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1、概率论与数理统计习题及答案 第一章概率论与数理统计习题及答案 第 一 章 1写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： 掷一颗骰子，记录出现的点数. A=出现奇数点； 将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A=两次点数之和为10，B=第一次的点数，比第二次的点数大2； 一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A=球的最小号码为1； 将a,b两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A=甲盒中至少有一球； 记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A=通过汽车不足5台，B=通过的汽车不少于3台。 解 S=e1,e2,e3,e4
2、,e5,e6其中ei=出现i点i=1,2,L,6， A=e1,e3,e5。 S=(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6) (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)； A=(4,6),(5,5),(6,4)； B=(3,1),(4,2),(5,3),(6
3、,4)。 S=(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5) A=(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5) S=(ab,-,-),(-,ab,-),(-,-,ab),(a,b,-),(a,-,b),(b,a,-), (b,-,a),(-,a,b,),(-,b,a)，其中-表示空盒； A=(ab,-,-),(a,b,-),(a,-,b),(b,a,-),(b,-,a)。 S=0,1,2,L,A=0,1,2,3,4,B=3,4,L。
4、2设A,B,C是随机试验E的三个事件，试用A,B,C表示下列事件： 1 仅A发生； A,B,C中至少有两个发生； A,B,C中不多于两个发生； A,B,C中恰有两个发生； A,B,C中至多有一个发生。 解 ABC ABUACUBC或ABCUABCUABCUABC； AUBUC或ABCUABCUABCUABCUABCUABCUABC； ABCUABCUABC； ABUACUBC或ABCUABCUABCUABC； 3一个工人生产了三件产品，以Ai(i=1,2,3)表示第i件产品是正品，试用Ai表示下列事件：没有一件产品是次品；至少有一件产品是次品；恰有一件产品是次品；至少有两件产品不是次品。 解
5、A1A2A3；A1UA2UA3；A1A2A3UA1A2A3UA1A2A3；A1A2UA1A3UA2A3。 4在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。 解 设A=任取一电话号码后四个数字全不相同，则 P(A)=P101044=126250=0.504 5一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求 5只全是好的的概率； 5只中有两只坏的的概率。 解 设A=5只全是好的，则 P(A)=C37C40355B0.662； 设B=5只中有两只坏的，则 P(B)=C3C37C5402B0.0354. 6袋中有编号为1到10的10个球，今从袋中任取3个球，求 3个球的最小号码为
6、5的概率； 3个球的最大号码为5的概率. 解 设A=最小号码为5，则 22 P(A)=C5C310=112； 设B=最大号码为5，则 P(B)=C4C2310=120. 7教室里有r个学生，求他们的生日都不相同的概率； 房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率. 解 设A=他们的生日都不相同，则 P(A)=P3653651rr； 设B=至少有两个人的生日在同一个月，则 P(B)=或 P(B)=1-P(B)=1-P121244C4C12P11+C4C12+C4P12+C121242222321=4196； =4196. 8设一个人的生日在星期几是等可能的，求6个人的生日都集中在一个星期
7、中的某两天，但不是都在同一天的概率. 解 设A=生日集中在一星期中的某两天，但不在同一天，则 P(A)=C7(2-2)7626=0.01107. 9将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE的概率是多少？ 解1 设A=恰好排成SCIENCE 将7个字母排成一列的一种排法看作基本事件，所有的排法： 字母C在7个位置中占两个位置，共有C7种占法，字母E在余下的5个位置中占两个位置，共有C5种占法，字母I,N,C剩下的3个位置上全排列的方法共3！种，故基本事件总数为C7C53!=1260，而A中的基本事件只有一个，故 P(A)=1CC3!27252222
8、=11260； 解2 七个字母中有两个E，两个C，把七个字母排成一排，称为不尽相异元素的全排列。一般地，设有n个元素，其中第一种元素有n1个，第二种元素3 有n2个，第k种元素有nk个(n1+n2+L+nk=n)，将这n个元素排成一排称为不尽相异元素的全排列。不同的排列总数为 n!n1!n2!Lnk!， 对于本题有 P(A)=17!2!2!=47!=11260. 10从0,1,2,L,9等10个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率：A1=三个数字中不含0和5，A2=三个数字中不含0或5，A3=三个数字中含0但不含5. 解 P(A1)= P(A2)=或 P(A2)=1-P(A2)=
9、1- P(A3)=C8C2C8C33103=715C933. -C83C93C10+C10C103=1415， C8C1310=1415， 310=730. 11将n双大小各不相同的鞋子随机地分成n堆，每堆两只，求事件A=每堆各成一双的概率. 解 n双鞋子随机地分成n堆属分组问题，不同的分法共每堆各成一双共有n!种情况，故 P(A)=2n!(2n)!n(2n)!2!2!L2!=(2n)!(2!)n 12设事件A与B互不相容，P(A)=0.4,P(B)=0.3，求P(AB)与P(AUB) 解 P(AB)=1-P(UAB)=1-P(A-)P(B=) 0.3 因为A,B不相容，所以AB，于是 P(A
10、UB)=P(A)=0.6 13若P(AB)=P(AB)且P(A)=P，求P(B). 4 解 P(AB)=1-P(UA由P(AB)=P(AB)得 B)=1-P(A-)P(B+)P (AB) P(B)=1-P(A)=1-p 14设事件A,B及AUB的概率分别为p,q,r，求P(AB)及P(AUB) 解 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AUB)=p+q-r P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+1-P(B)-P(A)+P(AB) =1-q+p+q-r=1+p-r. 15设P(A)+P(B)=0.7，且A,B仅发生一个的概率为0.5，求A,B都发生的概率。 解1 由题意有 0.5
11、=P(AB+AB)=P(AB)+P(AB) =P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB) =0.7-2P(AB)， 所以 P(AB)=0.1. 解2 A,B仅发生一个可表示为AUB-AB，故 0.5=P(AUB)-P(AB)=P(A)+P(B)-2P(AB), 所以 P(AB)=0.1. 16设P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,P(B-A)=0.2，求P(AB)与P(AB). A-B)=P(A-)P(AB=) 解 0.3=P(0-.7P，A( B所以 P(AB)=0.4， 故 P(AB)=0.6； 0.2=P(B)-P(AB)=P(B)-0.4. 所以 P(B)=0.6 P(AB)=1-
12、P(AUB)=1-P(A)-P(B)+P(AB)=0.1 17设ABC，试证明P(A)+P(B)-P(C)1 证 因为ABC，所以 P(C)P(AB)=P(A)+P(B)-P(AUB)P(A)+P(B)-1 5 故 P(A)+P(B)-P(C)1. 证毕. 18对任意三事件A,B,C，试证 P(AB)+P(AC)-P(BC)P(A). 证 P(AB)+P(AC)-P(BC)P(AB)+P(AC)-P(ABC) =P(ABUAC)=PA(BUC)P(A). 证毕. 19设A,B,C是三个事件，且P(A)=P(B)=P(C)=P(AC)=1814,P(AB)=P(BC)=0，求A,B,C至少有一个
13、发生的概率。 P(A)+P(B+)P(-C)P(A-)B(P-A)C(P+B)C 解 P(AUBUC)=因为 0P(ABC) P(AUBUC)=34 (PABCP(AB)=，所以0P(ABC)=0，于是 -18=582 20随机地向半圆0y2ax-x内掷一点，点落在园内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与x轴的夹角小于p/4的概率. 解：半圆域如图 y 设A=原点与该点连线与x轴夹角小于p/4 x 由几何概率的定义 1A的面积2=+ P(A)= =4 p/412p半园的面积2x paa 02y 21把长为a的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. pa+21a211 解
14、1 设A=三段可构成三角形，又三段的长分别为x,y,a-x-y，则0xa,0ya,0x+ya，不等式构成平面域S. a A发生0xA a2,0ya2,a2x+ya S a/2 不等式确定S的子域A，所以 a /2 a P(A)=0 A的面积S的面积=14 解2 设三段长分别为x,y,z，则0xa,0ya,0zz x+zy y+zx A y 不等式确定S的子域A，所以 =. P(A)=S的面积4x A的面积1 22随机地取两个正数x和y，这两个数中的每一个都不超过1，试求x与y之和不超过1，积不小于0.09的概率. 解 0x1,0y，不等式确定平面域1S. y A=x+y1,xy0.09则A发生
15、的 1 充要条件为0x+y1,1xy0.09不 S A 等式确定了S的子域A，故 =(1-x-)dx P(A)=0.1S的面积xy 00.1 0.9 1 =0.4-0.18ln3=0.2 A的面积0.90.9 23在平面上画出等距离a(a0)的一些平行线，向平面上随机地投掷一根长l(la)的针，求针与任一平行线相交的概率. 解 设A=针与某平行线相交，针落在平面上的情况不外乎图中的几种， 设x为针的中点到最近的一条平行线的距离。 a j为针与平行线的夹角，则 a 0xa2,0jp，不等式确定了平面上 x 的一个区域S. L 2 A发生xsinj，不等式确定S的子域A l 2x=sinjaS 2 故 P(A)=a0p j p2A 1p0L2sinjdj=2Lap7
