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1、复数知识点总结复数知识点总结 1、复数的概念 形如a+bi(a,bR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2=-1，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部. (1)纯虚数：对于复数z=a+bi，当a=0且b0时，叫做纯虚数. (2)两个复数相等：a+bi,c+di(a、b、c、dR)相等的充要条件是a=c且b=d. (3)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，横轴为实轴，竖轴除去原点为虚轴. uuur(4)复数的模：复数z=a+bi可以用复平面内的点Z(a,b)表示，向量OZ的模叫做复数z=a+bi的模，表示为：|z|=|a+bi|=22a+b 共轭复数：两个复数的实部相等，虚部互
2、为相反数时，这两个复数叫做共轭复数. 2、复数的四则运算 加减运算：(a+bi)(c+di)=(ac)+(b+d)i； 乘法运算：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i； 除法运算：(a+bi)(c+di)=(ac+bd)c+d22+(bc-ad)c+d22i(c+di0)； i的幂运算：i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i.(nZ) zz=|z|2=|z|2 3、 规律方法总结 对于复数z=a+bi(a,bR)必须强调a,b均为实数，方可得出实部为a，虚部为b 复数z=a+bi(a,bR)是由它们的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把
3、复数问题转化为实数问题的主要方法对于一个复数z=a+bi(a,bR)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识 对于两个复数，若不全是实数，则不能比较大小，在复数集里一般没有大小之分，但却有相等与不等之分. 数系扩充后，数的概念由实数集扩充到复数集，实数集中的一些运算性质、概念、关系就不一定适用了，如绝对值的性质、绝对值的定义、偶次方非负等 第1页 1、基本概念计算类 例1若z1=a+2i,z2=3-4i,且z1z2z1z2为纯虚数，则实数a的值为_ 解：因为，a+2i3-4i=(a+2i)(3+4i)(3-4i)(3+4i)=3a+6i+4ia-
4、82583=3a-8+(6+4a)i25， 又z1z2为纯虚数，所以，3a80，且64a0。a= 2、复数方程问题 例2证明：在复数范围内，方程|z|+(1-i)z=25-5i2+i无解 证明：原方程化简为|z|+(1-i)z-(1+i)z=1-3i,设zxyi(x、yR)，代入上述方程x2+y2=1得x+y-2xi-2yi=1-3i. 整理得8x2-12x+5=0 2x+2y=322QD=-160.方程无实数解，所以原方程在复数范围内无解。 3、综合类 例3设z是虚数，w=z+1z是实数，且1w2 求|z|的值及z的实部的取值范围； 设M=1-z1+z2，求证：M为纯虚数； 求w-M的最小值
5、。 解：设zabi w=a+bi+21a+bi2=(a+aa+b22)+(b-ba+b22)i, 因为，w是实数，b0 12a1 所以，a+b=1，即|z|1， 因为w2a，1w2，-所以，z的实部的取值范围 M=1-a-bi1+a+bi2=(1-a-bi)(1+a-bi)(1+a+bi)(1+a-bi)12=1-a-b-2bi(1+a)+b2222=-bia+1中a+b=1）。 因为a，b0，所以M为纯虚数 第2页 w-M2=2a+b22(a+1)=2a+1a+11-a22(a+1)=2a-a-1a+1=2a-1+2a+112=2(a+1)+-3 2因为，a2231， ，即a0时上式取等号，
6、 所以，w-M2的最小值是1。 4、创新类 例4对于任意两个复数z1=x1+y1i,z2=x2+y2i(x1,x2,y1,y2R)定义运算“”为 设非零复数w1,w2在复平面内对应的点分别为P1,P2,点O为坐标原z1z2x1x2+y1y2，点，若w1w20，则在DP1OP2中，P1OP2的大小为_. 解法一：设w1=a1+b1i,w2=a2+b2i(a1,a20)，故得点P1(a1,b1)，P2(a2,b2)，且a1a2+b1b20，即b1a1b2a2b1a1b2a2=-1 从而有kOP1kOP212=-1 故OP1OP2,也即P1OP2=90 0解法二：同法一的假设，知 |OP1|=|w1|=a1+b1 |OP2|=|w2|=a2+b2 |P1P2|=|w1-w2|=|(a1-a2)+(b1-b2)i| 22222222222a1+b1a2+b22a1+b1a2+b220 a1+b1a2+b2|OP1|OP2| 由勾股定理的逆定理知P1OP2=90 解法三：同法一的假设，知OP1=(a1,b1),OP2=(a2,b2)，则有 cosOP1OP2=a1a2+b1b2a1+b122022222222222222a2+b222=0 故P1OP2=90 0第3页
