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1、MBA数学必备公式MBA联考数学基本概念和必备公式 初等数学部分 一、绝对值 1、非负性：即|a| 0，任何实数a的绝对值非负。 归纳：所有非负性的变量 1124 正的偶数次方 a,a,L,a2,a40 负的偶数次方 a,a,L,a,a 指数函数 a (a 0且a1)0 x-2-4-12-140 考点：若干个具有非负性质的数之和等于零时，则每个非负数必然为零。 2、三角不等式，即|a| - |b| |a + b| |a| + |b| 左边等号成立的条件：ab 0且|a| |b| 右边等号成立的条件：ab 0 3、 要求会画绝对值图像 二、比和比例 原值a1、增长率p%现值a(1+p%) a 下
2、降率p%原值现值a(1-p%) 甲-乙=p%，甲是乙的p%甲=乙p% 乙acamcacm=12、 合分比定理：= bdbmdbd注意：甲比乙大p% 等比定理：3、增减性 acea+c+ea=. bdfb+d+fbaaa+maa+ma1 0) , 0 (m0) bbb+mbb+mb4、 注意本部分的应用题 三、平均值 1、当x1,x2,，xn为n个正数时，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即 1 x1x2xnnx1x2xn (xi0 i1,，n) n当且仅当x1=x2=xn时，等号成立。 a0，b0abab 另一端是常数 2、2等号能成立3、abb2(ab0)，ab同号 a4、n个正数的算
3、术平均值与几何平均值相等时，则这n个正数相等，且等于算术平均值。 四、方程 1、判别式 D0两个不相等的实根D=b2-4acD=0两个相等的实根 D0 = 0 0) x1 x2 x1,2 2f(x) = 0根 无实根 x1,2-bD =2ax1,2=-x-b 2af(x) 0 解集 f(x)0解集 3、根与系数的关系 x x2 x 1 x 0 = 0 0) x1 x2 x1,2 2f(x) = 0根 无实根 x1,2=-bD 2ax1,2=-x-b 2af(x) 0 解集 f(x)0解集 x x2 x 1 x 0且 0 3 2ax + bx + c0对任意x都成立，则有：a0且 0 3、要会根
4、据不等式解集特点来判断不等式系数的特点 六、二项式 1、2Cn=Cn，即：与首末等距的两项的二项式系数相等 01nrn-r2、Cn+Cn+L+Cn=2n，即：展开式各项二项式系数之和为2n 3、常用计算公式 (1)p=m(m-1)L(m-n+1) 14444244443m有n个n(2)p=1规定0！=1 m0(3)Cm=0npnmn!n=m(m-1)L(m-n+1)n!(4)Cn=Cn=1 (5)Cn=Cn=n 1n-1(6)Cn=Cn=2n-2n(n-1) 2kn-k4、通项公式() 第k+1项为Tk+1=Cnabk(k=0,1,2L,n) 5、展开式系数 n(1)当n为偶数时，展开式共有(
5、n+1)项(奇数)，则中间项第(+1)项2二项式系数最大，其为Tn=C2+1n2n(2)当n为奇数时，展开式共有(n+1)项(偶数)，则中间两项，即第n+1项2n-1n+1n+1n+3和第(+1=)项的二项式系数最大，其为Tn+1=Cn2或Tn+3=Cn222225、 内容列表归纳如下： 0n1n-1n-1nn公式(a+b)n=Cna+Cnab+L+Cnabn-1+Cnb所表示的二项式定理 4 定理成为二项式定理。 第k1项为Tk+1=Cna通项公式 项 数 展开总共n1项 二项式展开式的特征 展开式的a的指数：由n0；b的指数：由0n； 指 数 各项a与b的指数之和为n nn当n为偶数时，则
6、中间项系数Cn2最大； 2kn-kbk，k0，1，n 逐项减1逐项加1n+1最大系数 n+1n+3当n为奇数时，则中间两项系数Cn2最大。 22rn-r1Cn，即与首末等距的两项系数相等； =Cn展开式系数之间的 2Cn+CnCn=2，即展开式各项系数之和为2； 01nnn关系 0241353 Cn+Cn+Cn.=Cn+Cn+Cn.=2n-1，即奇数项系数和等于偶数项系数和 七、数列 1、an与Sn的关系(D)(1)已知an，求Sn.公式：Sn=a1+a2+L+an=aii=1n (2) 已知Sn，求an ana1=S1SS (n2)nn12、等差数列(1)通项 an=a1+(n-1)d=ak
7、+(n-k)d=nd+(a1-d) f(x)=xd+(a1-d)an=f(n)比如：已知am及an,求d. (m,am)与(n,an)共线 a-a斜率dnmn-m(2)前n项和Sn(梯形面积) 5 a1+ann(n-1)ddn=na1+d=n2+(a1-)n2222ddSnn2+(a1-)n22dd抽象成关于n的二次函数f(x)=x2+(a1-)x,Sn=f(n) 22 函数的特点：(1)无常数项，即过原点d (2)二次项系数为 如Sn2n2-3n, d=42 (3)开口方向由d决定 Sn3.重要公式及性质(1)通项an(2)前n项和性质am+an=ak+at,当m+n=k+t时成立 1oSn
8、为等差数列前n项和，则Sn，S2nSn，S3nS2n，L仍为等差数列aS 2o 等差数列an和bn的前n项和分别用Sn和Tn表示，则k=2k-1bkT2k-1 a1+a2k-1(2k-1)Sak2aka1+a2k-12分析：=2k-1b1+b2k-1bk2bkb1+b2k-1(2k-1)T2k-124、等比数列注意：等比数列中任一个元素不为0(1) 通项：an=a1qn-1=akqn-k an=ak+(n-k)da1(1-qn)a1-anq(2)前n 项项和公式： Sn=1-q1-q(3) 所有项和Sa1 对于无穷等比递缩数列，所有项和为 S=1-q5. 等比数列性质(1)通项性质：当m+n=
9、k+t时，则aman=akat6、特殊数列求和。an=1,求Snn(n+1)1111Sn=a1+a2+L+an=+L+122334n(n+1)11111111=(1-)+(-)+(-)+L+(-)=1-22334nn+1n+16 微积分部分 一、函数、极限、连续 1、单调性： 设有函数y = f(x)，x D，若对于D中任意两点x1，x2(x1 x2)，都有f(x1) f(x2)(或f(x1) f(x2)，则称函数f(x)在D上单调上升(或单调下降)。 若上述不等号为严格不等号“”)，则称函数f(x)在D上严格单调上升(或严格单调下降)。 2、奇偶性： 定义： 设函数y = f(x)的定义域D
10、关于原点O对称，若对于D中的任一个x，都有 f( x ) = f(x) (或f( x) = f(x)，则称函数f(x)为奇函数(或偶函数)。 图像特点： 奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称，函数y0既是奇函数，也是偶函数。 g(x)遇到f(x)，只要符合1，按以下方法处理：3、 1f(x)-1g(x)f(x)-1xx0limf(x)g(x)=lim1+(f(x)-1)xx0g(x)=lim1+(f(x)-1)xx0f(x)-1g(x)xx01f(x)-1=lim1+(f(x)-1)xx0=elim(f(x)-1)g(x)4、常用等价无穷小：当x0时，有 xx0公式：limf(x)g
11、(x)=exx0lim(f(x)-1)g(x) ex1x ln(1x)x (1x)n1nx 引申：当a(x) 0时，ln(1a(x)e(x)1a(x)，(1a(x)n1na(x) 5、当x+时，增长速度由慢到快排列：lnx，x，x xxlimf(x)=f(x0) 6、f(x)在点x0连续定义：xx07、闭区间上连续函数的性质 最值定理 7 一个闭区间函数一定在某一点，达到最大值，在某一点达到最小值。 零值定理 设f(x) C(a,b)，且f(a).f(b)0，$x(a.b)(开区间)，使f(x)=0。 注意：零点定理只能说明存在性不能说明唯一性。 应用：f(x) = 0 是一个方程，证明它在某
12、一个区间上一定有根。 二、一元函数微分学 1、导数的数学定义式 Dx0limf(x0+Dx)-f(x0)=f(x0)Dx(用于抽象函数判定是否可导)xx0limf(x)-f(x0)=f(x0)x-x0(用于表达式给定的具体函数，求导数值) 2、可导与连续的关系 f(x0)存在f(x)在x=x0连续 3、左右导数 左导数：f-(x0)=lim-xx0f(x0+Dx)-f(x0)f(x)-f(x0)=lim- Dx0Dxx-x0f(x0+Dx)-f(x0)f(x)-f(x0)=lim+ Dx0Dxx-x0右导数：f+(x0)=lim+xx0结论：f(x0)=Af-(x0)=f+(x0)=A 4、导
13、数的几何意义 设点M0(x0 , f(x0)是曲线y = f(x)上的上点，则函数f(x)在x0点处的导数f (x0)正好是曲线y=f(x)过M0点的切线的斜率k，这就是导数的几何意义。 切线方程y=f(x0)(x-x0)+f(x0)，法线方程为y=-切线平行x轴 切线方程：y = f(x0)，法线方程：x = x0 (3) 切线平行y轴 8 1(x-x0)+f(x0) f(x0)切线方程：x = x0，法线方程：y = f(x0) 6、常见函数求导公式 f(x) f(x) C 0 Xa axa-1x 12x1 xax axlna ex ex loga|x| 1 xlnaln|x| 1 x 1
14、x2f(x)f(x)g(x)-f(x)g(x)6、 =2g(x)g(x)7、高阶导数 常见函数的二阶导数 f(x) C Xa axa-1 x 12x1 xax axlna ax(lna) 2ex ex Loga|x| 1 xlnaln|x| 1 xf(x) 0 -1 x2 -1x2f(x) 0 a(a-1)xa-2-134x22x3ex -1xlna28、可导、可微、连续与极限的关系 可导一定连续，连续不一定可导 极限 连续 可导 可微 9、奇偶函数，周期函数的导数 可导的偶函数的导函数为奇函数，且f(0) = 0 可导的奇函数的导函数为偶函数 可导的周期函数的导函数仍为同周期函数 10、微分
15、公式：dfxf=xdx9 11、洛必达法则(，) 若 limf(x),limg(x)=0(或),则lim12、判断函数的增减性，求函数单调区间 单调性定义 00f(x)=limg(x)f(x)A g(x)x1,x2D,当x1x2时,有f(x1)()f(x2),则f(x)为单调递增(减) 判别方法：用f (x)判断 设f(x)在(a,b)上可导，则f(x)在(a,b)内单调增加(减少)的充要条件为f(x)()0f(x)单调增f(x)0 注意：设f(x)在(a，b)区间内可导则f(x)在(a，b)内严格单调增加(减少)的充分条件是f(x)0(f(x)0) f(x)0严格单调增加/f(x)0严格单调
16、下降/13、极值点的定义 定义：设yf(x)，若对x(x0d，x0d)均有f(x)f(x0)(f(x)f(x0)则称x0为f(x)的极大值点(极小值点) ，f(x0)为极大值(极小值)。 判定方法：两个充分条件 第一充分条件： 若f(x)在x0处连续，在x0的邻域内可导，且当x0,(f(x) x0时，f(x)0)，则称x0为极大值点(极小值点)。 第二充分条件： 设f(x)在x0点的某一领域内可导且f(x0)0，f(x0)0 若f(x0)0则x0是极小值点，f(x0)为极小值若f(x0)1) a x(0a1) l ogax(0a0，则(x0,y0)不是极值点2若D=B2-AC0，则(x0,y0
17、)为极值点，且A0时为极小值点3若D=B2-AC=0，则不一定15 线性代数部分 一、矩阵 1、矩阵的乘法一般没有交换律，即ABBA；常见可交换矩阵： (1) 逆A-1：AA-1=A-1A=E (2) 单位矩阵E：AE=EA=A (3) 数量矩阵kE：A(kE)=(kE)A=kA (4) 零阵0：A0=0A=0 (5) 幂：AmAn= An Am=Am+n (6) 伴随A*：A A*= A*A=|A|E (重要) A=0,或B=0，当且仅当A或B可逆时才成立；对于AB=0，应该认识到2、AB=0B的每一列都是齐次方程组AX0的解，若B0，则齐次方程组有非零解； B=C，当且仅当A可逆时，才成立
18、； 3、AB=ACA=E或A=0，当且仅当A可逆时，有AE； 4、A2=A当AE可逆时，有A0； A=0，仅当A为对称矩阵，即A=AT时，命题才成立； A2=05、注意数乘矩阵和数乘行列式的区别：|kA|=k|A|k|A|。 6、列表对比矩阵的逆、转置和伴随的公式 逆 转置 伴随 n(A-1)-1=A (kA)-1=k-1A-1(k0) (AB)-1=B-1A-1 |A-1|=|A|-1 一般(A+B)-1(AT)T=A (kA)T=kAT(kR) (AB)T=BTAT |AT|=|A| A-1+B-1 (A+B)T=AT+BT (A*)*=|A|n-2A (kA)*=kn-1A*(kR) (
19、AB)*=B*A* |A*|=|A|n-1(n2) 一般(A+B)A+B * 16 互换性：(A-1)T=(AT)-1，(A-1)*=(A*)-1，(A*)T=(AT)*，(Ak)*=(A*)k；即这四种符号可以进行互换，以简化运算。 7、重要结论与公式 (1)对于Amnr(A)=r(AT) 行 (3)AB 有 rminm，n A与B的行向量相互等价 不改变列向量的线性关系 r=r r(A+B)r(A)+r(B) 类似 |x+y|x|+|y| P(A+B)P(A)+P(B) P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A)+P(B) r(AB)min(r(A),r(B) r(A B)r(A
20、)r(A B)r(B)r=r B可逆rn时，则其线性相关. (2)m=n时，令Ann=(a1,a2,L,an).根据|A|0判断相关性. 三、线性方程组 关于方程组解的性质 1、若h1,h2Lhk为AX=0的解,则lh11+l2h2+L+lkhk为AX=0的解分析:A(lhh1+l2Ah2+L+lkAhk=011+l2h2+L+lkhk)=l1A2、若h1Lhk为AX=b的解1)当l1+l2+L+lk=1时,lh11+l2h2+L+lkhk为AX=b的解分析:A(lhh1+l2Ah2+L+lkAhk11+l2h2+L+lkhk)=l1A=(l1+l2+L+lk)b=b2)当l1+l2+L+lk
21、=0时,lh11+l2h2+L+lkhk为AX=0的解3、AX=b任何两个解之差为AX=0的解分析:若x1,x2为AX=b的解,A(x1-x2)=Ax1-Ax2=b-b=0 即x1-x2为AX=0的解含有参数的线性方程组的求解。 1齐次线性方程组AX0 解题提示：对系数矩阵A进行初等变换，化成阶梯型，然后按两步进行讨论： 线性方程组只有零解，即r(A)n； 线性方程组有非零解，即r(A)n，并将非零解求出来。 2非齐次线性方程组AX 解题提示：对增广矩阵A进行初等变换，化成阶梯型，然后按两步进行讨论： 19 线性方程组无解，即r(A)r(A)； 线性方程组有唯一解，即r(A)=r(A)=n；
22、线性方程组有无穷多解，即r(A)=r(A)0)，P(A|B)实质为事件A的概率 P(AB)=1-P(AB) P(A1+A2B)=P(A1B)+P(A2B)-P(A1A2B) P(A1-A2B)=P(A1B)-P(A1A2B) 5.乘法公式：P(AB)=P(A) P(B|A)=P(B) P(A|B) 6.全概公式 两两互斥 (1)完备事件组并集为全集(2)全概公式：P(B)=P(Ai)P(BAi) i=1n(3)贝叶斯公式：(逆概)P(AiB)=P(Ai)P(BAi)P(A)P(BA)jjj=1n7.事件的独立性 (D) (1)定义：P(AB)=P(A) P(B) (2)特殊情况： a.与任何事
23、件相互独立 b.与任何事件相互独立 c.P(A)=0的事件A与任事件相互独立 (3)相互独立两两独立 个数(4)当P(A)P(B)0时 23 若A与B相互独立，则A与B必不互斥(独立不互斥) 若A与B互斥，则A与B必不独立(互斥不独立) 注意：与任事件即互斥也独立 8.判断A与B相互独立的充要条件 (1)定义P(AB)=P(A)P(B) (2)P(B|A)=P(B) (P(A)0)或P(A|B)=P(A) (P(B)0)，即：B的发生不受A的影响 (3)0P(A)1 P(BA)=P(BA)即：A发生与否不影响B的概率 P(B)-P(AB)P(AB)P(BA)= 分析：=1-P(A)P(B)1-P(A)P(AB)-P(A)P(AB)=P(A)P(B)-P(A)P(AB) P(AB)=P(A)P(B) (4)P(BA)+P(BA)=1(0P(A)1) 分析：P(BA)=1-P(BA)=P(BA) (5)A,B;A,B;A,B;A,B 四组事件中，若其中一组相互
