IIR低通滤波器设计.docx

《IIR低通滤波器设计.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《IIR低通滤波器设计.docx（20页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、IIR低通滤波器设计武汉理工大学数字信号处理课程设计说明书 1、滤波器简介 从广义上讲，任何对某些频率进行修正的系统称为滤波器。严格地讲，对输入信号通过一定的处理得到输出信号，这个处理通常是提取信号中某频率范围内的信号成分，把这种处理的过程称为滤波。实现滤波处理的运算电路或设备称为滤波器。 在许多科学技术领域中，广泛应用线性滤波和频谱分析对信号进行加工处理，模拟滤波是处理连续信号，数字滤波则是处理离散信号，而后者是在前者的基础上发展起来的。我们知道，无源或有源模拟滤波器是分立元件构成的线性网络，他们的性能可以用线性微分方程来描述，而数字滤波器是个离散线性系统，要用差分方程来描述，并以离散变换方

2、法来分析。这些方程组可以用专用的或通用的数字计算机进行数字运算来实现。因此，数字滤波器的滤波过程是一个计算过程，它将输入信号的序列数字按照预定的要求转换成输出数列。 2、低通数字滤波器 2.1频谱图 H(ejwjw wcH(e) w)= 0 p wwc|H(ej)| -2 -fs - -c -fs/2 -fc 1 c fc fs/2 2fs f 图2.1 低通数字滤波器的频谱 武汉理工大学数字信号处理课程设计说明书 2.2、低通数字滤波器的主要技术指标 滤波器的主要技术指标取决于具体的应用或相互间的相互关系。具体的有最大通带增益；最大阻带增益b；通带截止频率wp；阻带截止频率ws。如图2.2所

3、示 HaedB (jwT) 0dB dB wp图2.2 滤波器的主要技术指标 ws 3、IIR低通滤波器的设计方法 Y(z)IIR滤波器是一种数字滤波器，滤波器的系统函数如式 H(z)=X(z)h(n)zn=0-n=br=0NMrz-rk1+ak=1z-k由于它的脉冲响应序列h(n)是无限长的，故称无限冲激响应滤波器。IIR滤波器的设计就是根据滤波器某些性能指标要求，设计滤波器的分子和分母多项式。它和FIR滤波器相比优点是在满足相同性能指标要求条件下，IIR滤波器的阶数要明显低于FIR滤波器。但IIR滤波器的相位是非线性的。 3.1、IIR低通滤波器设计的基本思路 wst转换1) 利用=T，将

4、数字低通的技术指标转化为模拟低通的技术指标，将wp、成Wp、Wst,而RP ,RS不变； 2 武汉理工大学数字信号处理课程设计说明书 2)利用巴特沃斯逼近法，求出模拟滤波器的系统函数Ha(s)； 3)利用冲激响应不变法，将模拟滤波器数字化，得到数字滤波器的系统函数H； 4)利用MATLAB软件实现所设计的H。 3.2、模拟低通滤波器的概述 用模拟数字变换法设计IIR数字滤波器，首先必须设计一个模拟滤波器，它有许多不同的类型，本设计中采用的是巴特沃斯滤波器。 巴特沃斯滤波器。对一个N阶低通滤波器来说，所谓最平坦特性就是模拟函数的前阶导数在w=0处都为零。BW滤波器的另一个特性是在通带和阻带内的幅

5、频特性始终是频率的单调下降函数，且其模拟函数随阶次N 的增大而更接近于理想低通滤波器。 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(j)|用下式表示： |Ha(jW)|=221W1+Wc2N式中，N称为滤波器的阶数。当=0时，|Ha(j)|=1；=c时，|Ha(jW)|=1/2,c是3dB截止频率。在=c附近，随加大，幅度迅速下降。 幅度特性与和N的关系如图3.1所示。幅度下降的速度与阶数N有关，N愈大，通带愈平坦，过渡带愈窄，过渡带与阻带幅度下降的速度愈快,总的频响特性与理想低通滤波器的误差愈小。 3 武汉理工大学数字信号处理课程设计说明书 图3.1 巴特沃斯滤波器幅度特性及其与N的关系 以s替

6、换j，将幅度平方函数|Ha(j)|2写成s的函数： Ha(s)Ha(-s)=12N (1) 1+sjWc s2N=-(jWc)2N (2) 1 sj(1k=(-1)2N(jW2+2k+12N)c)=Wce (3) 式(3)中，k=0，1，2，2N-1。 Ha(s)Ha(-s)在S平面的极点位置如图3.2所示 图3.2 巴特沃斯滤波器Ha(s)Ha(-s)在S平面的极点位置 4 武汉理工大学数字信号处理课程设计说明书 3.3、通过模拟滤波器设计IIR数字滤波器 3.3.1、S域到Z域的映射 IIR数字滤波器在Z域中的传递函数为一有理分式，即 HM(z)=br=0Nrz-rC(1-c=A-kMrz

7、z-1)1-ak=1kzC(1-dk=1r=1N-1k而模拟滤波器在S域中的传递函数为 MMH(s)=bsrr=0NrC(1-c=Akrss-1)1+ak=0skC(1-dk=1r=1N-1k)可见H(z)与H(s)具有相同的形式，利用线性映射的方法，可以把S平面上的模拟滤波器映照成Z平面上的IIR数字滤波器。 按技术要求设计一个模拟滤波器Ha(s),然后按一定的映照关系将Ha(s)中成数字滤波器的要求，必须对由复变量S到复变量Z直接的映照提出如下要求： 1）因果温度的模拟滤波器转换成数字滤波器后仍是因果温度的，因此，映射应使S平面的左半平面Res0映射为Z平面的单位圆内部,z1。 2）数字滤

8、波器的幅频特性应与模拟滤波器的幅频特性一致，故S平面的虚轴jW线性映射到Z平面的单位圆ejw上，即频率轴要对应。下图表明了上述映照关系 5 武汉理工大学数字信号处理课程设计说明书 jIm(s)s jws/2Re(s)-jws/2z jIm(z)Re(z)图3.3 s域到z域的映射 模拟滤波器到数字滤波器的转换可以在时域实现，也可以在频域实现。时域转换法是使数字滤波器的时域响应与模拟滤波器的时域采样值相等，具体方法有：冲激不变法、阶跃不变法和匹配Z变换法。在本设计过程中采用的是冲激响应不变法。 4、IIR低通滤波器设计 基于模拟滤波器变换原理，首先是根据滤波器的技术指标设计出相应的模拟滤波器，然

9、后再将设计好的模拟滤波器变换成满足给定技术指标的数字滤波器。在MATLAB中，经典法设计IIR数字滤波器采用下面的主要步骤： 频率变换 模拟离散化 模拟低通滤波原型 IIR滤波器 由上可见，此法是利用模拟滤波器的设计成果。第二步完成后，一个达到期望性能指标的模拟滤波器已经设计出来。第三步离散化主要任务就是把模拟滤波器变换成数字滤波器，即把模拟滤波器的系数H(S)映射成数字滤波器的系统函数H(z)。数字滤波器的设计工作就全部完成。实现系统传递函数s域至z域映射有冲激响应不变法和双线性映射两种6 武汉理工大学数字信号处理课程设计说明书 方法。 4.1、冲激响应不变法 将传输函数Ha(s)从s平面传

10、换到z平面的方法有多种，但工程上常用的是脉冲响应不变法和双线性变换法。我们先研究脉冲响应不变法。 设模拟滤波器的传输函数为Ha(s)，相应的单位冲激响应是ha(t)，Ha(s)=LTha(t) LT.代表拉氏变换，对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到ha(nT)，将h(n)= ha(nT)作为数字滤波器的单位取样响应，那么数字滤波器的系统函数H(z)便是h(n)的Z变换。因此脉冲响应不变法是一种时域上的转换方法，它是h(n)在采样点上等于ha(t)。 设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表示： Ha(s)=Ni=1Ais-

11、si式中si为Ha(s)的单阶极点。将Ha(s)逆拉氏变换得到ha(t)： ha(t)=Ni=1Aieiu(t) st式中u(t)是单位阶跃函数。对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T,得到： h(n)=ha(nT)=Ni=1AiesinTu(nT) 对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)： H(z)=N1-ei=1AisiTz-1 (7) 对比、式，Ha(s)的极点si映射到z平面，其极点变成esT，系数Ai不变化。 i此结果表明，Z平面极点zk与S平面极点sk具有zk=esT的关系，由于Re(sk)0，故k 7 武汉理工大学数字信号处理课程设计说明书 有zk=eST1,极点z

12、k位于单位圆内，故而冲激响应不变法能够保证H(z)是稳定的。 k4.2、双线性变换法 这种变换方法，采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到/T之间，再用z=esT转换到z平面上。设Ha，s=j，经过非线性频率压缩后用Ha，s1=j1表示，这里用正切变换实现频率压缩： W=2T(0.5W1T) tan式中T仍是采样间隔，当1从-/T经过0变化到/T时，则由-经过0变化到+，实现了s平面上整个虚轴完全压缩到s1平面上虚轴的/T之间的转换。这样便有 s=2Tth(0.5W1T)=21-zT1+z-s1T-s1t再通过z=esT 转换到z平面上，得到： 221-zT1+z-1-1 s=

13、 z=T2T+s -s式称为双线性变换。从s平面映射到s1平面，再从s1平面映射到z平面，其映射情况如图4.1所示。由于从s平面到s1平面具有非线性频率压缩的功能，因此不可能产生频率混叠现象。另外，从s1平面转换到z平面仍然采用标准转换关系 z=esT，s1平面的 1/T之间水平带的左半部分映射z平面单位圆内部，虚轴映射单位圆。这样Ha因果稳定，转换成的H也是因果稳定的。下面分析模拟频率和数字频率之间的关系。 令s=jW,z=ejw ，并代入式中，有 8 武汉理工大学数字信号处理课程设计说明书 -jw21 jW=21-e W=tanw -jwT2T1+ej j/T Im -/T 1 Re s平

14、面 s1平面 图4.1 双线性变换法的映射关系 z平面 上式说明，s平面上与平面上的成非线性正切关系，如图4.2所示。在=0附近接近线性关系；当增加是，增加得愈来愈快；当趋近时，趋近于。正是因为这种非线性关系，消除了频率混叠现象。 - 0 图4.2 双线性变换法的频率变换 与之间的非线性关系是双线性变换法的缺点，直接影响数字滤波器频响逼真的模仿模拟滤波器的频响。这种非线性影响的实质问题是：如果的刻度是均匀的，则影射到z平面的刻度不是均匀的，而是随增加愈来愈密。 9 武汉理工大学数字信号处理课程设计说明书 双线性变换法可由简单的代数公式将Ha直接转换成H，这是该变换法的优点。但当阶数稍高时，将H

15、整理成需要的形式，也不是一件简单的工作。 5、IIR数字滤波器的Matlab仿真 IIR数字滤波器经典设计法的一般步骤是： 根据给定的性能指标和方法不同，首先对设计性能指标中的频率指标进行转换，转换后的频率指标作为模拟滤波器原型设计性能指标。 估计模拟低通滤波器最小阶数和边界频率，利用MATLAB工具函数buttord、cheb1ord等。 设计模拟低通滤波器原型，利用MATLAB工具函数buttap、cheb1ap等。 由模拟低通原型经频率变换获得模拟滤波器，利用MATLAB工具函数lp2lp、lp2hp、lp2bp、lp2bs。 将模拟滤波器离散化获得IIR数字滤波器，利用MATLAB工具

16、函数bilinear。 设计IIR滤波器时，给出的性能指标通常分为数字指标和模拟指标两种。 数字性能指标给出通带截止频率wp，阻带截止频率ws，通带衰减Rp，阻带衰减Rs等。数字频率wp和ws的取值范围为0，单位：弧度，而MATLAB工具函数常采用标准化频率，wp和ws的取值范围为01。 模拟性能指标给出通带截止频率Wp，阻带起始频率Ws，通带衰减Rp，阻带衰减Rs等。模拟频率Wc和Ws的单位均为弧度/秒。下面是一个利用双线性变换设计的Butterworth低通滤波器的示例： 技术指标：通带截止频率Wc=2200rad/s，阻带截止频率，Rp小于3dB，阻带衰减Rs大于15dB,采样频率Fs=

17、1000Hz。仿真结果见图5.1 Wp= 200*2*pi; Ws=400*2*pi; 10 武汉理工大学数字信号处理课程设计说明书 Rp=3; Rs=15; Fs=1000; Ts=1/Fs; Nn=128; N,Wn=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,s) b,a=butter(N,Wn,s); z,p,k=buttap(N); Bap,Aap=zp2tf(z,p,k); b,a=lp2lp(Bap,Aap,Wn); bz,az=bilinear(b,a,Fs) freqz(bz,az,Nn,Fs) 仿真结果：N=3 Wn=1.4209e+003 bz= 0.0946 0.2839

18、0.2839 0.0946 az= 1.0000 -0.6164 0.4343 -0.0607 11 武汉理工大学数字信号处理课程设计说明书 图5.1 仿真结果 心得体会 通过此次课程设计，使我更加扎实的掌握了有关数字信号处理方面的知识，在设计过程中虽然遇到了一些问题，但经过一次又一次的思考，一遍又一遍的检查终于找出了原因所在，也暴露出了前期我在这方面的知识欠缺和经验不足。实践出真知，通过亲自动手，使我们掌握的知识不再是纸上谈兵。通过这次课程设计，本人在多方面都有所提高。综合运用本专业所学课程的理论和软件知识进行仿真设计工作，培养和提高了我们的独立工作能力，巩固与扩充了数字信号处理所学的内容，

19、掌握IIR低通滤波器设计的方法和步骤，提高了设计能力，同时各科相关的知识都有了全面的复习，独立思考的能力也有了提高。 回顾起此课程设计，至今我仍感慨颇多，从理论到实践，在这段日子里，可以说得是苦多于甜，但是可以学到很多很多的东西，同时不仅可以巩固了以前所学过的知识，而且学到了很多在书本上所没有学到过的知识。通过这次课程设计使我懂得了理论与实际相结合是很重要的，只有理论知识是远远不够的，只有把所学的理论知识与实践相结合起来，从理论中得出结论，才能真正为社会服务，从而提高自己的实际动手能力和独立思考的能力。在设计的过程中遇到问题，可以说得是困难重重，但可喜的是最终都得到了解决。 12 武汉理工大学数字信号处理课程设计说明书 参考文献 刘泉 阙大顺 数字信号处理 电子工业出版社 丁玉美 高西全 数字信号处理 西安电子科技大学 王金龙 沈良 无线通信系统 人民邮电出版社 楼顺天 基于matlab的系统分析和设计 西安电子科技大学 程佩青 数字信号处理 清华大学出版社 13