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1、新编基础物理学 第七章气体动理论题解和分析习题七 7-1 氧气瓶的容积为32L,瓶内充满氧气时的压强为130atm。若每小时用的氧气在1atm下体积为400L。设使用过程温度保持不变，当瓶内压强降到10atm时，使用了几个小时? 分析 氧气的使用过程中，氧气瓶的容积不变，压强减小。因此可由气体状态方程得到使用前后的氧气质量。进而将总的消耗量和每小时的消耗量比较求解。 解 已知P1=130atm,P2=10atm,P3=1atm; V1=V2=V=32L,V3=400L。 质量分别为m1，m2，m3,由题意可得: PV=1 P2V= P3V3=m1Mm2Mm2M1 RT 2 RT 3 RT 所以
2、一瓶氧气能用小时数为: n=m1-m2m3=PV-P2V1P3V3=(130-10)321.0400=9.6小时 7-2 一氦氖气体激光管，工作时管内温度为 27C。压强为2.4mmHg，氦气与氖气得压强比是7:1.求管内氦气和氖气的分数密度. 分析 先求得氦气和氖气各自得压强，再根据公式P=nkT求解氦气和氖气的分数密度。 解:依题意, 所以 P氦=2.1760=氦+氖， P=P氦+P氖=52.47601.01310Pa；P氦:P氖=7:1 551.01310Pa,P氖=0.37601.01310Pa, 根据 P=nkT 所以 n氦=P氦kT=(2.1760)1.01310-2351.381
3、021300=6.7610m22-3 n氖=P氖kT9.6610m-37-3 氢分子的质量为3.3105-24克。如果每秒有10个氢分子沿着与墙面的法线成45角的223方向以10厘米/秒的速率撞击在面积为2.0cm的墙面上,如果撞击是完全弹性的,求这些氢分子作用在墙面上的压强. 分析 压强即作用在单位面积上的平均作用力，而平均作用力由动量定理求得。 解:单位时间内作用在墙面上的平均作用力为: F=2mvcos45N p=FS=2mvcos45NS23.310=-271010210-45-2221023=2330Pa 7-4 一个能量为1012ev的宇宙射线粒子,射入一氖气管中,氖管中含有氦气0
4、.10mol,如果宇宙射线粒子的能量全部被氖气分子所吸收而变为热运动能量,问氖气的温度升高了多少? 分析 对确定的理想气体，其分子能量是温度的单值函数，因此能量的变化对应着温度的变化。由能量守恒求解氖气的温度变化。 解: 依题意可得: 0.16.021023 1.610-732kD T=10121.610-19 DT=0.16.021.51.38=1.2810=7K 7-5 容器内贮有1摩尔某种气体。今自外界输入2.09102焦耳热量,测得气体温度升高10K.求该气体分子的自由度。 分析 理想气体分子能量只与自由度和温度有关。 解： DE=NAi2kDT,i=2DENAkDT=22.09102
5、6.021.3810=5 7-6 2.0g的氢气装在容积为20L的容器内,当容器内压强为300mmHg时,氢分子的平均平动动能是多少? 分析 根据已知条件由物态方程可求得温度，进而用公式ekt=解：PV= mMRT 代入数值: 30076020=2.020.082T 32kT求平均平动动能。 T=96.3K 32kT=321.3810-23 ekt=96.3=210-21J 7-7 温度为27C时,1mol氢气分子具有多少平动动能?多少转动动能? 分析 气体的能量为单个分子能量的总合。 解：ekt=NA ekr=NA2232kT=6.02102323321.3810-23-23300=3.74
6、10J 33kT=6.0210221.3810300=2.4910J 3327-8有210 m刚性双原子分子理想气体，其内能为6.7510 J。(1) 试求气体的压强；22(2) 设分子总数为 5.410 个，求分子的平均平动动能及气体的温度 分析 将能量公式E=Ni2kT结合物态方程P=NVkT求解气体的压强。由能量公式E=Ni2kT求解气体的温度。再由气体的能量为单个分子能量的总合求解单个分子的平均平动动能。 解：(1) 设分子数为N。 据得E=NP=2EiVi2kT及P=5NVkT =1.3510pa 3(2) 由ektE=2NkT52 kT-21得 ekt=3E/(5N)=7.510又
7、 E=N得 T52kT =362K J 2E5Nk57-9容器内有m=2.66kg氧气，已知其气体分子的平动动能总和是Ek=4.1410J，求： (1) 气体分子的平均平动动能； (2) 气体温度 分析 气体的能量为单个分子能量的总合。由理想气体的质量和摩尔质量求出总分子数目。则分子的平均平动动能。进而利用公式ekt=32kT求气体温度。 根据1摩尔理想气体的质量和分子数目可求得总分子数目。 解：(1) EkNmM=NNA N=mNAMekt=MEKmNA=8.2710-21J (2) T=2ekt3k=400K 57-10 2L容器中有某种双原子刚性气体,在常温下,其压强为1.510pa,求
8、该气体的内能. 分析 内能公式与物态方程结合可将内能公式表述为压强与体积的函数。 解：据PV= E=mMmiRT， RT=52pV=521.5102105-3M2=750J 7-11 一容器内贮有氧气,测得其压强为1atm,温度为300K.求：单位体积内的氧分子数；(2)氧的密度；氧分子的质量；氧分子的平均平动动能。 分析 应用公式P=nkT即可求解氧分子数密度。应用物态方程求出质量密度。结合氧分子数密度和质量密度求出氧分子的质量。最后利用公式直接求解氧分子的平均平动动能。 解：(1) n= (2)r=PkT=1.013101.3810-235300=2.4510m-125-3PMRT=1.0
9、320.082300=1.30gL (3) m=rn32=1.302.4510322510-3=5.310-23g (4) ekt=kT=1.3810-23300=6.2110-21J 7-12温度为273K，求(1)氧分子的平均平动动能和平均转动动能(2)410-3kg氧气的内能. 分析 分子的能量只与自由度与温度有关，分析分子的平动自由度和转动自由度即可求解平均平动动能和平均转动动能。而内能只需根据内能公式求解。 解：氧分子为双原子分子。其平均自由度t=3,转动自由度r=2.当视为刚性分子时,振动自由度s=0.所以: (1) 氧分子的平均平动动能和转动动能分别为: ekt=3222kT=k
10、T=32221.38101.3810-23273=5.6510273=3.7710-21J J ekr=-23-21(2) 当m=410-3kg时,其内能为: mME=(t+r)2RT=410-3-33210528.31273=7.0910J 27-13 在相同温度下,2摩尔氢气和1摩尔氦气分别放在两个容积相同的容器中。试求两气体(1)分子平均平动动能之比;(2)分子平均总动能之比;(3)内能之比;(4)方均根速率之比;(5)压强之比(6)密度之比. 分析 此题是平均平动动能公式、分子平均总动能公式、内能公式、方均根速率公式、理想气体物态方程等的应用。 解： 因为氢气的自由度i=5;氦气的自由
11、度i=3 (1) ekt=32kTi2ekt氢：ekt氦=1:1 (2) Ek=2i2kTEk氢：Ek氦=5:3 (3)E=mMRT，E氢：E氦10:3 (4) VNV=3RTM ，V氢：V氦=2:222 (5)P=nkT=kT ， P氢:P氦=2:1 (6) r=PMRT，r氢：r氦1:1 7-14 已知f(v)是气体速率分布函数。N为总分子数，,n为单位体积内的分子数,。试说明以下各式的物理意义。 v2(1)Nf(v)dvv2(5)vf(v)dvv12(2)f(v)dvv2(3)Nf(v)dvv1(4)vf(v)dv v1v2(6)f(v)dv v1dNNdv分析 根据速率分布函数f(v)
12、=中的各个物理量的概念比较容易理解各种公式的含义。 解： Nf(v)dv表示分布在范围内的分子数 f(v)dv表示范围内的分子数占总分之数的百分比 v2v1Nf(v)dv表示速率在之间的分子数 v2v1v2vf(v)dv表示速率在v21-v2之间的分子平均速率。 v1vf(v)dv表示v1-v2之间的分子速率平方的平均值。 v2 (6) f(v)dv表示速率在区间内的分子数占总分之数的百分比. v17-15 N个粒子的系统,其速度分布函数 f(v)=dNNdv=C (0v2v时,分之数为零).试求:纵坐标的物理意义,并由N和v0求a。 Nf(v) (1) 速率在1.5v0到2.0v0之间的分之
13、数. (2) 分子的平均速率. 分析 根据速率分布函数的定义f(v)=dNNdva 2v0 v0 题图716 v ，可得出其纵坐标的物理意义，再由归一化条件可确定其常数a的值，从而得到具体的分布函数；根据速率分布函数的意义和平均速率的概念，求分子数和平均速率。 解 (1) 由f(v)=dNNdvdNdv得Nf(v)= 所以Nf(v)的物理意义为在某速率附近单位速率间隔中的分子.由图可知在不同的速率区间的Nf(v)为 av0 Nf(v)=v 0vv0 Nf(v)=a v0v2v0 Nf(v)=0 2v0v 根据归一化条件0f(v)dv=1,dNNdvv0a02N2v0a vd+dv=1,a=v0
14、Nv0N3v0(1) 由于f(v)=所以速率在1.5v0到2.0v0之间的分之数为: Nf(v)dv= DN=1.5v2.0v001.52.000adv=a2v0=N3(2) 据平均速率的计算公式 v=0vf(v)dv=v00av0Nvdv+2v2v00aNvdv=11a6Nv0=2119v0 -2717 已知某气体在温度T=273K,压强P=1.010atm时，密度r=1.2410-2gL,求(1)此气体分子的方均根速率;(2)此气体的摩尔质量并确定它是-1什么气体. 分析 首先根据物态方程确定气体的摩尔质量，代入方均根速率公式即可。 解：(1) P=mMVRT=rMRT,M=rRTP2 v
15、2=3RTM=3PVr=4.9510ms-1 (2) M=rRTp-2-1=2.810kgmol,N2或CO 7-18一氧气瓶的容积为V，充了气未使用时压强为P1，温度为T1；使用后瓶内氧气的质量减少为原来的一半，其压强降为P2，试求此时瓶内氧气的温度T2及使用前后分子热运动平均速率之比v1/v2 分析 比较使用前后气体物态方程可求解温度；利用平均速率的公式比较使用前后分子热运动平均速率变化。 mMm2P2V=RT2 M1解： PV=1 T2= v1v2=RT1,2T1P2P1T1T2= P12P27-19 设容器内盛有质量为m1和质量为m2的两种不同单原子分子理想气体，并处于平衡态，其内能均
16、为E则此两种气体分子的平均速率之比为多少？ 分析 在一容器内温度相同，都为单原子分子则自由度都为3，根据内能公式和平均速率的公式即可求解。 解： E=8RTmMi2RT,RTM=2Eimv=pM，所以：v1:v2=m2m17-20 若氖气分子的有效直径为2.0410秒钟内的平均碰撞次数为多少? 分析 根据碰撞频率公式 Z=这两个量都可由公式直接得到。 -10m,问在温度600K,压强为1mmHg时,氖分子12pdnv可知，需先求得平均速率和分子数密度，而2解： 氖气的摩尔质量为M=2010kg,则平均速率 -3v=1.60RTM=1.60PkT8.316002010=-3=799ms-122-
17、3由P=nkT,n=133.31.3810-23600=1.6110m 代入碰撞频率公式 Z=Z=2p(2.0410-102pdnv 得： 226-1799=2.3810s 2)21.61107-21 电子管的真空度在27C时为1.010-5mmHg,求管内单位体积的分子数及分子的平均自由程.设分子的有效直径d=3.010-10m。 分析 应用物态方程的变形公式P=nkT可得到分子数密度，代入平均自由程公式即可。 解：P=nkT,12pdn2n=PkT=1.010-51.3310-2321.38101300=3.2210m17-3l=2p(3.010-10)2=7.8m 3.21017此结果无意义,因为它已超过真空管的长度限度。 实际平均自由程是真空管的长度。 7-22 如果气体分子的平均直径为3.010-10m,温度为273K.气体分子的平均自由程l=0.20m,问气体在这种情况下的压强是多少? 分析 应用物态方程的变形公式P=nkT与平均自由程公式结合即可得到压强与自由程的关系。 解： 根据平均自由程 l=kT2pdl212pdn1.38102; 把n=pkT代入可得l=kT2pdp2-23所以P= =273-1023.14(3.010)2=4.71100.20-2Pa
