《力学》漆安慎答案04章.docx

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1、力学漆安慎答案04章第4章 动能和势能 力学漆安慎课后答案 力学漆安慎习题解答 第四章 动能和势能 1 第4章 动能和势能 力学漆安慎课后答案 2 第4章 动能和势能 力学漆安慎课后答案 r 1、功的定义式：A12=Fdrvr1rr2第四章 动能和势能 一、基本知识小结 rx2x2,y2直角坐标系中：A12=Fxdx，A12=x1x1,y1Fdx+Fdy xys2自然坐标系中：A12=Ftds s1r2,q2极坐标系中： A12=r1,qFdr+Fqrdq r1bvr122、动能Ek=mv,势能Ep(b)-Ep(a)=-F保dr 2a重力势能 Ep(y)=mgy 1k(r-l)2 2QqE(r

2、)=静电势能 p 4per3、动能定理适用于惯性系、质点、质点系 A外+A内=DEk 弹簧弹性势能 Ep(r)=4、机械能定理适用于惯性系 A外+A非保内=Dv2-v1=e(v10-v20)对于完全弹性碰撞 e = 1 对于完全非弹性碰撞 e = 0 对于斜碰，可在球心连线方向上应用牛顿碰撞公式。 11227、克尼希定理 Ek=mvc+mivi 22绝对动能=质心动能+相对动能 112应用于二体问题 Ek=mvc+mu2 22m1m2 m=m1+m2m= u 为二质点相对速率 m1+m2 3 第4章 动能和势能 力学漆安慎课后答案 二、思考题解答 4.1 起重机起重重物。问在加速上升、匀速上升

3、、减速上升以及加速下降、匀速下降、减速下降六种情况下合力之功的正负。又：在加速上升和匀速上升了距离h这两种情况中，起重机吊钩对重物的拉力所做的功是否一样多？ 答:在加速上升、匀速上升、减速上升以及加速下降、匀速下降、减速下降六种况下合力之功的正负分别为：正、0、负、正、0、负。 在加速上升和匀速上升了距离h这两种情况中，起重机吊钩对重物的拉力所做的功不一样多。加速上升 Fmg；匀速上升 F=mg。 4.2 弹簧A和B，劲度系数KAKB，(1)将弹簧拉长同样的距离；(2)拉长两个弹簧到某一长度时，所用的力相同。在这两种情况下拉伸弹簧的过程中，对那个弹簧做的功更多？ 答: (1) KAKB 拉长同

4、样距离 KB原长FB1cBAA=KADl2OKAKB,AAAB. 21AB=KBDl22(2) FA=KAxA,FB=KBxB, FFFA=FB xA=A xB=B KAxA=KBxB KAKB22FA111FA2AA=KAxA=KA2=22KA2KA22FB111FB2AB=KBxB=KB2=22KB2KB KAKB,AAm2。 m1112v1v1 ， 动能相等时，有m1v12=m2v2 ，即有v2=m222动量的大小分别为p1=m1v1，p2=m2v2 ，可得p2=m2m1m2v1=m1v1v1 ，动能分别为EK1=m1v12 ，m2212 ，可得： EK2=m2v22mm11EK2=m2

5、(1v1)2=m1v121EK1。质量小的物体动能较大。 2m22m24.11 如图所示，用线把球挂起来，球下系一同样地的细线，拉球下细线，逐渐加大力量，哪段细线先断？为什么？如用较大力量突然拉球下细线，哪段细线先断？为什么？ 答：无论何种拉法，细线之所以断，是因其所受拉力大于它所能承受的极限张力。 缓慢的加大力量拉球下细线时，拉力通过重球均匀的作用于球上方的细线，而上方的细线除受拉力外，还受球对对它的作用力。因此在逐渐加大拉力的过程中，球上方细线中的张力因率先达到极限而被拉断。 用较大力量突然拉下面细线，意味着作用力较大而作用时间较短，该拉力就是冲力，冲力通过细线首先作用于重球，但由于重球惯

6、性很大，动量改变极小，在冲力尚未通过重球的位移传给球上之细线前，球下细线所受冲力以大于其所能承受的张力之极限，因此先断。 6 第4章 动能和势能 力学漆安慎课后答案 4.12 一物体沿粗糙面下滑，试问在这过程中哪些力作正功？哪些力作负功？哪些力不作功？ 答：物体沿粗糙面下滑时的受力有：重力、滑动摩擦力、斜面的支持力。 合力作功为 A=21111rr222Fdr=Gcosq1ds+FTcosq2ds+FNcosq3ds ， rrp其中，重力G与物体位移dr间的夹角q1，所以重力作正功。 2rr滑动摩擦力FT与物体位移dr间的夹角q2=p，因与物体位移反向，所以滑动摩擦力作负功。 rp斜面的支持力

7、FN因与物体位移相互垂直q3=，所以斜面的支持力不作功。 24.13 外力对质点不作功时，质点是否一定作匀速直线运动？ 答：根据质点的动能定理A=DEK可知，合外力对质点作功为零时，质点的动能保持不变，有两种情况： r若合外力F=0，则质点将保持原来的运动状态不变，动能自然不变。此即牛顿第一定理,原来静止的将仍然保持静止；原来作匀速直线运动的，将继续保持原有速度的大小和方向不变的匀速直线运动。 rr若合外力F与质点的位移dr始终垂直，则合外力对质点不作功。如:用细绳连接着的小球在光滑水平面内作圆周运动，拉力不作功；垂直进入均匀磁场的点电荷所作的圆周运动，磁场力不作功。此时的质点所作的是匀速率圆

8、周运动，其动能虽然不变，但速度方向不断改变，即动量时时在变。 4.14 两个相同的物体处于同一位置，其中一个水平抛出，另一个沿斜面无摩擦的自由滑下，问哪个物体先到达地面？到达地面时两者速率是否相等？ 答：如图所示，取平抛物体为A，下滑物体为B .设两物体离地面高度为h，A的水平速r度为v0，斜面长为 l . 121212gt ，mgh+mv0=mv ，式222中t和v分别为A到达地面的所用时间和速率。可解得2h2+0v t= v=2ghg111对B，有l=at2=gsinq2t ，mgh=mv2 .式中t和v分别为B到达地面所用2222l2hv=2ght的时间和速率。并且h=lsinq，可解得

9、t= ，2gsinqgsinq对A，有h=即平抛物体A先到达地面，并且到达地面时的速率比自由下滑物体B的大。 7 第4章 动能和势能 力学漆安慎课后答案 4.15非保守力作功总是负的，对吗？举例说明之。 答:如果力所作的功与物体所经历的中间路径有关，或物体循闭合路径运行一周时，力所作的功不为零，这种力称作非保守力。摩擦力、粘滞力、化学力等作的功都具有这样的特征，它们都是非保守力。 但是，像摩擦力这类非保守力作功，并非总是负的。它的功可以增大物体的动能，作正功，比如传送带对物体的静摩擦力的功，使物体的动能获得大于零的增量；它的功也可以将物体机械运动的能量转化为原子或分子无规热运动的能量，即作负功

10、，比如滑动摩擦力作功，使物体机械运动的动能减小，因此也将摩擦力称为耗散力 。通过非保守力作功，也可以把其他形态的能量，如化学能、电磁能、生物能、核能等转化为机械能而作正功，比如通过储蓄电池驱动电机所获得的机械功、静止的爆竹爆炸后，朝四处飞散的碎片的动能等都来自于化学能，在这些过程中，非保守力作的功大于零。 所以，认为非保守力作功总是为负的，这样的看法是错误的。 4.16两个质量相等的小球，分别从两个高度相同、倾角不同的光滑斜面的顶端有静止滑到底部，它们的动量和动能是否相等？ 答：动量和动能都是量度物体机械运动的的物理量。动量rrrP=mv是矢量，沿速度v的方向；动能EK=1mv2是正值标2量，

11、它们的量值都与参考系无关。如图所示，小球从光滑斜面下滑时，速度方向沿斜面，因此，两球到达底部时的动量方向不同。两小球从高度h相同的斜面滑下时，取小球、1光滑斜面和地球为系统。因机械能守恒mgh=mv2，所以2两球的动能相同，动量值也相等。 4.17、质点的动能定律的内容和数学表达式与质点系的动能定律的内容和数学表达式有什么区别？ 1答：dA=d(mu2)是为质点动能定理的微分形式. 2 质点动能的微分等于作用于质点的合力所作的元功，叫做质点动能定理。积分即得质112点动能定理积分形式：A=mu2-mu0 22作用于质点的合力所作的功等于质点动能的增量。叫做质点动能定理 质点的动能定理的内容和数

12、学表达式与质点系的动能定理的内容和数学表达式区别在于功方面。质点系的总功是合外力和内力的功之和，而质点的总功只是外力的总功。 4.18、什么是保守力？ 答：如果力具有“做功与路程无关”这一种力称为保守力。 4.19、质点机械能守恒的条件和内容是什么？ 答：质点机械能守恒的条件是质点在运动过程中只有保守力做功，质点的机械能守恒；在一定过程中，若果质点的机械能力始终保持恒定，且只有该质点发生动能和势能的相互转换，就说该质点机械能守恒。 8 第4章 动能和势能 力学漆安慎课后答案 4.20、质点系的内力的功为零吗？刚体内力的功为零吗？ 答：质点系内力的功不为零。刚体内力的功为零。 4.21、质点系机

13、械能守恒的条件和内容是什么？ 质点系机械能守恒的条件是质点系中只有内非保守力不做功和外非保守力不做功，质点系的机械能守恒；在一定过程中，若果质点系机械能力始终保持恒定，且只有该质点系内部发生动能和势能的相互转换，就说该质点系机械能守恒，机械能守恒的系统称保守系统。 4.22、重力势能、弹簧的弹性势能和万有引力势能的数学表达式是什么？ 答：重力势能是mgh 1弹簧的弹性势能和kx12 2Mm万有引力势能的数学表达式是F=G2 r4.21什么是完全弹性碰撞、完全非弹性碰撞和非完全弹性碰撞？ 答：完全弹性碰撞是碰撞过程中动量守恒和动能守恒；完全非弹性碰撞是碰撞过程中动量守恒和动能不守恒且碰撞物理碰撞

14、后在一起运动，具有相同的速度；非完全弹性碰撞是碰撞过程中动量守恒和动能不守恒。 4.22什么是对心碰撞？e的表达式为什么？e为何值时碰撞分别为完全弹性碰撞、完全非弹性碰撞和非完全弹性碰撞？ 答：正碰即两球沿着联心线运动而发生碰撞，球的对心碰撞。e=v2-v1v10-v20 e=1完全弹性碰撞、e=1完全非弹性碰撞和0e1非完全弹性碰撞 4.23、用相同的动能从同一地点抛出两个物体，试问在下列两种情况下到达最高点时这两物体的动能是否相同？势能是否相同？ 两个物体的质量不同，但均垂直地往上抛； 两个物体的质量相同，但一个垂直往上抛，另一个斜上抛。 答：两物体的动能相同，势能相同。 两物体的动能不相

15、同，势能也不相同 9 第4章 动能和势能 力学漆安慎课后答案 三、习题解答 4.2.2 本题图表示测定运动体能的装置。绳拴在腰间沿水平展开跨过理想滑轮，下悬重物50kg，人用力向后蹬传送带而人的质心相对于地面不动，设传送带上侧以2m/s的速率向后运动，问运动员对传送带做功否？功率如何？ 解：人作用在传送带上的力有向下的压力和水平向后的静摩擦力，压力方向与传送带位移方向垂直，所以压力不做功，但静摩擦力方向与传送带位移方向相同，所以静摩擦力对传送带做正功。 分析人受力情况，由质心定理可知，人与传送带之间的静摩擦力的大小f=mg，所以，人对传送带做功的功率为： N = fv = mgv = 509.

16、82 = 9.8102 4.2.3 一非线性拉伸弹簧的弹性力的大小为f=k1l+k2l3,l表示弹簧的伸长量，k1为正，研究当k20、k20时，弹簧的劲度随弹簧伸长量的增加而增大； k20时，弹簧的劲度随弹簧伸长量的增加而减小。 在以上三种情况中，劲度df/dl与弹簧伸长量l的关系如图所示。 A=-(k1l+k2l)dl=-k1ldl-k2l3dll1l1l11=-12k1(l2-l1)-4k2(l2-l1)1=-12k1+2k2(l2+l1)(l2-l1)22222244l23l2l24.2.4一细线系一小球，小球在光滑水平桌面上沿螺旋线运动，线穿过桌中心光滑圆孔，用力F向下拉绳，证明力F对

17、线做的功等与线作用于小球的拉力所做的功，线不可伸长。 证明：以圆孔为顶点建立极坐标，设小球的位置由r1,1变为r2,2，由于忽略绳的质量、伸长，不计摩擦，所以绳对球的拉力T=F r2r2r1AT=Frdr=-Tdr=Tdr=T(r1-r2)r1r1r2F AF=F(r1-r2)=T(r1-r2),AT=AF 10 第4章 动能和势能 力学漆安慎课后答案 4.2.5 一辆卡车能够沿着斜坡以15km/h的速率向上行驶，斜坡与水平面夹角的正切tg=0.02，所受阻力等于卡车重量的0.04，如果卡车以同样的功率匀速下坡，卡车的速率是多少？ 解：设卡车匀速上坡时，速率为v, 牵引力为F, 功率为N,由质

18、点平衡方程有， F = (0.04+sin)mg， N = Fv = (0.04+sin)mgv 设卡车匀速下坡时，速率为v,牵引力为F,功率为N, 由质点平衡方程有 F+ mg sin= 0.04mg, F=(0.04-sin)mg, N= (0.04-sin)mgv. 令N= N, 即mgv = (0.04-sin)mgv，可求得：v= v(0.04+sin)/(0.04-sin). 利用三角函数关系式，可求得： sintg=0.02 , v=3v =315103/602 m/s = 12.5m/s. 4.3.1质量为m=0.5kg的木块可在水平光滑直杆上滑动，木块与一不可伸长的轻绳相连，

19、绳跨过一固定的光滑小环，绳端作用着大小不变的力T=50N，木块在A点时具有向右的速率v0=6m/s，求力T将木块从A拉至B点时的速度。 解：以A为原点建立图示坐标o-x，木块由A到B，只有拉力T做功： 444(4-x)dx(4-x)2+32A=Fxdx=Tcosqdx=T00043m A 4m B T 2-1/2221/2450=-T(4-x)+9d(4-x)+9=-2(4-x)+9|02204=50(4-x)2+9|0=50(5-3)=100Jx 2mv-1 设木块到达B时的速度为v，由动能定理：A=122mv0 2v=2A/m+v0=2100/0.5+6220.88m/s，方向向右 24.

20、3.2 质量为1.2kg的木块套在光滑铅直杆上，不可伸长的轻绳跨过固定的光滑小环，孔的直径远小于它到杆的距离。绳端作用以恒力F,F=60N,木块在A处有向上的速度v0=2m/s,求木块被拉至B时的速度。 解：以地为参考系，建立图示坐标A-xy，木块在由A到B的运动过程中受三个力的作用,各力做功分别是： AN = 0；AW = -mg(yB-yA)=-1.29.80.5= -5.88J；F大小虽然不变，但方向在运动过程中不断变化，因此是变力做功。 0.5AF=-F2Fydy=Fcosqdy=F000.50.50.5-y0.52+(0.5-y)20dy=-F20.500.52+(0.5-y)2-1

21、/2d(0.5-y)20.50221/20.50.52+(0.5-y)2-1/2d0.52+(0.5-y)2=-F|0220.5+(0.5-y)=0.5F(2-1)=0.560(2-1)=12.43J1由动能定理：AN+AW+AF=12mvB-2mvA 代入数据，求得 vB =3.86 m/s. 22 11 第4章 动能和势能 力学漆安慎课后答案 4.3.3 质量为m的物体与轻弹簧相连，最初m处于使弹簧既未压缩也未伸长的位置，并以速度v0 向右运动，弹簧的劲度系数为k，物体与支撑面间的滑动摩擦系数为求证物体能达到的最远距离l为l=mmgkkv0(1+m-1) 2mg2证明：质点m由弹簧原长位置

22、运动到最远位置l，弹力F和滑动摩擦力f对质点做负功，导致质点动能由mv02/2变为0。根据动能定理：AF+Af=0 - mv02/2 2其中，AF=-kldl=-1kl,Af=-mmgl，代入中，并整2l理，有：kl2+2mgl-m v02=0. 这是一个关于l的一元二次方程，其根为： -2mmg(2mmg)2+4kmv02，负根显然不合题意，舍去，所以， 2kmmgk0l=l=-+1k(mmg)+kmv0=22mmgk(1+m2mg2-1) kv024.3.4圆柱形容器内装有气体，容器内壁光滑，质量为m的活塞将气体密封，气体膨胀前后的体积各为V1,V2，膨胀前的压强为p1，活塞初速率为v0.

23、 求气体膨胀后活塞的末速率,已知气体膨胀时气体压强与体积满足pv=恒量. 若气体压强与体积的关系为pv=恒量，为常量，活塞末速率又如何？ 解：以活塞为研究对象，设膨胀后的速率为v，在膨胀过程中，作用在活塞上的力有重力mg，气体对活塞的压力N=pS，忽略重力所做的功，对活塞应用动能定律： AN=1mv2-1mv0,v=v0+2AN/m 2222若pV=p1V1， 12AN=pSdx=pdV=p1V1VdV=p1V1lnVV1 V1V1VV2V2V2若pV=p1V1 pV1-g1-gAN=pdV=p1V1V-gdV=11(V2-V1) 1-gV1V1gV2V2g4.3.5 o坐标系与o坐标系各对应

24、轴平行，o相对o沿x轴以v0做匀速直线运动. 对1于o系质点动能定理为：FDx=12mv2-2mv1，v1,v2沿x轴，根据伽利略变换证明：22对于o系，动能定理也取这种形式。 证明：由伽利略变换：x=x+v0t , v=v+v0，x=x+v0t 1v1=v1+v0，v2=v2+v0 ，将代入FDx=12mv2-2mv1中，有 221FDx+FDtv0=1m(v+v)-m(v+v)20102222=mv2-mv1+m(v2-v1)v0=mv2-mv1+m(v2-v1)v0121212122222221 据动量定理：FDt=Dp=m(v2-v1) 所以， FDx=12mv2-2mv1 12 第4

25、章 动能和势能 力学漆安慎课后答案 4.3.6 在质量分析器中,电量为e的离子自离子源A引出后，在加速管中受到电压为U的电场加速.设偏转磁感应强度为B,偏转半径为R.求证在D漂移管中得到的离子的质量为 m=eB2R2/2U. 证明：正离子从离子源A引出后，在加速管中受到电压为U的电场加速，正离子动能的增量等于电场力对正离子所做的功，即， mv2/2-0=eU,v=(2eU/m)1/2 正离子在半径为R的弯管中受到洛仑兹力的作用而发生偏转，若能进入漂移管道，根据牛顿二定律必须满足：qvB=mv2/R,也就是， eB=mv/R，将v=(2eU/m)1/2代入，并将方程两边平方，得： e2B2=2m

26、eU/R2， m=eB2R2/2U. 4.3.7 轻且不可伸长的线悬挂质量为500g的圆柱体，圆柱体又套在可沿水平方向移动的框架内，框架槽沿铅直方向，框架质量为200g.自悬线静止于铅直位置开始，框架在水平力F=20.0N作用下移至图中位置，求圆柱体的速度，线长20cm,不计摩擦。 解：设绳长l，圆柱质量m1，框架质量m2，建立图示坐标o-xy；据题意，圆柱在o点时，圆柱和框架的速度均为零；圆柱在图示位置时，设圆柱的速度为v1，方向与线l垂直，框架的速度为v2,方向水平向右，由圆柱与框架的套接关系，可知v2=v1x，v1y=v1xtg30 圆柱体m1与框架m2构成一质点系，此质点系在从竖直位置

27、运动到图示位置的过程中，只有重力W1=m1g和拉力F做功：其中， AW1=-m1gl(1-cos30)=-0.13J, AF = F l sin30= 2J,由质点系动能定理，有 111AW1+AF=12m1v1+2m2v2=2m1(v1x+v1y)+2m2v1x 222222=1vm(1+tg30)+m2v1x=2(AW1+AF)/(41x123m1+m2) 22代入数据,v1x2=4.3, v1y2=(v1xtg30)2=1.44 v1=(v1x2+v1y2)1/2=2.4m/s. 4.4.1两个仅可压缩的弹簧组成一可变劲度系数的弹簧组，弹簧1和弹簧2的劲度系数各为k1,k2，它们自由伸展

28、的长度相差l，坐标原点置于弹簧2自由伸展处，求弹簧组在0xl和x0时弹性势能的表达式。 l 解：规定两个弹簧处在坐标原点时的弹性势能为零；弹簧2kx2,x0；弹簧1的势能： 的势能表达式显然为：Ep2=122k1 Ep1=-k1(l-x)dx=k1(l-x)d(l-x)=12k1(l-x)|002221=1(xl)2k1(l-x)-l=2k1x-k1lx,xxk2 2x0o x 221当0xl时，Ep=Ep1=12k1x-k1lx;当x0时，Ep=Ep1+Ep2=2(k1+k2)x-k1lx 13 第4章 动能和势能 力学漆安慎课后答案 4.5.1 滑雪运动员自A自由下落，经B越过宽为d的横沟

29、到达平台C时，其速度vc刚好在水平方向，已知A、B两点的垂直距离为25m.坡道在B点的切线方向与水平面成30角，不计摩擦，求：运动员离开B处的速率vB；B、C的垂直高度差h及沟宽d；运动员到达平台时的速率vc. 解：运动员在整个运动过程中,只有重 力做功,故机械能守恒，取B点为势能零点。 mgH = mvB2/2 vB=2gH=29.825=22.1m/s 运动员由B到C作斜抛运动，据题意，C点即为最高点。由斜抛运动规律可知， vc = vB cos30 = 19.1m/s mvB2/2 = m vc2/2+mgh h = (vB2-vc2)/2g = 6.3m； 由竖直方向的速度公式可求跨越

30、时间：0 = vBsin30-gt t = vB /2g =1.13s， 由水平方向的位移公式可求得跨越距离： d = vB cos30t = 21.6m. 4.5.2装置如图所示，球的质量为5kg，杆AB长1m，AC长0.1m，A点距o点0.5m，弹簧的劲度系数为800N/m，杆AB在水平位置时恰为弹簧自由状态，此时释放小球，小球由静止开始运动，求小球到铅垂位置时的速度，不计弹簧质量及杆的质量，不计摩擦。 解：取小球在水平位置时，势能为零，小球运动到竖直位置o 时的速度为v，弹簧原长：l0=0.52+0.12=0.51，在小球从水平位置运动到竖直位置的过程中，只有保守内力做功，因而机械mv2

31、-mgAB+1k(OA+AC-l0)2，可求得： 能守恒：0=122B C A v=2gAB-k(OA+AC-l0)2/m=29.81-800(0.5+0.1-0.51)/5=4.28m/s24.5.3 物体Q与一劲度系数为24N/m的橡皮筋连接，并在一水平(光滑)圆环轨道上运动，物体Q在A处的速度为1.0m/s，已知圆环的半径为0.24m,物体Q的质量为5kg,由橡皮筋固定端至B为0.16m,恰等于橡皮筋的自由长度.求:物体Q的最大速度; 物体Q能否达到D点，并求出在此点的速度. 解: 物体Q在整个运动过程中，只有弹簧的弹力做功，所以机械能守恒.总能量 E= 12222mvA+1kR+(R+

32、l)-l 0022代入数据，求得E=3.63J 在B点, 弹簧的势能全部转化为动能，所以, 在该点速度最大. mVB2/2 = E, vB = (2E/m)1/2 = 1.2m/s 在D点的弹性势能， Ep=k(2R)2/2=2kR2=2240.242=2.76 EpE 物体Q能达到D点. m vD2/2=E-Ep , vD=2(E-Ep)/m1/2 代入数据，求得 vD=0.58m/s 14 第4章 动能和势能 力学漆安慎课后答案 4.6.1卢瑟福在一篇文章中写道：可以预言，当粒子和氢原子相碰时，可使之迅速运动起来.按正碰考虑很容易证明,氢原子速度可达粒子碰撞前速度的1.6倍,即占入射粒子能量的64%.试证明此结论(碰撞是完全弹性,且粒子质量接近氢原子质量的四倍). 证明: 设氢原子质量为m,碰前速度为零,碰后速度vH,粒子质量为4m,碰前速度为v,碰后速度为v.根据完全弹性碰撞基本公式： 4va=4va+vH(1)4mva=