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1、新编基础物理学 第四章习题解答和分析习题四 4-1 观察者A测得与他相对静止的Oxy平面上一个圆的面积是12 cm，另一观察者B相对于A以 0.8 c (c为真空中光速)平行于Oxy平面作匀速直线运动，B测得这一图形为一椭圆，其面积是多少？ 分析：本题考察的是长度收缩效应。 解：由于B相对于A以v=0.8c匀速运动，因此B观测此图形时与v平行方向上的线度将收缩为2R1-(v/c)圆形面积) S=pab=pR1-(v/c)R=pR2222=2b，即是椭圆的短轴. 而与v垂直方向上的线度不变，仍为2R = 2 a，即是椭圆的长轴. 所以测得的面积为(椭1-(v/c)2=7.2cm 24-2 长度为
2、1m的米尺L静止于K中，与x轴的夹角q=30,K系相对K系沿x轴运动，在K系中观察得到的米尺与x轴的夹角为q=45，试求：K系相对K系的速度是多少？K系中测得的米尺的长度？ 分析：本题考察的是长度收缩效应。根据两个参考系下米尺的不同长度再结合长度收缩效应我们可以很方便的得到两个参考系之间的相对速度 解：米尺相对S系静止，它在x和y轴的投影分别为： Lx=L0cosq=0.866mLy=L0sinq=0.5m米尺相对S系沿x方向运动，设运动速度为v，为S系中的观察者，米尺在x方向将产生长度收缩，而y方向的长度不变，即 Lx=Lx1-Ly=Ly vc22故米尺与x轴的夹角满足 tgq=LyLx=L
3、yLx1-v2c2将q与Lx、Ly的值代入可得： v=0.816c 在S系中测得米尺的长度为： L=Lysin45=0.707(m) -84-3 已知x介子在其静止系中的半衰期为1.810s。今有一束p介子以u=0.8c的速度离开加速器，试问，从实验室参考系看来，当p介子衰变一半时飞越了多长的距离？ 分析：本题考察的是时间膨胀效应。根据静止系中的半衰期加上时间膨胀效应我们可以求出在实验室参考系中的半衰期，然后根据该半衰期求出飞行距离。 解：在p介子的静止系中，半衰期Dt0=1.810s是本征时间。由时间膨胀效应，实验室-8参系中的观察者测得的同一过程所经历的时间为： Dt=Dt01-v2=31
4、0(s) c2-8因而飞行距离为： d=vDt=7.2m 4-4 在某惯性系K中，两事件发生在同一地点而时间相隔为4s。已知在另一惯性系K中，该两事件的时间间隔为6s，试问它们的空间间隔是多少？ 分析：本题考察的是时间膨胀效应以及洛伦兹变换。根据时间膨胀效应我们可以求出两参考系的相对速度，继而根据洛伦兹变换演化出空间间隔变换的公式求出该两事件在S系中的空间间隔。 解：在k系中，Dt0=4s为本征时间，在K系中的时间间隔为Dt=6s 两者的关系为： Dt=Dt01-v22=c2Dt01-b2b=59故两惯性系的相对速度为： v=bc=510(m/s) 8由洛伦兹变换，K系中两事件的空间间隔为：
5、Dxk=11-b2(Dxk+vDt0) 两件事在K系中发生在同一地点，因此有Dxk=0，故 Dxk=vDt01-b2=6510(m) 84-5 惯性系K相对另一惯性系K沿x轴作匀速运动，取两坐标原点重合的时刻作为计时起点。在K系中测得两事件的时空坐标分别为x1=610m,t1=210s以及x2=1210m,t2=1104-44-4s，已知在K系中测得该两事件同时发生。试问：K系相对K系的速度是多少？K系中测得的两事件的空间间隔是多少？ 分析：本题所考察的是洛伦兹变换的应用问题。根据洛伦兹变换在不同参考系下两个事件的时间变换关系，我们可以很方便的得到两个参考系之间的相对速度。有了相对速度以后，再
6、根据洛伦兹变换的空间变换关系，我们可以得到两事件的空间间隔。 解：设S系相对S系的速度为v，由洛伦兹变换，S系中测得两事件的时间为： t1=11-v11-v22c2vt-x112cvt-x222ct2=c2由题意， t1-t2=0 t2-t1=vc2(x2-x1) 因此有 v=c2t2-t1x2-x1=-=-1.510(m) s28c其中负号表示S系沿S系的-x方向运动。 由洛伦兹变换，S系中测得的两事件的空间位置为： x1=11-v11-v22(x1-vt1)c2(x2-vt2)x2=c2故空间间隔为： x2-x1=11-v2(x2-x1)-v(t2-t1)=5.2104(m) c24-6
7、火箭A和B分别以0.8c和0.5c的速度相对于地球向+x和-x方向飞行，试求由火箭B测得的A的速度。若火箭A相对地球以0.8c的速度向+y方向运动，火箭B的速度不变，试问A相对B的速度是多少？ 分析：本题考察的是洛伦兹速度变换。在火箭B为静止的参考系中，先求出地面参考系相对此参考系的运动速度，然后由火箭A相对地面的运动速度以及洛伦兹速度变换公式求出火箭A相对火箭B的速度。 解：设火箭B的静止系为S，则地面参考系相对S的运动速度为u=0.5c。在地面参考系中，火箭A的运动速度为v=0.8c，由洛伦兹速度变换公式可得火箭A相对火箭B的运动速度为： v=v+u1+uv/c2=0.8c+0.5c1+0
8、.80.5=1.31.4c=0.93c 由于S系相对地面参考系以u1=-u沿+x方向飞行，而在地面参考系中火箭A的运动速度为vx=0,vy=0.8c,vz=0。则根据洛伦兹速度变换公式在S系中火箭A的运动速度为： vx=vx-u11-u1c2=0.5cvxu12vy1-vy=1-cc22u1=0.7c vx2vz1-vz=1-vu1c22u1=0vx所以火箭A相对火箭B的速度为： v=vx+vy+vz=0.86c 2224-7 静止在K系中的观察者测得一光子沿与x 轴成60角的方向飞行，另一观察者静止于K系中，K系相对K系为0.6c的速度沿x轴方向运动，试问K系中的观察者测得的光子运动方向是怎
9、样的？ 分析：本题考察的是洛伦兹速度变换。根据两个参考系的相对速度以及光子在K系的速度，由洛伦速度变换可以求出光子在S系中的运动速度。 解：已知K系相对K系的速度为u=0.6c，光子速度为c，在K系中的运动方向为与x轴成60角，因此该光子在K系中的速度为vx=0.5c,vy=光子的运动速度为： vx=vx-u1-uc23c/2,vz=0。所以在K系中=-17cvx2vy1-uvy=1-uc2c2=437c vx2vz1-uvz=1-uc2cvx2=0令该光子在K系中的运动方向与X轴成q角，则有： tgq=vyvx=-43 q98.2 4-8 m子的静止质量是电子静止质量的207倍，静止时的平均
10、寿命t0=210s，若它在实验室参考系中的平均寿命t=710s，试问其质量是电子静止质量的多少倍？ 分析：本题考察的是时间膨胀效应和相对论质量问题。根据时间膨胀效应我们可以求出该粒子在实验室参考系中的运动速度，然后根据该速度可以求出速度下的相对论质量。 -8-8解：设m子在实验室参考系中的速度为u、质量为m，依题意有： t=t01-u2c2将t和t0的值代入得： 1-u2c2=t0t=27当m子速度为u时其质量为： m=m01-u2=c272m0=72207me=724.5me 4-9 一物体的速度使其质量增加了10%，试问此物体在运动方向上缩短了百分之多少？ 分析：本题涉及的是相对论质量和长
11、度以收缩问题。根据质量与静止质量之比可以求出该物体的运动速度，然后根据速度可以求出该物体在运动速度方向上的长度收缩。 解：设物体速度为u、质量为m、长度为L，静止质量和长度分别为m0和L0，依题意有： m=m01-u1-u22=1.1m0c2m0m=11.111.1c2=因此，根据长度收缩效应有： L=L01-u2c2=L0=90.9%L0 所以在运动方向上缩短了： DL=9.1%L0 4-10 一电子在电场中从静止开始加速，试问它应通过多大的电位差才能使其质量增加0.4%？此时电子速度是多少？ 分析：此题考察的是相对论质量与速度之间的关系。根据相对论质量公式可以很方便的求出电子的运动速度，再
12、根据能量守恒，求出加速所需的电位差。 解：设电子速度为u、质量为m，静止质量为m0，所加的电位差为U。依题意有： m=m01-u2=1.04m0 c2所以此时电子的速度为： u=0.275c 根据能量守恒，有： m0c+eU=mc 22U=2.04410(V) 44-11 已知一粒子的动能等于其静止能量的n倍，试求该粒子的速率。 分析：该题考察的是相对论的质能关系式。根据粒子的动能和静能比可以求出该粒子总能量和静能之比，这个比值也就是该粒子的质量与静止质量之比，根据相对论质量与速度的关系式，我们可以求出该粒子的速率，从而求出该粒子的动量。 解：依题意有：Ek=nE0 所以其质量与静止质量之比为
13、： mm0=mc22m0c=Ek+E0E0=n+1 根据相对论质量与速度的关系有： m=m01-u2c2所以该粒子的速度为： u=n+2nn+12c 4-12 一静止的粒子，裂变成两个粒子，速度分别为0.6c和0.8c。求裂变过程的静质量亏损和释放出的能量。 分析：该题涉及到质量亏损的概念和动量守恒定律。由于反应后的两个粒子的质量未知，因此我们可以根据两个粒子之间的速度关系推导出二者的质量比，又由于该两个粒子的总动能来源于该反应的静质量亏损，因此结合反应后两个粒子的质量比以及各自的速度大小，我们可以求出该反应的质量亏损，从而求出该反应所释放的能量。 解：设反应后两粒子的质量分别为m1、m2，则
14、根据动量守恒定律有： m10.6c=m20.8c m1/m2=4/3 反应前后总的能量守恒，所以有： m0c=m1c+2212m1(0.6c)+m2c+2212m2(0.8c) 2将式代入式，得： m0=2.17m1 所以反应前后的静质量亏损为： Dm=m0-m1-m20.19m0 释放出的能量为： E=Dmc=0.19m0c 224-13 试求静止质量为m0的质点在恒力F作用下的运动速度和位移。在时间很短和时间很长的两种极限情况下，速度和位移值又各是多少？ 分析：根据力和动量的关系，经过积分后我们可以求解在恒力作用下的力与速度之间的关系，经过再次积分，可以得到位移和力的关系。 解：由于力代表
15、的是动量的变化率，因此有： F=dpdt=ddt(mv)=ddt(m01-v/c22v) 将上式积分，由于力为恒力与时间无关，再代入初始条件可得： Ft=m01-v/c22v 因此可得速度与力之间的关系式： v=dxdt=Ft/m01+(Ft/m0c)2将上式再积分，并假定起始时所处位置为坐标原点，可得位移与力之间的关系： 224m0cm0c22X+-ct=2FF1/222Ftm0cx=1+-1m0cF2当tm0c/F时，有：v=Ft/m01+(Ft/m0c)2=c,4x=vdt=ct 24-14 在原子核聚变中，两个H原子结合而产生He原子。试求：该反应中的质量亏损为多少？在这一反应中释放的
16、能量是多少？这种反应每秒必须发生多少次才能产生1W的功率？已知2H原子的静止质量为3.34365106.642510-27-27kg,He原子的静止质量为4kg。 分析：已知反应前后各种反应物和生成物的质量，我们可以很方便的求出反应前后的质量亏损，并据此求出反应所释放的能量。 解：反应的质量亏损为： Dm=2mH-mHe=23.3436510-27-6.642510-27=0.044810-27(kg) 该反应所释放的能量为： DE=Dmc=0.0448102-2791016=4.0310-12(J) 要达到1W的功率需要每秒钟反应的次数为： n=1/4.0310-12=2.4810 114-
17、15 当一个粒子所具有的动能恰好等于它的静能时，试问这个粒子的速度有多大？当动能为其静能的400倍时，速度有多大？ 分析：粒子的总能量可以用粒子的动质量与光速的平方的乘积来表示，而粒子的静能则等于粒子的静质量与光速的平方的乘积，因上我们可以很方便的把粒子的动能和静能之比用粒子的速度表示出来。 解：根据粒子的质量和速度之间的关系可得： m(v)=m01-v2c2所以粒子的总能与静能之比为： EE0=mm0=11-v2c2又该粒子的总能等于动能与静能之和，所以该粒子的动能与静能之比为： EkE0=E-E0E0=mm0-1=11-v2-1 c2所以当动能等于静能时，有： 11-v2-1=1 c322
18、v=c 当动能等于静能的400倍时，有： 11-v2-1=400 c2v=0.9999969c 4-16同位素3He核由两个质子和一个中子组成，它的静质量为-273.01440u(1u=1.600103以MeV为单位，He的静能为多少？取出一kg)。32个质子使He成为H加一个质子，试问需要多少能量？ 分析：本题涉及的是静能以及质量亏损的概念。粒子的静能由粒子的静质量与光速的平方的乘积表示；而反应前后总能量守恒的要求指明反应进行需要的能量由反应前后的质量亏损所决定。 解：静能为： E0=m0c=3.014401.600102-2791016=4.3410-10(J)=2.7110(Mev) 3
19、当从同位素氦核中取出一个质子时，此时质量亏损为： Dm=mD+mH-mHe=2.0135+1.0073-3.0144=0.0064(u)=1.02410-29(kg) 所以反应需要能量为： E=Dmc=1.024102-2991016=9.21610-13(J) 4-17 把一个静止质量为m0的粒子由静止加速到0.1c所需的功是多少？由速率0.89c加速到0.99c所需的功又是多少？ 分析：此题涉及到的是粒子的总能量与速度之间的关系。根据能量守恒定律，通过计算任一速度下的总能量即可求出从该速度下再增加0.1c的速度所需要做的功。 解：粒子的静能量为： E0=m0c 2速度为0.1c时，该粒子的
20、总能量为： E1=m1c=2m0c221-0.1=1.005m0c 2因此将粒子由静止加速到0.1c所需要做的功为： DE=E1-E0=0.005m0c 2同理粒子在速度为0.89c和0.99c时的总能量分别为： E2=m2c=E3=m3c=22m0cm0c221-0.892=2.193m0c=7.089m0c2221-0.99所以将粒子由0.89c加事到0.99c时所需做的功为 DE=E3-E2=4.896m0c 24-18 两个静止质量都是m0的小球，其中，一个静止，另一个以u=0.8c运动，在它们做对心碰撞后粘在一起，求碰后合成小球的静止质量。 分析：由于碰撞前后，体系的总能量不变，所以可以得出碰后合成小球的动质量与m0的关系；再根据碰撞前后动量守恒，加上已求出的合成小球的动质量，可以求出合成小球的速度；最后根据合成小球的速度和相应的动质量可以求出合成小球的静质量。 解：设碰撞前运动小球的质量为m1，碰撞后合成小球的质量和速度分别为M和u，根据题意，显然有： m1=m01-v=m01-(0.8)2(c)22=53m0 由能量守恒，有： m0c+m1c=Mc 22M=83m0 碰撞前后动量守恒， m1v=Mu 由、和式可得： u=58v=0.5c 所以合成小球的静质量为： M0=M1-u(c)2=83m01-0.5=2433m0
