 切时的许用切应力t 。 解：纯剪切时的主应力为 根据第一强度理论，要求 即要求 s1s ts 由此得切应力的最大许可值即许用切应力为 t=s 根据第二强度理论，要求 即要求 由此得相应许用切应力为 s1-m(s2+s3)s t+mts t=s 1+mr39-4 试比较图示正方形棱柱体在下列两种情况下的相当应力s为已知。 (a) 棱柱体轴向受压； (b) 棱柱体在刚性方模中轴向受压。 ，弹性常数E和m均题9-4图 (a)解：对于棱柱体轴向受压的情况，三个主
2、应力依次为 1=2=0， 3=- 由此可得第三强度理论的相当应力为 1 r3=1-3= (a) (b)解：对于棱柱体在刚性方模中轴向受压的情况，可先取受力微体及坐标如图9-4所示，然后计算其应力。 由图9-4可得 根据刚性方模的约束条件，有 即 注意到 故有 三个主应力依次为 由此可得其相当应力为 图9-4 y=- x=1x-(y+z)=0 Ex=(y+z) z=x 1-x=z=-1=2=-，3=- 1-1-2 1-(b) r3=1-3=按照第三强度理论，(a)与(b)两种情况相当应力的比值为 r=r3(a)r3(b)=1-1 1-2这表明加刚性方模后对棱柱体的强度有利。 9-5 图示外伸梁，
3、承受载荷F = 130 kN作用，许用应力s=170 MPa。试校核梁的强度。如危险点处于复杂应力状态，采用第三强度理论校核强度。 2 题9-5图 解：1.内力分析 由题图可知，B+截面为危险截面，剪力与弯矩均为最大，其值分别为 FS=F=130kN， M=Fl2=130103N0.600m=7.80104Nm 2几何性质计算 0.1220.2803(0.122-0.0085)(0.280-20.0137)Iz=-m4=7.0710-5m412127.0710-53 Wz=m=5.0510-4m30.140 0.01373 Sz(b)=0.1220.0137(0.140-)m=2.2310-4
4、m3=2Sz(a)21 Sz,max=2.2310-4+0.0085(0.140-0.0137)2m3=2.9010-4m323式中：足标b系指翼缘与腹板的交界点；足标a系指上翼缘顶边中点。 3应力计算及强度校核 三个可能的危险点示如图9-5。 图9-5 a点处的正应力和切应力分别为 M7.80104N =1.545108 Pa=154.5 MPa-42Wz5.0510mFSSz(a)1301031.11510-4N=1.496107 Pa=14.96 MPa-52Izt7.07100.0137m该点处于单向与纯剪切组合应力状态，根据第三强度理论，其相当应力为 sr3=s2+4t2=154.5
5、2+414.962MPa=157.4MPas b点处的正应力和切应力分别为 3 Myb7.80104(0.140-0.0137)N=1.393108 Pa=139.3 MPa-52Iz7.0710m =FSSz(b)Iz=130102.2310N7=4.8210 Pa=48.2 MPa7.0710-50.0085m23-4该点也处于单向与纯剪切组合应力状态，其相当应力为 sr3=139.32+448.22MPa=169.4MPas c点处于纯剪切应力状态，其切应力为 =FSSz,maxIz1301032.9010-4N=6.27107 Pa=62.7 MPa -527.07100.0085m其
6、相当应力为 sr3=2t=262.7MPa=125.4MPa 结论：该梁满足强度要求。 4强度校核 依据第三强度理论，上述三点的相当应力依次为 r3(a)=1-3=155.9-(-1.44) MPa=157.3 MPa r3(b)=154.4-(-15.05) MPa=169.5 MPa r3(c)=2=262.7 MPa=125.4 MPa它们均小于许用应力，故知梁满足强度要求。 9-8 图示油管，内径D =11 mm，壁厚d= 0.5 mm，内压p = 7.5 MPa，许用应力s=100 MPa。试校核油管的强度。 题9-8图 解：油管工作时，管壁内任一点的三个主应力依次为 1=t=按照第
7、三强度理论，有 pD，2=x=0，3=r0 2pD7.51060.011 N7r3=1-3=8.2510 Pa=82.5 MPa 220.0005 m2计算结果表明，该油管满足强度要求。 9-9 图示圆柱形容器，受外压p = 15 MPa作用。材料的许用应力s= 160 MPa，试按第四强度理论确定其壁厚。 4 题9-9图 解：根据第四强度理论，圆柱形薄壁容器的强度条件为 由此得 r4=3pD 43pD3151060.080-3= m=3.2510 m=3.25 mm 44160106所得D/20，属于薄壁容器，上述计算有效。 9-10 图a所示车轮，由轮毂与套于其上的薄钢圈组成。钢圈的内径d
8、比轮毂的外径D略小，安装时先将钢圈适当加热，以使二者套合，冷却后钢圈即紧套在轮毂上。钢圈的厚度为d，弹性模量为E，轮毂的刚度很大，分析时可忽略其变形。试求钢圈与轮毂间的相互作用力，以及钢圈横截面上的初应力。 题9-10图 解：在内压p作用下，钢圈的周向正应变为 spD et=t=E2Ed(a) 安装前后，钢圈的直径由d变为D，其周向正应变为 et=D-dD-d =dd2Ed(D-d)Dd(b) 比较式(a)与(b)，得 p=由此得钢圈横截面上的正应力为 st=pDE(D-d) =2dd9-11 图示铸铁构件，中段为一内径D =200 mm、壁厚d= 10 mm的圆筒，圆筒内的压力p =1 MP
9、a，两端的轴向压力F = 300 kN，材料的泊松比m= 0.25，许用拉应力st=30 MPa。 5 试校核圆筒部分的强度。 题9-11图 解：1.应力计算 圆筒的=D/20，属于薄壁圆筒。故由内压引起的轴向应力和周向应力分别为 pD11060.200 xp= Pa=5106 Pa=5 MPa440.010 6pD1100.200tp= Pa=10106 Pa=10 MPa220.010由轴向压力引起的轴向应力为 F300103 NxF=4.77107 Pa=47.7 MPa 2D0.2000.010 m筒壁内任一点的主应力依次为 1=10 MPa，20，3=(5-47.7) MPa=-42
10、.7 MPa 2强度校核 由于该铸铁构件的最大压应力超过最大拉应力，且超过较多，故宜采用最大拉应变理论对其进行强度校核，即要求 将上述各主应力值代入上式，得 r2=1-(2+3) r2=10-0.25(-42.7) MPa=20.7 MPaa2。题9-13图 解：内、外环的受力情况示如图9-13a和b。 7 图9-13 设铜环的轴力为FN1，钢环的轴力为FN2，由图c与d所示各半个薄圆环的平衡条件可得 变形协调条件为 物理关系为 FN1=FN2=pD 2(a) D1=D2 (b) FN1DE1A1 FN2DD2=2DT+E2A2D1=1DT-(c) 将式(c)代入式(b)，得 由式(a)可知，
11、 即 (1-2)T=FN1F+N2=1t+2t E1A1E2A2E1E2(d) 1tA1=2tA2， 1tA22= 2tA111t= 22t 1(e) 将方程(e)与方程(d)联立求解，得铜环和钢环内的周向正应力依次为 1t= (1-2)E1E22T E11+E22(f) 8 式(f)亦可写成 2t= (1-2)E1E21T E11+E22(g) 1t= (2-1)E1E22T E11+E22(f) 9-14 图示薄壁圆筒，同时承受内压p与扭力偶矩M作用。由实验测得筒壁沿轴向及与轴线成45方位的正应变分别为e0o和e45o，筒的内径D、壁厚d、材料的弹性模量E与泊松比m均为已知。试求内压p与扭
12、力偶矩M之值。 题9-14图 解：圆筒壁内任意一点的应力状态如图9-14所示。 图中所示各应力分量分别为 由此可得 图9-14 sx=pDpD2M, st=, t=2 4d2dDd3pD3pD, +45o=- 88(a) (b) 0o=x, 90o=t, 45o=+根据广义胡克定律，贴片方向的正应变为 e0o=sx-mst=1s45oE由式(a)可得圆筒所承受的内压为 e45o=(1-2m)pD4E12(1+m)M(1-m)3pD-ms+45o=+ 2E8dDd1Ep=4Eo (1-2)D0 (c) 将式(c)代入式(b)，可得扭力偶矩为 9 ED2M=2(1-2)45o-3(1-)0o 4(
13、1+)(1-2)9-15 如图(a)所示，在直径为D40mm的铝质圆柱体外，光滑套合一壁厚d=2mm的钢管，圆柱体承受轴向载荷F40kN作用，铝与钢的弹性模量分别为E1=70GPa与E2=210GPa，泊松比分别为m1=0.35与m2=0.25。试计算钢管的周向正应力。 题9-15图 解：圆柱体与外管横截面上的正应力分别为 4Fsx1=-2 D sx2=0 pD 2d设圆柱体与外管间的相互作用力的压强为p，在其作用下，外管纵截面上的周向正应力为 st2=(a) 在外压p作用下，圆柱体内任一点处的径向与周向正应力均为 sr1=st1=-p 根据广义胡克定律，圆柱体外表面的周向正应变为 et1=4mF1(st1-m1sx1-m1sr1)=1-p+12+m1p E1E1D外管内表面的周向正应变则为 变形协调条件为 于是有 由此得 et2=st2E2=pD 2E2det1=et2 4mF1pD -p+12+m1p=E1D2E2dp=8m1E2dFD2E1D+2(1-m1)E2d 10 将上式代入式，于是得钢管的周向正应力为 st2=4m1E2F=28MPa DE1D+2(1-m1)E2d 11
