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1、新编基础物理学 第一章习题解答和分析rrrr1-1.质点运动学方程为：r=acos(wt)i+asin(wt)j+btk,其中a，b，w均为正常数，求质点速度和加速度与时间的关系式。 r分析：由速度、加速度的定义，将运动方程r(t)对时间t求一阶导数和二阶导数，可得到速度和加速度的表达式。 习题一 rrrrr解：v=dr/dt=-awsin(wt)i+awcos(wt)j+bk rrrr2a=dv/dt=-awcos(wt)i+sin(wt)j 1-2. 一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，大小与速度平方成正比，即dv/dt=-Kv， 式中K为常量试证明电艇在
2、关闭发动机后又行驶x距离时的速度为 v=v0e-Kx 。 其中v0是发动机关闭时的速度。 分析：要求v=v(x)可通过积分变量替换a=证： 2dvdv=v，积分即可求得。 dtdxdvdvdxdv=v=-Kv2 dtdxdtdxdv=-Kdx vv1xvdv=-Kdx , ln=-Kx v0v0v0 v=v0e-Kx 1-3一质点在xOy平面内运动，运动函数为x=2t,y=4t2-8。求质点的轨道方程并画出轨道曲线；求t=1 s和t=2 s 时质点的位置、速度和加速度。 分析：将运动方程x和y的两个分量式消去参数t，便可得到质点的轨道方程。写出质点的运rrr动学方程r(t)表达式。对运动学方程
3、求一阶导、二阶导得v(t)和a(t)，把时间代入可得某时刻质点的位置、速度、加速度。 2解：由x=2t,得：t=x,代入y=4t-8 2 可得：y=x-8，即轨道曲线。 画图略 2rrrrrrrr 由v=dr/dt则速度：v=2i+8tj rrrr 由a=dv/dt则加速度：a=8j rrrrrrrr则：当t=1s时，有r=2i-4j,v=2i+8j,a=8j 质点的位置可表示为：r=2ti+(4t2-8)j 22rrrrrrrr当t=2s时，有r=4i+8j,v=2i+16j,a=8j 1-4一质点的运动学方程为x=t，y=(t-1)，x和y均以m为单位，t以s为单位。求质点的轨迹方程；在t
4、=2s时质点的速度和加速度。 分析同1-3. 解：由题意可知：x0，y0，由x=t，可得t=2x,代入y=(t-1)2 整理得：y=x-1，即轨迹方程 1 rr2r2 质点的运动方程可表示为：r=ti+(t-1)j rrrr 则：v=dr/dt=2ti+2(t-1)j rrrr a=dv/dt=2i+2j rrrrrr 因此, 当t=2s时，有v=4i+2j(m/s),a=2i+2j(m/s2) 121-5一质点沿半径为R的圆周运动，运动学方程为s=v0t-bt，其中v0，b都是常量。2求t时刻质点的加速度大小及方向；在何时加速度大小等于b； 到加速度大小等于b时质点沿圆周运行的圈数。 分析：
5、由质点在自然坐标系下的运动学方程s=s(t)，求导可求出质点的运动速率v=ds，因dtdvv2rrr22而，at=，an=，a=att0+ann0，a=at+an，当a=b时，可求出t，代入运动dtr学方程s=s(t)，可求得a=b时质点运动的路程，解：速率：v=dss即为质点运动的圈数。 2pR=-b dtdtrdvrv2rr(v0-bt)2r 加速度：a=t0+n0=-bt0+n0 dtrR 则大小：a=v0-bt，且dva2t+a2n(v0-bt)22=b+ R2 方向：tanq=-(v0-bt)2bRv当a=b时，由可得：t=0 b2v0v012当a=b时，t=，代入s=v0t-bt,
6、可得：s= b22b2v0s= 则运行的圈数 N= 2pR4pbR-21-6一枚从地面发射的火箭以20ms的加速度竖直上升0.5min后，燃料用完，于是像一个自由质点一样运动，略去空气阻力，试求火箭达到的最大高度；它从离开地面到再回到地面所经过的总时间。 2分析：分段求解：0t30s时，a=20ms，求出v、a；t30s时，a=-g。求出v2(t)、x2(t)。当v2=0时，求出t、x，根据题意取舍。再根据x=0，求出总时间。 解：以地面为坐标原点，竖直向上为x轴正方向建立一维坐标系，且在坐标原点时，t=0s，且0.5min=30s tvxdvx2, 得axdt=dvx,ax=20(m/s)，
7、 00dt vx=20t(m/s),t=30(s)时，v1=600(m/s) 30x1dx 由vx=，得vxdt=dx，则：x1=9000(m) 00dt则：当0t30s，由ax= 2 当火箭未落地, 且t30s,又有：t30ax2dt=dvx2,ax2=-9.8(m/s2)， v1vx2 则：vx2=894-9.8t(m/s) 且：t30vx2dt=dx，则：x=-4.9t2+894t-13410(m) x1x当vx2=0，即t=91.2(s)时，由得，xmax27.4km 由式，可知，当x=0时，t166(s)，t16(s)30(s) 1-7. 物体以初速度20ms被抛出，抛射仰角60，略
8、去空气阻力，问物体开始运动后的1.5s末，运动方向与水平方向的夹角是多少？ 2.5s末的夹角又是多少？物体抛出后经过多少时间，运动方向才与水平成45角？这时物体的高度是多少?在物体轨迹最高点处的曲率半径有多大？在物体落地点处，轨迹的曲率半径有多大？ -1rr分析：建立坐标系，写出初速度v0，求出v(t)、tanq，代入t求解。 由中的tanq关系，求出时间t；再根据y方向的运动特征写出y(t)，代入t求y。 物体轨迹最高点处，vy=0，且加速度a=an=v2r=g，求出r。 v2，求出r。 由对称性，落地点与抛射点的曲率相同 an=gcosq=r解：以水平向右为x轴正向，竖直向上为y轴正向建立
9、二维坐标系 rrrrr00初速度v0=20cos60i+20sin60j=10i+103j(m/s)， rr 且加速度a=-9.8j(m/s2), rrr 则任一时刻：v=10i+(103-9.8t)j(m/s) 103-9.8t 10当t=1.5(s)时，tanq=0.262,q=1441 与水平方向夹角有tanq=当t=2.5(s)时，tanq=-0.718,高度y=vyot-q=-3541 此时tanq=1, 由得t=0.75(s) 121gt=1030.75-9.80.752=10.23(m) 22在最高处，rv2rv=10i(m/s),v=10(m/s),an=g， rv2 则：r=
10、10.2(m) g由对称性，落地点的曲率与抛射点的曲率相同。 由图1-7可知： an=acosq=gcosq=g =gvx v10=4.9(m/s2) 20v2400r=82(m) an4.91-8应以多大的水平速度v把一物体从高h处抛出， 才能使它在水平方向的射程为h的n倍？ 3 分析：若水平射程vt=hn，由h=1gt消去t，即得v(h)。 2解：设从抛出到落地需要时间t 则，从水平方向考虑vt=hn，即 从竖直方向考虑h=则有： v=12gt,消去t， 2n2gh 2-1-21-9汽车在半径为400m的圆弧弯道上减速行驶，设在某一时刻，汽车的速率为10ms，切向加速度的大小为0.2ms。
11、求汽车的法向加速度和总加速度的大小和方向。 分析：由某一位置的r、v求出法向加速度an，再根据已知切向加速度at求出a的大小和方向。 102解：法向加速度的大小an=0.25(m/s2), 方向指向圆心 r400总加速度的大小 v2a=a2t+a2n=0.22+0.252=0.32(m/s2) at=0.8,a=3840, an则总加速度与速度夹角q=90+a=12840 如图1-9，tana= r v a a vvaa a vvv g 图1-10 1-10. 质点在重力场中作斜上抛运动，初速度的大小为v0，与水平方向成a角求质点到达抛0nt出点的同一高度时的切向加速度，法向加速度以及该时刻质
12、点所在处轨迹的曲率半径已知法向加速度与轨迹曲率半径之间的关系为an = v 2/r 。 分析：运动过程中，质点的总加速度a= g 。由于无阻力作用，所以回落到抛出点高度时 质点的速度大小v=v0，其方向与水平线夹角也是a。可求出an ，如图1-10。再根据关系an = v 2/r 求解。 解：切向加速度 at=gsina 法向加速度 an=gcosa 2v0v2因 an= r=rangcosav21-11火车从A地由静止开始沿着平直轨道驶向B地，A，B两地相距为S。火车先以加速度a1作匀加速运动，当速度达到v后再匀速行驶一段时间，然后刹车，并以加速度大小为a2作匀减4 速行驶，使之刚好停在B地
13、。求火车行驶的时间。 分析：做v-t图，直线斜率为加速度，直线包围面积为路程S。 解：由题意，做v-t图 则梯形面积为S，下底为经过的时间t， tana=a1,tanb=a2 vt+(t-vcota-vcotb) 2S111则：t=+v(+) v2a1a2则：S= 1-12. 一小球从离地面高为H的A点处自由下落，当它下落了距离h时，与一个斜面发生碰撞，并以原速率水平弹出，问h为多大时，小球弹的最远？ 分析：先求出小球落到A点的小球速度，再由A点下落的距离求出下落时间，根据此时间写出小球弹射距离l,最后由极植条件求出h。 解：如图1-12，当小球到达A点时，有v=2gh 则速度大小：v=2gh
14、, 设从A点落地的时间为t，则有H-h= 则t=212gt， 22(H-h) g1H时，l有最大值。 22小球弹射的距离，l=vt=2(H-h)h=2-h+Hh 则当h= 1-13离水面高为h的岸上有人用绳索拉船靠岸，人以恒定速率v0拉绳子，求当船离岸的距离为s时，船的速度和加速度的大小。 分析：收绳子速度和船速是两个不同的概念。小船速度的方向为水平方向，由沿绳的分量与垂直绳的分量合成，沿绳方向的收绳的速率恒为v0。可以由v0求出船速v和垂直绳的分量v1。再根据an=v12r关系，以及an与a关系求解a。 解：如图1-13，v2=v0 5 船速v=v2secq 当船离岸的距离为s时， v=v0
15、vhs2+h2,v1=v2tanq=0 ss则，an=v12r=v12s+h22=acosq=ass+h22v02h2 即：a= s31-14. A船以30kmh的速度向东航行，B船以45kmh的速度向正北航行，求A船上的人观察到的B船的速度和航向。 分析：关于相对运动，必须明确研究对象和参考系。同时要明确速度是相对哪个参照系而言。画出速度矢量关系图求解。 解：如图1-14，vA=30i(km/h),vB=45j(km/h) B船相对于A船的速度vBA=vB-vA=45j-30i(km/h) 则速度大小：vBA=v方向：q=arctan2B-1-1rrrrrrrrr+v2A=54.1(km/h
16、) vB=56.3，既西偏北56.3 vA-11-15. 一个人骑车以18kmh的速率自东向西行进时，看见雨滴垂直落下，当他的速率增加至36kmh-1时，看见雨滴与他前进的方向成120角下落，求雨滴对地的速度。 分析：相对运动问题，雨对地的速度不变，画速度矢量图由几何关系求解。 6 解：如图1-15，vr为雨对地的速度， vp1,vp2分别为第一次，第二次人对地的速度， rrrrrvr-p1,vr-p2分别为第一次，第二次雨对人的速度 q=120 由三角形全等的知识，可知：a=b=180-120=60 三角形ABC为正三角形，则：vr=vp2=36(km/h)，方向竖直向下偏西30。 1-16
17、如题图116所示，一汽车在雨中以速率v1沿直线行驶，下落雨滴的速度方向偏于竖直方向向车后方q角，速率为v2，若车后有一长方形物体，问车速为多大时，此物体刚好不会被雨水淋湿？ 分析：相对运动问题，画矢量关系图，由几何关系可解。 解：如图1-16，车中物体与车蓬之间的夹角 a=arctanl h若qa，无论车速多大，物体均不会被雨水淋湿 若qa，则图1-16 则有v车=|BC|=|AC|-|AB| =v雨对车sina-v雨sinq=v雨cosqtana-v雨sinq 又v雨=v2 则：v车=v2(lcosq-sinq) h1-17，渔人在河中乘舟逆流航行，经过某桥下时，一只水桶落入水中，0.5h后
18、他才发觉，即回头追赶，在桥下游5.0km处赶上，设渔人顺流及逆流相对水划行速率不变，求水流速率。 分析：设静水中船、水的速率分别为v1,v2(v1v2)，从桶落水开始记时，且船追上桶时为t时 7 刻。取水速的反方向为正方向，则顺水时，船的速率为v=v1+v2，逆水时船的速率为v=v1-v2,做v-t图，见图1-17 解： SABDC=SDEGF即：(v1-v2)-(-v2)0.5=(-v2)-(v1+v2)(t-0.5) 则：t=1.0(h) 又：v2t=5.0 则：水流速率v2=5.0(km/h) 1-18一升降机以2g的加速度从静止开始上升，在2.0s末时有一小钉从顶板下落，若升降机顶板到底板的距离h=2.0m，求钉子从顶板落到底板的时间t, 它与参考系的选取有关吗？ 分析：选地面为参考系，分别列出螺钉与底板的运动方程，当螺丝落到地板上时，两物件的位置坐标相同，由此可求解。 解：如图1-18建立坐标系，y轴的原点取在钉子开始脱落时升降机的底面处，此时，升降机、钉子速度为vo,钉子脱落后对地的运动方程为： y1=h+vot-升降机底面对地的运动方程为： 12gt 21y2=vot+2gt2 2且钉子落到底板时，有y1=y2，即t=0.37(s) t与参考系的选取无关。 8
