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1、复变函数复习提要第5章复变函数期末复习提要 第5章：解析函数的幂级数表示 了解复级数的基本概念； 理解解析函数的幂级数表示； 理解收敛圆及收敛半径的概念； 熟练掌握收敛圆及收敛半径的求法； 了解解析函数的零点并掌握其判别方法； 熟练掌握将函数在一点展成幂级数的方法； 了解解析函数的唯一性定理，掌握其证明方法。 幂级数 定义5.7 称形如 或 cn=0nzn=c0+c1z+c2z2+L+cnzn+L cn=0n(z-z0)n=c0+c1(z-z0)+c2(z-z0)2+L+cn(z-z0)n+L 的级数为幂级数，其中z0,c0,c1,c2,L,cn,L均为复常数。 收敛圆 收敛半径 对于级数，总
2、存在圆周cR:z=R，使得级数在cR的内部绝对收敛，在cR的外部发散我们称圆N(0,R):zR为级数的收敛圆，称R为级数的收敛半径。 求收敛半径的方法与数学分析中的方法一样。 定理5.7 对于级数，若极限 lim存在，则极限 cn+1ncnlimncn n存在，并且有 limncn=limncn+1ncn =l =1 R其中的R为级数的收敛半径当l=0时，规定R=+，当l=+时，规定R=0。 解析函数的幂级数表示 定理5.9 设G为区域，点aG，圆K:z-aR含于G，若函数f(z)在G内解析，则在K内有 1 f(z)=其中 cn=0n(z-a)n f(n)(0),n=0,1,2,L cn=n!
3、且上述展式是唯一的。 z在点z=1展成泰勒级数。 z+2解 因为z=-2是f(z)的唯一有限奇点，所以，f(z)可在z-11-(-2)=3内展例1 试将f(z)=成泰勒级数，有 zz-1+1= z+2z-1+3z-11+ = (z-1)+3(z-1)+3z-11+ = z-1z-13(1+)3(1+)33(-1)n(z-1)n+1(-1)n(z-1)n = +n+1n+133n=0n=0n1n+1(z-1) =+2(-1),n+133n=1z-13 解析函数的零点 定义4.8 设函数f(z)在点a解析，若f(a)=0，则称点a为f(z)的零点，若f(z)的零点a满足 f(a)=f(a)=L=f
4、(m-1)(a)=0，但f(m)(a)0 则称点a为函数f(z)的m级零点。 计算f(z)的零点的级别的方法 定理5.11 点a是不恒为零的解析函数f(z)的m级零点的充分必要条件是 f(z)=(z-a)mj(z) 其中，j(z)在点a解析，且j(a)0。 例2 试判断点z=-2是函数f(z)=z3+4z2+4z的几级零点。 解 因为 f(z)=z3+4z2+4z 2 =z(z+2) 所以，若令j(z)=z，则j(z)在点z=-2解析，且j(-2)0，即j(z)满足定理5.11的条件，故点z=-2为函数f(z)的二级零点。 解析函数的唯一性 定理5.13 若 函数f1(z)与f2(z)在区域G内解析。 E为G内一无穷点集，且E在G内至少有一个聚点a。 2 f1(z)=f2(z)在E上成立，则f1(z)=f2(z)在G内成立。 解析函数的唯一性定理可以用来在复平面证明我们过去熟知的一些等式。 3
