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1、Lambert W函数第二章 Lambert W函数 2.1 Lambert W函数简介 Lambert W函数(又称欧米茄函数或乘积对数)，是f(w)=wew的反函数，其中ew是指数函数，w是任意复数，对于任何复数z，都有1,2： z=W(z)ew(z) (2.1) 由于函数f不是单射，因此函数W是多值的。如果我们把x限制为实数，并要求W是实数，那么函数仅对于x-1e有定义，在(-(1e),0)内是多值的；如果加上w-1的限制，则定义了一个单值函数W0。我们有W0(0)=0，W0(-1e)=-1。而在(-(1e),0)内的w-1分支，则记为W-1(x)，从W-1(-1e)=-1递减为W-1(
2、0-)=-。Lambert W函数不能用初等函数来表示。它在组合数学中有许多用途，例如树的计算。它可以用来解许多含有指数的方程，也出现在某些微分方程的解中。 图2.1 Lambert W函数的坐标形式 上面关于Lambert W函数的性质我们可以总结为： 3w0(-1e)=-1 x=w0(xe) x (其中x-1 )Lambert W函数的积分形式为： x2Pip9 W(x)=p-1p(1-vcotv)2x+vcscve+v2-vcotvdv， W(x)=1+(lnx-1)e2P01+tlnlnx+t-lnt-iplnx+t-lnt+ipdt， Wk(x)=1+(lnx+2kpi-1)e2P0
3、ip11+tlnlnx+t-lnt+(2k-1)iplnx+t-lnt+(2k+1)ipdt 以上均要求：x-,-0,，kZ e1利用隐函数的求导法则，我们可以证明Lambert W函数满足以下微分方程 z(1+Wz)dW(z)dz=W(z)，z-1/e 因此： dW(z)dz=W(z)z(1+W(z),z-1/e， 函数W(x)，以及许多含有W(x)的表达式，都可以用w=W(x)的变量代换来积分，也就是说x=wew， 1()()Wxdx=xWx-1+C， ()Wx2.2 Lambert W函数的性质 1函数y=zzzzzzzL10W(x)dx=W+1W-20.330336 的极限可以表示为
4、y=-W(-lnz)lnz2若z0， 则 lnW(z)=lnz-W(z) W0在x=0的泰勒级数如下： W0(x)=n=1(-n)n-1n!xn=x-x+232x-383x+412524x-L5， 收敛半径为。 e1加法定理： xyxyW(x)+W(y)=W+，其中x0,y0 ()()WxWy特殊值 pipW-=22ln2W-=-ln2 21W-=-1 eW(0)=0 W(1)=W W(e)=1 W(e+1)=e e11W= 11-eee1W-=-1 eWpe(p)=p ，(k0) W(klnk)=lnk2.3 Lambert W函数的应用 许多含有指数的方程都可以用Lambert W函数来解
5、出。一般的方法是把未知数都移到方程的一侧，并设法化为z=W(z)ew(z)的形式。下面我们举几个例子来应用Lambert W函数解一些方程 例1，以下的方程 pax+b=cx+， 其中 p0,p1,c0 令 -t=ax+adc化为， t=W(Rlnp)lnpx=-alnpb-adW-pccalnp-dc例如 解以下方程： 2t=5t 1=5t2t 1=5te-tln2 15=te-tln2(-tln2) -ln25=(-tln2)e -tln2=W-ln2 5-ln2-W5 t= ln2用类似的方法可知以下方程的解 xx=z 为 x=ln(z)W(lnz)x=exp(W(ln(z) 以下方程的解 xlogb(x)=a 具有形式 x=aln(b)W(aln(b)一般化 标准的Lambert W函数可用来表示以下超越代数方程式的解： 其中 其解为： 例2， 其中 取对数得：及 最终解为 : 如下方程 ： e-cx=a0(x-r)， a0，c与r为实常数。 x=r+W(ce-cra0)/c xa-bx=0 a0,b0,x0 alnx=xlnb lnxx=lnbalnxlnbex=eax=-alnbWlnbk-a
