《初等几何研究》作业.docx

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1、初等几何研究作业初等几何研究作业 一填空题 1对直线a上任意两点A、B，把B以及a上与B在A同侧的点的集合称作 ，并记作 . 2第四组公理由 条公理组成，它们的名称分别是 . 3罗氏几何公理系统与欧氏几何公理系统的共同之处是 ，不同之处是 . 4合同变换包括 变换、 变换和 变换。 5锡瓦定理：设ABC的三边BC、CA、AB上分别有点X、Y、Z，则AX、BY、CZ三线共点的充要条件是 . 6解作图问题的常用方法有： 、 、 、 等. 7由公理可以证明，线段的合同关系具有 性、 性、 性 和 性. 8命题：“线段小于任意一条连接其两个端点的折线”是 定理的推论. 9写出一条与欧氏平行公理等价的命

2、题： . 10几何证明的基本方法，从推理形式上分为 法与归纳法；从思维方向上分为 法与分析法；从命题结构上分为 证法与间接证法，其中间接证法包括 法与 法. 11托勒密定理：四边形ABCD是圆内接四边形，则 . 12请写出两条作图公法： . 13在希尔伯特给出的欧几里得公理系统中，三角形的定义是： 。 14命题“过圆内一点的直线必与该圆相交于两点”是由 公理保证的。 15写出一条与罗氏平行公理等价的命题： 。 16不过反演中心的圆，其反演图形是 反演中心的 。 17梅内劳斯定理：设ABC的三边BC、CA、AB被一直线分别截于X、Y、Z点，则X、Y、Z共线的充要条件是 。 18解作图问题的步骤一

3、般分为： 、 、 、 、 。 第 1 页 共 4 页 在您完成作业过程中，如有疑难，请登录学院网站“辅导答疑”栏目，与老师进行交流讨论！ 19数学公理系统的三个基本问题是 性、 性和 性. 20常用的几何变换有 等. 21罗氏平行公理是： . 22几何计算证明法一般有 法、 法、 法、 法、 法、 法等. 23等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线段中，最长线段与另两条线段之和具有 的关系 . 24尺规可作图的充要条件是 . 25.由公理可以证明，线段的合同关系具有 性、 性、 性和 性. 26.如果线段与角对应，那么线段的中点与角的 对应. 27.命题：“线段小于任意一条连接其两个端点的折

4、线”是 定理的推论.28.绝对几何包括有 组公理，它们分别是 . 29.写一条与欧氏平行公理等价的命题： . 30.在罗氏几何中，两条直线为分散线的充要条件是 . 二问答题 1在数学公理系统中，模型指的是什么？ 2定义线段长度的两个条件是什么？ 3以下四个命题：“过不共线的三点恒有一圆”、“三角形的内角和不大于两个直角”、“存在两个三角形，它们相似但不合同”、“同一平面上，一条直线的垂线与其斜线必相交”，哪一个命题与欧氏平行公理不等价？ 4欧氏几何公理系统中，不加定义的原始的关系概念有哪些？请解释它们的含义. 5公理系统中的“合同”概念涉及到中学平面几何中哪些名词、术语？ 6由欧几里得几何原本

5、中的第五公设引出了什么问题？产生了什么结果？ 7原始关系概念“结合”的通常说法有哪些？ 8在欧氏几何公理系统中，线段“合同”的概念与线段“长度”的概念分别是以什么形式引出来的？ 9在绝对几何公理系统中，命题“三角形内角和等于两个直角”用下列方法证明可否？若有问题，问题出在哪一步？为什么？ 在ABC中，过A作AD交BC于D，如图所示。 设ABC的内角和为x，用表示直角， 则1+3+5=x，2+4+6=x； 3+4=2，且1+2+5+6=x， 1+2+3+4+5+6=2x， 即x +2= 2x，因此x =2，得证。 10巴士公理刻划了直线和三角形的那些特性？ 11第三组公理一共有几条？这组公理的名

6、称与我们以前熟悉的哪些概念有关？ 第 2 页 共 4 页 在您完成作业过程中，如有疑难，请登录学院网站“辅导答疑”栏目，与老师进行交流讨论！ A 1 2 5 B 3 4 D 6 C 12定义两个线段的大、小关系用到了哪些关系？ 13.欧氏几何公理系统中，不加定义的原始的关系概念有哪些？请解释它们的含义. 14.数学公理系统的三个基本问题是什么？其含义分别是什么？ 15.公理系统中的“合同”概念涉及到中学平面几何中哪些名词、术语？ 三轨迹问题 1.若三角形底边固定，其顶点在过底边一端的定直线上移动，则该三角形外心的轨迹是底边的垂直平分线. 2. 到两定点A、B的距离之比为正实数m之点的轨迹是一个

7、圆. 3. ABC的底边BC固定,A=是定角，延长BA至D，使BD=BA+AC，求D点的轨迹 4.到两定点A、B的距离之比为正实数m之点的轨迹是一个圆. 四作图问题 1给定直线XY及其同侧两点A、B， 在XY上求作一点P，使得APX=BPY. 2从已知圆外一点作一割线，使其圆外部分和圆内部分长度相等. A 3已知直线x、y平行，其外侧各有一点A、B x ，求作从A到B的最短路线，其中在x、y 之间的一段要求与x垂直。 y B X Y A B 4给定锐角三角形ABC，求作其内接正方形，使其两个相邻顶点在BC边上，另两个顶点分别在AB和AC边上。 5求作一圆，使该圆过两定点，并与一定直线相切. 6

8、.给定直线XY及其同侧两点A、B， 在XY上求作一点P，使得AP+BP距离最短. X 第 3 页 共 4 页 在您完成作业过程中，如有疑难，请登录学院网站“辅导答疑”栏目，与老师进行交流讨论！ A B Y 五. 证明题 1证明线段的合同关系满足反身性和对称性. 2已知正方形ABCD，作BFAC， 使AF=AC， 则3CAF=2CAB. F D C 3利用前两组公理证明定理7：对于A、C两点, 直线AC上至少有一点B在A、C之间. 4在ABC边AB的同侧 作三个正方形ACEF、 CBGH、BAIJ， 求证：FJAG， 且FJ=AG. 5利用第一组公理和第二组公理的前三条，证明每条直线上至少有5个不同的点。 6已知ABC中，ABC = 421，求证： G A B F I C J H 111+=.abc7用同一法证明命题：已知P为正方形ABCD内一点，若PAB=PBA=15，则PCD是等边三角形. 8过圆中AB弦的中点M任作两弦CD、EF，设CF、DE与AB分别交于P、Q，求证：PM=MQ. 9.利用前两组公理证明定理7：对于A、C两点,直线AC上至少有一点B在A、C之间. o第 4 页 共 4 页 在您完成作业过程中，如有疑难，请登录学院网站“辅导答疑”栏目，与老师进行交流讨论！