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1、常微分方程练习题库参考答案江苏师范大学数学教育专业 常微分方程练习测试题库参考答案 一、判断说明题 1、在线性齐次方程通解公式中C是任意常数而在常数变易法中C是x的可微函数。将任意常数C变成可微函数C，期望它解决线性非齐次方程求解问题，这一方法成功了，称为常数变易法。 xx2、因p(x)连续，y(x)= y0exp(-p(x)dx)在p(x)连续的区间有意义，而exp(-p(x)dx)0。x0x0如果y00，推出y(x)=0,如果y(x)0,故零解y(x)=0唯一。 3、 它是常微分方程，因为含有未知函数的导数，f,g为已知函数，y为一元函数，所建立的等式是已知关系式。 它是常微分方程，理由同
2、上。 它不是常 微分方程，因y是未知函数，y(y(y(x)也是未知的，所建立的等式不是已知关系式。 4、微分方程求解时，都与一定的积分运算相联系。因此，把求解一个微分方程的过程称为一个微分方程。微分方程的解又称为积分。 5、 把微分方程的通解用初等函数或通过它们的积分来表达的方法。注意如果通解能归结为初等函数的积分表达，但这个积分如果不能用初等函数表示出来，我们也认为求解了这个微分方程，因为这个式子里没有未知函数的导数或微分。 6、 yf(x,y)主要特征是f(x,y)能分解为两个因式的乘积，其中一个因式仅含有x,另一因式仅含y，而方程p(x,y)dx+q(x,y)dy=0是可分离变量方程的主
3、要特征，就像f(x,y)一样，p,q分别都能分解成两个因式和乘积。 7、二元函数f(x,y)满足f(rx,ry)=rf(x,y),r.0,则称f(x,y)为m次齐次函数。m=0则称它为0次齐次函数。 8、如果f(x,y)是0次齐次函数，则yf(x,y)称为齐次方程。 如果p(x,y)和q(x,y)同为m次齐次函数，则pdx+qdy=0为齐次方程。 如果q0则mdyp(x,y) f(x,y)，由p,q为m次齐次函数推知f(x,y)为0次齐次函数故dxq(x,y)yf(x,y)为齐次方程。 9、 求解齐次方程经常用变换y=zx.用函数乘积导数的公式得 dydz=xz dxdx 10、二、计算题 1
4、、方程变形为dy-2x+4y-6=，它的分子，分母两条直线交点为 dxx+y-2作变换x=u+1dv-2u+4v，于是得到，它已经是齐次方程。 duu+vy=v+2dydzdz1，于是=1+f(z), dxdxdx2、令z=x+y+1,则只要f(z)0,可分离变量得 x=dz1+f(z)+C 3、p(x)=-cosx用线性齐方程初值问题解公式即得 y=exp(sinx) 4、用线性方程通解公式： 222y=exp(-2xdx)(C+2xdx)dx)=exp(-x)(C+2exp (-x)=2+Cexp(-x) 5、公式求得方程通解 y(x)=exp(2x) (C+ xexp(2x) exp(-
5、2x)dx)=exp(2x)(c+213x) 3利用初始条件代入上式y(0)=0=C,故y=13x exp(2x) 36、x 看作自变量，y看成函数，则它是非线性方程，经变形为 dxx+y dy以x为未知函数,y是自变量，它是线性方程，则通积分为 x=exp(dy)(c+yexp(-y)dy)=cexp(y)-y-1 dxy 27、解：将方程变形为xydy=(y-1)dx或2，当xy0,y1时积分得 y-1x221x2y+lny-1+=c x28、解： 这是齐次方程。令y=zx原方程化为 dx11+u23du=两边积分得 ln|z|=ln|cx| 2x2zu用z=y代入得 x1x2y=exp(
6、2) c2yy=0也是原方程的解。 9、解：. 方程右边分子，分母两条直线交点为=(-2,1)作变换u=x+2,v=y-1,原方程化为 dv2v-u2-zdu，此为齐次方程，令v=uz,经简单计算得2dz=,积分得du2u-vuz-1z-1C 33(z+1)u原方程通积分为 y=x+c(x+y+1)3+3 10、解 当y0时，分离变量得 dyx=dx 2y1+x1ln(1+x2)+lnC 2等式两端积分得 lny= 即通解为 y=C1+x2 11、解 齐次方程的通解为 y=Ce-3x 令非齐次方程的特解为 y=C(x)e-3x 1 代入原方程，确定出 C(x)=e5x+C 5 原方程的通解为
7、1 y=Ce-3x+e2x 512、解 由于MN，所以原方程是全微分方程 =2xy=yx 取(x0,y0)=(0,0)，原方程的通积分为 x0(x+xy)dx+y3dy=C1 032y即 x4+2x2y2+y4=C 13、解 令y=t，则原方程的参数形式为 x=t+et y=t 由基本关系式 dy=ydx=t(1+et)dt 积分有 12t+et(t-1)+C 2得原方程参数形式通解 y=x=t+et 12ty=t+e(t-1)+C214、解 原方程为恰当导数方程，可改写为 (yy)=0 即 yy=C1 分离变量得 ydy=C1dx 积分得通积分 1 y2=C1x+C2 215、解 方程的特征
8、根为l1=0，l2=5 齐次方程的通解为 y=C1+C2e5x 因为aib=5i不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为 y1(x)=Asin5x+Bco5sx 代入原方程，比较系数得 -25A+25B=1 -25A-25B=011， B= 50501sx-sin5x) 原方程的通解为 y=C1+C2e5x+(co55016、解 特征方程为 确定出 A=- A-lE=即 l2-2l-3=0 1-l1=0 41-l特征根为 l1=3，l2=-1 l1=3对应特征向量应满足 1-31a10 = 41-3b10可确定出 a11 = b12 同样可算出l2=-1对应的特征向量为 a21 = b2-2所以
9、，原方程组的通解为 e3te-tx =C13t+C2 -ty2e-2e17、方程右边分子，分母两条直线交点为=(-2,1)作变换u=x+2,v=y-1,原方程化为 dv2v-u2-zduz-1，此为齐次方程，令v=uz,经简单计算得2dz=,积分得C 33du2u-vuz-1(z+1)u原方程通积分为 y=x+c(x+y+1)+3 32xdzz=,它是线性方程。 x2dx此为黎卡提方程，通过观察知它有一特解y=-x作变换y=z-x,得贝努利方程18、解：此为贝努利方程。令z=y得z+2z=z2,再将方程ydx+(y-x)dy=0给两种解法。 此为黎卡提方程，通过观察知它有一特解y=-x作变换y
10、=z-x,得贝努利方程z+2z=z2,再将方程ydx+(y-x)dy=0给两种解法。 19、 20、 21、 22、 23、 24、 三、证明题 1、证明：设有两个解y1(x),y2(x),则 y1 (x)+p(x) y1(x)0, y2(x)+p(x) y2(x) 0,则 y(x)( y1(x)+y2(x)=( y1 (x)+p(x) y1(x)+ y2(x)+p(x) y2(x) 0表明y1(x)y2(x)仍是解。 2、证明 由已知条件，方程在整个xoy 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件，因此，它的任一解都可延展到平面的无穷远。 又由已知条件，知y=y0是方程的一个解。 假如方程的
11、非常数解y=y(x)对有限值x0有limy(x)=y0，那么由已知xx0条件，该解在点(x0,y0)处可向x0的右侧延展这样，过点(x0,y0)就有两个不同解y=y0和y=y(x)这与解的唯一性矛盾，因此x0不能是有限值 3、证明 如果y=j1(x)和y=j2(x)是二阶线性齐次方程 y+p(x)y+q(x)y=0 的解，那么由刘维尔公式有 W(x)=W(x0)e 现在，p(x)0故有 W(x)=W(x0)e4、 -0dtxx-x0p(t)dtx0=W(x0)=C 5、 补充题库1答案： 1819 2027 2837 3844 4549 5056 5762 6368 6971 7281 8287 8892 9394 9597 98100 101105 106113 114122 123132 133138 139143 144145 146150 151156 2 157162 163164167 168173 174177 178180 181184 185189 190192 193194 195198 199202 203205 206210 211216 217221 222226 227229 230233 234235 236241
