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1、Excel回归分析结果的详细阐释Excel回归分析结果的详细阐释 利用Excel的数据分析进行回归，可以得到一系列的统计参量。下面以连续XX年积雪深度和灌溉面积序列为例给予详细的说明。 图1 连续XX年的最大积雪深度与灌溉面积 回归结果摘要如下： 图2 利用数据分析工具得到的回归结果 第一部分：回归统计表 这一部分给出了相关系数、测定系数、校正测定系数、标准误差和样本数目如下： 表1 回归统计表 1 逐行说明如下： Multiple对应的数据是相关系数(correlation coefficient)，即R=0.989416。 R Square对应的数值为测定系数(determination
2、coefficient)，或称拟合优度(goodness of fit)，它是相关系数的平方，即有R2=0.9894162=0.978944。 Adjusted对应的是校正测定系数(adjusted determination coefficient)，计算公式为 (n-1)(1-R2)Ra=1- n-m-1式中n为样本数，m为变量数，R2为测定系数。对于本例，n=10，m=1，R2=0.978944，代入上式得 Ra=1-(10-1)(1-0.978944)=0.976312 10-1-11SSe n-m-1标准误差对应的即所谓标准误差，计算公式为 s=这里SSe为剩余平方和，可以从下面的方
3、差分析表中读出，即有SSe=16.10676，代入上式可得 s=1*16.10676=1.418924 10-1-1最后一行的观测值对应的是样本数目，即有n=10。 第二部分，方差分析表 方差分析部分包括自由度、误差平方和、均方差、F值、P值等。 表2 方差分析表 逐列、分行说明如下： 第一列df对应的是自由度，第一行是回归自由度dfr，等于变量数目，即dfr=m；第二行为残差自由度dfe，等于样本数目减去变量数目再减1，即有dfe=n-m-1；第三行为总自由度dft，等于样本数目减1，即有dft=n-1。对于本例，m=1，n=10，因此，dfr=1，dfe=n-m-1=8，dft=n-1=9
4、。 第二列SS对应的是误差平方和，或称变差。第一行为回归平方和或称回归变差SSr，即有 i-yi)2=748.8542 SSr=(yi=1n它表征的是因变量的预测值对其平均值的总偏差。 第二行为剩余平方和或称剩余变差SSe，即有 i)2=16.10676 SSe=(yi-yi=1n 2 它表征的是因变量对其预测值的总偏差，这个数值越大，意味着拟合的效果越差。上述的y的标准误差即由SSe给出。 第三行为总平方和或n称总变差SSt，即有 SSr=(yi-yi)2=764.961 i=1它表示的是因变量对其平均值的总偏差。容易验证748.8542+16.10676=764.961，即有 SSr+SS
5、e=SSt 而测定系数就是回归平方和在总平方和中所占的比重，即有 R2=SSr748.8542=0.978944 SSt764.961显然这个数值越大，拟合的效果也就越好。 第四列MS对应的是均方差，它是误差平方和除以相应的自由度得到的商。第一行为回归均方差MSr，即有 MSr=第二行为剩余均方差MSe，即有 SSr748.8542=748.8542 dfr1MSe=SSe16.10676=2.013345 dfe8显然这个数值越小，拟合的效果也就越好。 第四列对应的是F值，用于线性关系的判定。对于一元线性回归，F值的计算公式为 F=R21(1-R2)n-m-1dfeR2= 21-R式中R2=
6、0.978944，dfe=10-1-1=8，因此 F=8*0.978944=371.9453 1-0.978944第五列Significance F对应的是在显著性水平下的F临界值，其实等于P值，即弃真概率。所谓“弃真概率”即模型为假的概率，显然1-P便是模型为真的概率。可见，P值越小越好。对于本例，P=0.00000005420.0001，故置信度达到99.99%以上。 第三部分，回归参数表 回归参数表包括回归模型的截距、斜率及其有关的检验参数。 表3 回归参数表 第一列Coefficients对应的模型的回归系数，包括截距a=2.356437929和斜率b=1.812921065，由此可以
7、建立回归模型 i=2.3564+1.8129xi y或 3 yi=2.3564+1.8129xi+ei a或sb表示）第二列为回归系数的标准误差。 不常使用标准误差的原因在于：其统计信息已经包含在后述的t检验中。 第三列t Stat对应的是统计量t值，用于对模型参数的检验，需要查表才能决定。t值是回归系数与其标准误差的比值，即有 ta=根据表3中的数据容易算出： ab，tb= bassta=1.8129212.356438=19.28588 =1.289167，tb=0.0940021.827876对于一元线性回归，t值可用相关系数或测定系数计算，公式如下 t=R1-Rn-m-12将R=0.9
8、89416、n=10、m=1代入上式得到 t=0.9894161-0.98941610-1-12=19.28588 对于一元线性回归，F值与t值都与相关系数R等价，因此，相关系数检验就已包含了这部分信息。但是，对于多元线性回归，t检验就不可缺省了。 第四列P value对应的是参数的P值。当P0.05时，可以认为模型在=0.05的水平上显著，或者置信度达到95%；当P0.01时，可以认为模型在=0.01的水平上显著，或者置信度达到99%；当P0.001时，可以认为模型在=0.001的水平上显著，或者置信度达到99.9%。对于本例，P=0.00000005420.0001，故可认为在=0.000
9、1的水平上显著，或者置信度达到99.99%。P值检验与t值检验是等价的，但P值不用查表，显然要方便得多。 最后几列给出的回归系数以95%为置信区间的上限和下限。可以看出，在=0.05的显著水平上，截距的变化上限和下限为-1.85865和6.57153，即有 -1.85865a6.57153 斜率的变化极限则为1.59615和2.02969，即有 1.59615b2.02969 第四部分，残差输出结果 这一部分为选择输出内容，如果在“回归”分析选项框中没有选中有关内容，则输出结果不会给出这部分结果。 i表示）残差输出中包括观测值序号，因变量的预测值以及标准残差。 表4 残差输出结果 4 预测值是
10、用回归模型 i=2.3564+1.8129xi y计算的结果，式中xi即原始数据的中的自变量。从图1可见，x1=15.2，代入上式，得 1=2.3564+1.8129x1=2.3564+1.8129*15.2=29.91284 y其余依此类推。 残差ei的计算公式为 i ei=yi-y从图1可见，y1=28.6，代入上式，得到 1=28.6-29.91284=-1.31284 e1=y1-y其余依此类推。 标准残差即残差的数据标准化结果，借助均值命令average和标准差命令stdev容易验证，残差的算术平均值为0，标准差为1.337774。利用求平均值命令standardize(残差的单元格
11、范围，均值，标准差)立即算出表4中的结果。当然，也可以利用数据标准化公式 zi*=zi-zvar(zi)=zi-zsi逐一计算。将残差平方再求和，便得到残差平方和即剩余平方和，即有 i)2=16.10676 SSe=e=(yi-y2ii=1i=1nn利用Excel的求平方和命令sumsq容易验证上述结果。 以最大积雪深度xi为自变量，以残差ei为因变量，作散点图，可得残差图。残差点列的分布越是没有趋势，回归的结果就越是可靠。 i为因变量，作散点图，可得线性拟合图用最大积雪深度xi为自变量，用灌溉面积yi及其预测值y。 5 最大积雪深度x(米) Residual Plot3210-1-2-3最大
12、积雪深度x(米)图3 残差图 051015202530最大积雪深度x(米) Line Fit Plot605040302010001020最大积雪深度x(米)30图4 线性拟合图 灌溉面积y(千亩)预测 灌溉面积y(千亩)第五部分，概率输出结果 在选项输出中，还有一个概率输出表。第一列是按等差数列设计的百分比排位，第二列则是原始数据因变量的自下而上排序选中图1中的第三列数据，用鼠标点击自下而上排序按钮，立即得到表5中的第二列数值。当然，也可以沿着主菜单的“数据(D)排序(S)”路径，打开数据排序选项框，进行数据排序。 用表5中的数据作散点图，可以得到Excel所谓的正态概率图。 表5 概率输出表 6 Normal Probability Plot60504030201000204060Sample Percentile图5 正态概率图 80100第一， 多元线性回归与一元线性回归结果相似，只是变量数目m1，F值和t值等统计量与R值也不再等价,因而不能直接从相关系数计算出来。 第二， 利用SPSS给出的结果与Excel也大同小异。当然，SPSS可以给出更多的统计量，如DW值。在表示方法上，SPSS也有一些不同，例如P Value用 Sig.表征，因为二者等价。只要能够读懂Excel的回归摘要，就可以读懂SPSS回归输出结果的大部分内容。 更多相关资料，请参考 7
