《概率论与数理统计》习题及答案第章.docx

《《概率论与数理统计》习题及答案第章.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《概率论与数理统计》习题及答案第章.docx（65页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、概率论与数理统计习题及答案 第章概率论与数理统计习题及答案 第 八 章 1设X1,X2,L,Xn是从总体X中抽出的样本，假设X服从参数为l的指数分布，l未知，给定l00和显著性水平a(0ac，所以(c因 c22%ca(2n)Pc a=Pc222ca(2n)2，从而 ca(2n) 可见H0:ll0的否定域为c2ca(2n). 22 2某种零件的尺寸方差为s=1.21，对一批这类零件检查6件得尺寸数据：32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 21.87, 31.03。设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是32.50毫米. 2 解 问题是在s已知的条件下检验假设H0:

2、m=32.50 H0的否定域为|u|ua/2 其中 u=u0.025=1.96X-32.50sn=29.46-32.501.12.45=-6.77 ，因|u|=6.771.96，所以否定H0，即不能认为平均尺寸是32.5毫米。 3设某产品的指标服从正态分布，它的标准差为s=100，今抽了一个容量为26的样本，计算平均值1580，问在显著性水平a=0.05下，能否认为这批产品的指标的期望值m不低于1600。 1102 解 问题是在s已知的条件下检验假设H0:m1600 H0的否定域为u-1.64=-u0.05，所以接受H0，即可以认为这批产品的指标的期望值m不低于1600. 4一种元件，要求其使

3、用寿命不低于1000小时，现在从这批元件中任取25件，测得其寿命平均值为950小时，已知该元件寿命服从标准差为s=100小时的正态分布，问这批元件是否合格？ 2)问题是检验假设 解 设元件寿命为X，则XN(m,100，H0:m1000. H0的否定域为u-u0.05，其中 s25=950-10001005=-2.5 u=X-1000 u0.05=1.64 因为 u=-2.5ta/2(4) X=3.252,S=2145(Xi=1i-5X)=0.00017,2S=0.013 t0.005(4)=4.6041 t=因为 |t|=0.3454.6041=t0.005(4) 所以接受H0，即可以认为这批

4、矿砂的镍含量为3.25. 6糖厂用自动打包机打包，每包标准重量为100公斤，每天开工后要检验111 X-3.25S5=3.252-3.250.0132.24=0.345 一次打包机工作是否正常，某日开工后测得9包重量如下： ,090 9.5 99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,9.91.,71问该日打包机工作是否正常？ 解 X=99.9，8S=2189(Xi=1i-X)=1.47，S=1.21， 2 问题是检验假设H0:m=100 H0的否定域为|t|ta/2(8). 其中 t=X-100S9=99.98-1001.213=-0.05 t0.025(8)=2.306 因为 |

5、t|=0.052.306=t0.025(8) 所以接受H0，即该日打包机工作正常. 7按照规定，每100克罐头番茄汁中，维生素C的含量不得少于21毫克，现从某厂生产的一批罐头中抽取17个，测得维生素C的含量如下 22,21,20,23,21,19,15,13,16, 23,17,20,29,18,22,16,25. 已知维生素C的含量服从正态分布，试检验这批罐头的维生素含量是否合格。(a=0.025) 解 设X为维生素C的含量，则XN(m,s)，X=20,S=419.625，S=20.485，n=17. 问题是检验假设H022:m21. H0:m21. 选择统计量t并计算其值： t=X-21S

6、n=20-2120.48517=-0.20 对于给定的a=0.025查t分布表求出临界值ta(n)=t0.025(16)=2.2. 因为-t0.025(16)=-2.20-0.20=t。所以接受H0，即认为维生素含量合格. 8某种合金弦的抗拉强度XN(m,s)，由过去的经验知m10560，今用新工艺生产了一批弦线，随机取10根作抗拉试验，测得数据如下： 1122 10512，10623，10668，10554，10776， 10707，10557，10581，10666，10670. 问这批弦线的抗拉强度是否提高了？ 2 解 X=10631，.4S=6558.89，S=80.99，n=10.

7、问题是检验假设H0:m10560 H0:m10560. 选统计量并计算其值. t=X-10560Sn=10631.4-1056080.9910 =2.772 对于a=0.05，查t分布表，得临界值ta(9)=t0.05(9)=1.833. 因t0.05(9)=1.8332.772=t，故否定H0即认为抗拉强度提高了。 9从一批轴料中取15件测量其椭圆度，计算得S=0.025，问该批轴料椭2圆度的总体方差与规定的s=0.0004有无显著差别？。 ,= 解 S=0.025S20.000n6=5,，问题是检验假设15H0:s2=0.0004. H0:s2=s220=0.0004. 选统计量c并计算其

8、值 c2=(n-1)S2s20=140.000650.00042=22.75 对于给定的a=0.05，查c分布表得临界值 2222 ca/2(14)=c0.025(14)=26.119,c1-a/2(14)=c0.975(14)=5.629. 2 因为c0.975=5.62922.75=c2c0.025=26.119所以接受H20，即总体方差与规定的s2=0.0004无显著差异。 10从一批保险丝中抽取10根试验其熔化时间，结果为 42，65，75，78，71，59，57，68，54，55. 问是否可以认为这批保险丝熔化时间的方差不大于80？. 解 X=62.4，S=121.82, H0:s2

9、2n=10, 问题是检验假设H0:s280. 80=s220； 选统计量c并计算其值 113 2 c2=(n-1)Ss20=9121.82802=13.705 对于给定的a=0.05，查c分布表得临界值 22 ca(n-1)=c0.05(9)=16.919. 因c80。 2=13.70516.919=c0.052，故接受H0，即可以认为方差不大于 11对两种羊毛织品进行强度试验，所得结果如下 第一种 138，127，134，125； 第二种 134，137，135，140，130，134. 问是否一种羊毛较另一种好？设两种羊毛织品的强度都服从方差相同的正态分布。(a=0.05) 解 设第一、二

10、种织品的强度分别为X和Y，则XN(m1,sYN(m2,s22) ,) S1=36.667,S2=35.2,22 X=131, Y=135,n1=4 n2=6 问题是检验假设H0:m1=m2 H0:m1=m2 选统计量T并计算其值. T=X-Y(n1-1)S1+(n2-1)S2n1+n2-222n1n2n1+n2=131-135336.667+535.24+6-2464+6 =-1.29 5 对于给定的a=0.05，查t分布表得临界值ta/2(n1+n2-2) =t0.025(8)=2.3069. 因为|t|=1.295-2.5524=-t0.01(18)故接受H0，即新品种高于旧品种. 13两

11、台机床加工同一种零件，分别取6个和9个零件，量其长度得S1=0.345,S2=0.357，假定零件长度服从正态分布，问可否认为两台机床加22工的零件长度的方差无显著差异？(a=0.05) 解 S1=0.345, S2=0.357,问题是检验假设 22 H0:s1=s2 2n1=6, n2=9 2 选统计量F并计算其值 F=S122S2=0.3450.357=0.9664 对给定的a=0.05查F分布表得临界值Fa/2(5,8)=F0.025(5,8)=4.65，F0.975(5,8)=16.76.975=0.1479. 0.14790.=9F664=F40.60525 因 F0(5,8=)(H

12、50,，8即)故接受无显著差异. 13甲、乙两台机床加工同样产品，从它们加工的产品中各抽取若干，测得直径为 甲：20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.0, 19.0, 19.9; 115 乙：19.7, 20.8, 20.5, 19.8, 19.4, 20.6, 19.2. 问甲、乙两台机床加工的精度有无显著差异？ 2 解 设甲加工的直径为X，乙为Y. XN(m1,s1)，YN(m2,s2). 2 X=19.925，S1=0.2164，n1=8 27n2=7 Y=20， S2=0.396，2问题是检验假设 22 H0:s1=s2 选统计量F并计算其值 F=S1S2=

13、0.21640.3967=0.5455. 对于给定的a=0.05，查F分布表得临界值Fa/2(7,6)=F0.025(7,6)=5.70，F0.975(7,6)=15.12=0.1953 因F0.975(7,6)=0.19530.5455=FF0.025(7,6)=5.70，故接受H0，即精度无显著差异. 14一颗骰子掷了120次，得下列结果： 点 数 出现次数 1 23 2 26 3 21 4 20 5 15 6 15 问骰子是否匀称？ 解 用X表示掷一次骰子出现的点数，其可能值为1，2，3，4，5，6。问题是检验假设 H0:npi0=202pi=P(X=1)i=6,i=1,L2,6.k=6

14、，pi0= 这里16,n=120, ，Ai=i故 k c=i=1(ni-npi0)npi026=i=1(ni-20)202=9620=4.8 22222查c分布表，得临界值ca(k-1)=c0.05(5)=11.071因为c=4.81.071=c0.05 116故接受H0，即骰子匀称。 15从一批滚珠中随机抽取50个，测得它们的直径为 15.0 15.6 14.5 15.1 15.0 15.1 14.6 是否可以认为这批钢珠的直径服从正态分布？ 解 数据中最小的为14.2，最大者为15.9，设a=14.05,b=16.15，欲把a,b分成七个区间，则区间长度为15.8 15.3 14.2 14

15、.9 14.9 15.0 14.2 15.2 15.1 14.9 14.2 14.8 15.3 15.1 15.3 14.9 14.6 14.5 14.7 15.9 15.0 15.2 15.8 15.1 14.5 14.7 15.6 15.0 15.2 15.5 15.5 14.8 15.7 15.3 15.9 15.5 15.0 15.5 14.8 15.6 15.2 15.1 14.7 16.15-14.057=0.3得15.85.分点y1=14.35y,2=14y.63=5,144,5y,5=y=.1955.215y.56=5,它们把实数轴分成七个不相交的区间，样本值分成了七组： i

16、yi-1yi ni1 2 3 4 5 6 7 -14.35 14.3514.65 14.6514.95 14.9515.25 15.2515.55 15.5515.85 15.85+ 3 5 10 16 8 6 2 设钢珠的直径为X，其分布函数为F(x)，我们的问题是检验假设：H0x-m:F(x)=F. 其中m,s2s未知. =X=15.1，的极大似然估计为m 在H0成立之下，m和ss22=1nni=1(Xi=0.43. -X)=0.1849，s2 在上面的表中第1组和第7组的频数过小，把它们并入相邻的组内，即分成117 5组，分点为t1=14.65，t2=14.95，t3=15.25，t4=

17、15.55. 14.6-5 p1=F(1t)=F(0.4315.1)=1-F(1.04=)0 .149214.95-15.1 p2=F(t2)-F(t1)=F-0.1492 0.43 =1-F(0.35)-0.1492=0.214 15.25-15.1 p3=F(t3)-F(t2)=F-0.3632 0.43 =F(0.35)-0.3632=0.2736 15.55-15.1 p4=F(t4)-F(t3)=F- 0.43 =F(1.04)-0.6368=0.218 15.5-5 p5=1-F(4t)=1-F(0.4315.1)=0.1 452统计量 5 c2=i=1(ni-npi)npi2c(

18、2) 2的值计算如下表： i nipi npi ni-npi (ni-npi) 2(ni-npi)/npi 21 2 3 4 5 S 8 10 16 8 8 50 20.1492 0.2140 0.2736 0.2180 0.1452 1 7.46 10.7 13.68 10.9 7.26 50 0.54 0.7 2.32 2.9 0.74 0 20.2916 0.49 5.3824 8.41 0.5476 15.1216 0.03909 0.04579 0.39345 0.77156 0.07543 1.24997 即c=1.24997，对于a=0.05查c2222分布表得临界值ca(2)=

19、c0.05(2)=5.991. 因c=1.249977.815=c20.05(3) 所以不接受H0，即不能相信XU0,2. 119 习 题 九 1一批由同样原料织成的布，用五种不同的染整工艺处理，然后进行缩水试验，设每种工艺处理4块布样，测得缩水率的结果如下表 布样号 1 2 3 4 缩 水 率 A1 A2 A3 A4 A5 4.3 7.8 3.2 6.5 6.1 7.3 4.2 4.1 6.5 8.3 8.6 8.2 9.3 8.7 7.2 10.1 9.5 8.8 11.4 7.8 n=2，查附表0问不同的工艺对布的缩水率是否有显著的影响(a=0.01) =n2=n=n4=n=4, 解 m

20、=5,n1355得 F0.01(m-1,n-m)=F0.01(4,15)=4.89. m 序号 1 2 3 4 niA1 A2 A3 A4 A5 i=1P=120(147.9)24.3 7.8 3.2 6.5 ij6.1 7.3 4.2 4.1 21.7 470.89 112.24 6.5 8.3 8.6 8.2 31.6 998.56 252.34 9.3 8.7 7.2 10.1 35.3 1246.09 316.03 9.5 8.8 11.4 7.8 37.5 1406.25 358.49 =1093.72 Q=1149.25 R=1170.92 147.9 4597.03 1149.2

21、5 Se=R-Qj=1X221.8 niXj=1ij475.24 2 =21.67 SA=Q-P n1Xijnij=1131.82 =55.53 S=R-P nij=1X2ij131.82 112.24 252.34 316.03 358.49 1170.92 =77.2 方差分析表 方差来源 120平方和 自由度 均方 F值 工 艺 误 差 总 和 55.53 21.67 77.20 4 15 19 13.8825 9.6095* 1.4447 因为9.60954.89，所以工艺对缩水率有显著影响. 2灯泡厂用4种不同配料方案制成的灯丝生产了四批灯泡，今从中分别抽样进行使用寿命的试验，得到下

22、表的结果，问这几种配料方案对使用寿命有无显著影响？ 试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 寿 命 A1 A2 A3 A4 1600 1610 1650 1680 1700 1720 1800 1850 1640 1640 1700 1750 53n,=1460 1550 1600 1620 1640 1660 1740 1820 8n,=41510 1520 1530 1570 1600 1680 n6=,查，265得附表n= 解 m=4,1n=7,2F0.01(m-1,n-m)=F0.01(3,22)=4.824 为简化计算从上表的试验结果中都减去1600再除以10得下表 寿命 A3 A1

23、 A2 A4 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 niS i=10 1 5 8 10 12 20 56 225 4 4 10 15 58 3364 14 5 0 2 4 6 14 22 29 841 9 8 7 3 0 8 19 361 124 SXj=1ij niXjS=1ij3136 121 21niXjS=1ninij 448 672.8 105.125 60.167 1286.092 j=1X2ij1262734 (124)=982 957 264 2937 P=591.，38Q5=1286.092，R=2937 11001100Se=16.509 =6.947 SA0Se= Se=

24、R-Q=1650.9，=Q-P=694.707SA= SA， 方差分析表 方差来源 配 料 误 差 总 和 平方和 6.947 16.509 23.456 自由度 3 22 25 均方 2.313 0.727 F值 3.18 因为F=3.184.82=F0.01(3,22)，故不显著. 3在单因素试验方差分析模型式中，mi是未知参数(i=1,2,L,m)，求mi的点估计和区间估计. 2i=Xi,i=1,2,L,m. 解 因为XiN(mi,s)，所以mi的点估计为m 由定理9.1知Se/sSi=22c(n-m)2，再由定理6.1知Xi与i222与S1,S2,L,Sm独1nini-1(Xmij-X

25、i)相互独立，又由Xij独立，知X22j=1立，从而Se=i=1(ni-1)Si与Xi独立，又 (Xi-mi)nisN(0,1) 由t分布的定义知 (Xi-mi)Senit(n-m) 其中 Se=Se/(n-m) 对于给定的a，查t分布表求出临界值ta/2(n-m)，使 122X Pi-miSenita/2(n-m)=1-a 在上式括号内将mi暴露出来得mi在置信度1-a下的置信区间 Xi-ta/2(n-m)Seni,Xi+ta/2(n-m)2Se. ni 4在单因素试验方差分析模型式中，s是未知参数，试证s2=Sen-m是s的无偏估计，且s的1-a下的置信区间为 Se,2c(n-m)a/2.

26、 2c1-a/2(n-m)Se22 证：因为Se/s2c(n-m)22，所以E(Se/s)=n-m，即 2ESe=(n-m)s于是 Se1E=ESe=sn-mn-m2故 Sen-m是s的无偏估计； 22 因为Se/sc(n-m) 2222 所以对于给定的a，查c分布表求出临界值ca/2(n-m)和c1-a/2(n-m)使得 P(c1-a2(n-m)/2Ses2ca/2(n-m)=1-a 2式中将s暴露出来得 SeP2sca/2(n-m)2220，而A0,C0所以(a$,b$能使Q(a,b)达到最小值. 而Q(a,b)存在最小值，故a 6利用定理9.2证明，在假设H0:b=0成立的条件下，统计量

27、 t=$bSLxxt(n-2) 并利用它检验9.2中例1所得的回归方程的显著性(a=0.01) 2$-bbs$ 证：因为bN(b,) 所以sLxxLxxN(0,1) 在H0:b=0成立的条件下又 $bsLxxN(0,1) (n-2)S2s2c(n-2) 2由t分布的定义知 $bt=$bSLxx=s(n-2)SLxx2t(n-2). 证毕 /(n-2)s2 今利用t统计量检验回归方程的显著性. t=$bSLxx=27.156118.7346.056=6.133 对于给定的a=0.01查t分布表得临界值t0.01(10)=2.7638. 因为t=6.1332.738=t0.01(10)，所以回归方

28、程显著. 7利用定理9.2证明回归系数b的置信区间为 124$-tb(n-2)a/2SLxx,$+tb(n-2)a/2SLxx 并利用这个公式求9.2中例1的回归系数b的置信区间. 解 由定理9.2知 t=$-bbSLxxt(n-2) 对于给定的a，查t分布表求出临界值ta/2(n-2)，使 P-ta/2(n-2)$-bbSLxxta/2(n-2)=1-a 在上式的大括号内，将b暴露出来得 $-tPb(n-2)a/2SLxx$+tb1 所以回归方程高度显著. 由第7题知，b的置信度为1-a下的置信区间为 $-tb(n-2)a/2SLxx,$+tb(n-2)a/2SLxx 16=.6F02.01

29、 (1,5),2$L) $=12.55,n=7,a=0.05,t此处b(5)=2.5706, S=(Lyy-bxy0.025 126/(n-2)=0.166. 所以b的置信度为0.95下的置信区间为 n=7,x=0.53,Lxx=0.531,s=0.407,t0.025(5)=2.5706, x0=0.50. d(x0)=ta/2(n-1)S1+1n+(x0-x)Lxx22 =2.57060.4071+17+(0.5-0.543)0.531=1.12 $y0=13.95+12.550.5=20.225 故y在x=0.50处的置信度为0.95的置信区间为 ($y0-d(0.5),$y0+d(0.5)=(19.