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1、MMC排队系统模型M/M/C排队模型及其应用 摘要：将随机服务系统中M/M/C排队模型应用到理发服务行业中。通过对某理发店进行调查，以10min为一个调查单位调查顾客到达数，统计了72个调查单位的数据，又随机调查了113名顾客服务时间，得到了单位时间内到达的顾客数n和为每位顾客服务的时间t，然后利用c拟合检验，得到单位时间的顾客到达舒服从泊松分布，服务时间服从负指数分布，从而建立起M/M/C等待制排队模型，通过计算和分析M/M/C排队模型的主要指标，得到理发店宜招聘的最佳理发师数目。 排队论主要对由于受随机因素的影响而出现排队系统进行研究，它广泛应用于通信、交通与运输、生产与服务、公共服务事业
2、以及管理运筹等一切服务系统。在具体应用方面，把排队理论直接应用到实际生活方面也有不少的文献。另外，排队论和其他学科知识结合起来也有不少应用。 我们可以从现实生活中去的数据资料，基于排队系统基本知识和M/M/C排队模型基本理论和统计学有关知识，通过分析研究，得出一些结论，为实际问题的解决提供参考资料，从而拓宽了该模型的应用领域，并对其他模型的系统应用也有一定的启示作用。 1 M/M/C排队模型 定义 若顾客的到达间隔服从参数为的负指数分布，到达的人数服从泊松分布，每位顾客的服务时间服从参数为的负指数分布，且顾客的到达时间与服务时间独立，系统有C个服务台，称这样的排队模型为M/M/C排队模型。 M
3、/M/C排队模型也可以对应分为标准的M/M/C模型、系统容量有限的M/M/C模型和顾客源有限的M/M/C模型3种。 假定顾客到达服从参数为的泊松分布，每个顾客所需的服务时间服从参数为的指数分布，顾客到达后若有空闲的服务台就按到达的先后顺序接受服务，若所有的服务台均被占用时，顾客则排成一队等候。令N=i表示时刻t系统中恰有i位顾客，系统的状态集合为0,1,2,。可证 N，t0为生灭过程，而且有： 2lmn=l，n=1,2，. n，n=1,2，.=nC，n=C+1,C+2，.由此可见，服务台增加了，服务效率提高了。 定理1 队长N平稳分布。令pPN=n，plimnnt. tp，n=1,2，n则可求
4、得系统的平稳分布为，当1nC时，pn=rnn-CC!Cp，p00=n=0C-1rnn!+rcC!(1-rC)-1定理2 系统的主要指标： 服务系统中平均排队长度：Lq=(i-C)i=Cpi=rp2c+102(C-1)!(C-r)lmmL=顾客在系统中的平均等待时间：w=pl(C-1)!(Cm-l)qq220l)pm1顾客在系统中的平均逗留时间：w=w+=m(C-1)!(Cm-l)m(0sq+21m系统内的顾客平均人数：Ls=lws=rc+12(C-1)!(C-r)p0+r 系统满员的概率：P(n=C)=rcC!p02 M/M/C排队模型在理发服务行业中的应用 在理发行业中，到理发店中去洗头、剪
5、发、烫发、染发的人可看作是需要接受服务的顾客，理发店中的设备或理发师傅可看成服务台，顾客到达理发店是随机的，师傅为顾客服务的时间也是随机的，这就构成了排队系统。理发店要多赚钱与很多因素有关，而理发店自身的配置是否合理就是一个很重要的因素，现举例探讨如何使用排队理论知识优化理发店的服务台的配置。 2.1 调查收集数据 某理发店拥有3名理发师傅，在服务中，采用单队多服务台形式，为每位顾客服务时间是随机的，假定服务时间的分布平稳，利用排队理论知识评价和优化该理发店的配置。 调查内容是单位时间内到达的顾客数n和为每位顾客服务的时间t。记录整理见表1。 表1 顾客到达情况的相关数据 服务时间为从未顾客开
6、始服务起到顾客付款离去时止，随机调查113名。顾客服务时间记录整理见表2。 表2 为顾客服务时间的相关数据 2.2 分布拟合检验 2.2.1 单位时间内到达的顾客数服从分布的拟合检验 为了检验单位时间内顾客到达人数是否服从泊松分布，根据表1的数据，利用c拟合检验，具体计算见表3。 表3 2c2拟合检验顾客到达人数是否服从泊松分布 2.2.2 服务时间服从分布的检验 为了检验服务时间是否服从负指数分布，根据表2的数据，用c拟合检验，结果见表4。 表4 c拟合检验服务时间是否服从负指数分布 222.3 系统主要指标 实际生活中，理发行业一般不会是独家经营，所以顾客不会在一家理发店等待很久，但随理发
7、店来说，市容需等待的，因此由以上的检验知道，该理发店形成M/M/C等待制FCFS排队模型，应用前面定理1和定理2有=0.0958人/min，=0.0523人/min，C=3，r=服务强度r=，l=1.8318 mlr0.0958=0.6106 CmC30.0523系统空闲概率p0=n=0C-1rnn!+rcC!(1-rC)-1=0.1401 等待理发的平均顾客数Lq=(i-C)i=Cpi=rpc+102(C-1)!(C-r)=0.5776 店中平均逗留顾客数Ls=lws=rc+12(C-1)!(C-r)2p0+r=2.4094 l)mL=顾客平均等待时间/minw=pl(C-1)!(Cm-l)
8、m(qq2200=6.0279 lmpm1顾客平均逗留时间/minw=w+=m(C-1)!(Cm-l)sq+21m=25.150 店中满员概率P(n=C)=rcC!p0=0.1435 顾客到达必须等待的概率P(nC)=3 结论 rC!cnn-Cp0=0.5119 根据上述计算结果可知，该理发店2位师傅平均忙着的概率约为61%，都闲着的概率约为14%，顾客平均等待时间约为6min，在店中平均逗留时间为25min，大约有51%的顾客到达后需要等待，说明理发店比较忙碌。随着师傅数量的增加，店中等待人数、顾客等待的时间满员和需要等到的概率明显降低。所以，要想有好的效益，理发电影多聘请师傅来降低顾客的等待时间和到达需要等到的概率，但同时，服务强度也跟着降低，师傅空闲的时间增多，如果用费用模型来优化，顾客逗留费用不好估计，因此根据愿望模型，利用系统的运行特征来确定某个参数的最优值。从上可看出，如果店中有4个服务台时，各项指标都比较理想，等待1min左右，空闲概率为15%，顾客、师傅、老板都能够接受，因此，该理发店应聘用4名师傅较好。
