《概率论与数理统计》课后习题答案chapte.docx

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1、概率论与数理统计课后习题答案chapte 1 习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件A,B,C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件A,B,C中的样本点。 解：W=(正，正)， A=(正，正)，；B=， C=(正，正)， 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件A,B,C,D分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件AB,A+B,AC,BC,A-B-C-D中的样本点。 解：W=(1,1),(1,2),L,(1,6),(2,1),(2,2),L,(2,6),L,(6,1

2、),(6,2),L,(6,6)； AB=(1,1),(1,3),(2,2),(3,1)； A+B=(1,1),(1,3),(1,5),L,(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1)； AC=F；BC=(1,1),(2,2)； A-B-C-D=(1,5),(2,4),(2,6),(4,2),(4,6),(5,1),(6,2),(6,4) 3. 以A,B,C分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用A,B,C表示以下事件： 只订阅日报； 只订日报和晚报； 只订一种报； 正好订两种报； 至少订阅一种报； 不订阅任何报； 至多订阅一种报； 三种报纸都订阅； 三种报纸不全订阅。 解：

3、ABC； ABC； ABC+ABC+ABC; ABC； A+B+C ABC+ABC+ABC； A+B+C； ABC； ABC+ABC+ABC+ABC或AB+AC+BC 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件A1,A2,A3分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：A2, A2+A3, A1A2, A1+A2, A1A2A3, A1A2+A2A3+A1A3. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件A,B,C满足ABCF，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：A+

4、B+C，AB+C，B-AC. 解：如图： 2 AABCABCABCCABCABCABCABCABCWBA+B+C=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC;AB+C=ABC+C;B-AC=ABC+ABC+ABC=BA+ABC=BC+ABC 6. 若事件A,B,C满足A+C=B+C，试问A=B是否成立？举例说明。 解：不一定成立。例如：A=3,4,5，B=3，C=4,5， 那么，A+C=B+C，但AB。 7. 对于事件A,B,C，试问A-(B-C)=(A-B)+C是否成立？举例说明。 解：不一定成立。 例如：A=3,4,5，B=4,5,6，C=6,7， 那么A-(B-C)=3，但是

5、(A-B)+C=3,6,7。 8. 设P(A)=1，P(B)=1，试就以下三种情况分别求P(BA)： 32AB=F， AB， P(AB)=1. 81； 2解： P(BA)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)=P(BA)=P(B-A)=P(B)-P(A)=1； 6113P(BA)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)=-=。 2889. 已知P(A)=P(B)=P(C)=1，P(AC)=P(BC)=1，P(AB)=0求事件416A,B,C全不发生的概率。 3 解：P(ABC)=PA+B+C=1-P(A+B+C) =1-P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC

6、)()111113=1-+-0-+0= 1616444810. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率：A=“三个都是红灯”=“全红”； B=“全绿”； C同”； G=“全黄”； D=“无红”； E=“无绿”； F=“三次颜色相=“颜色全不相同”； H=“颜色不全相同”。 解： 11112228；P(D)=P(E)=； =333273332711113!2P(F)=+=；P(G)=； 2727279333918P(H)=1-P(F)=1-=. 99P(A)=P(B)=P(C)=11. 设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品

7、，从中任意抽取3件，试求： 取出的3件中恰有1件是次品的概率； 取出的3件中至少有1件是次品的概率。 解： 一次拿3件： 211221C98C2C2C98+C2C98P=； =0.0588P=0.0594； 33C100C100每次拿一件，取后放回，拿3次： 29823=0.0576； P=1003每次拿一件，取后不放回，拿3次： P=983=0.0588； P=1-1003298973=0.0588； 1009998989796=0.0594 P=1-100999812. 从0,1,2,L,9中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率： A1=三个数字中不含0与5，A2=三个数字中不含0或

8、5。 4 解： 3C87P(A1)=3=； C10153312C9-C8C81414或 P(A2)=P(A)=1-=23315C10C101513. 从0,1,2,L,9中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的概率。 5P93-4P8241解：P= =490P1014. 一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率： 6人中至少有1人生日在10月份； 6人中恰有4人生日在10月份； 6人中恰有4人生日在同一月份； 解： C64112116=P=1-6=&0.41； P=&0.00061； 61212142CC11=P=1266&0.0073 1215. 从一副扑克牌任取3张，计算取

9、出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。 解： 131213111C4C13+C4C13C39C4C13C13C13P=&0.602或P=1-&0.602 33C52C52 5 习题1.2解答 1. 假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。 解： 令Ai=“取到的是i等品”，i=1,2,3 P(A1A3)=P(A1A3)P(A1)0.62=。 P(A3)P(A3)0.93 2. 设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件产品中有1件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。 解： 令A= “两件中至少有一件不合格”，

10、B= “两件都不合格” P(AB)P(B)P(B|A)=P(A)1-P(A)2C42C102C101-C62=1 53. 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统I和II。两种报警系统单独使用时，系统I和II有效的概率分别0.92和0.93，在系统I失灵的条件下，系统II仍有效的概率为0.85，求 两种报警系统I和II都有效的概率； 系统II失灵而系统I有效的概率； 在系统II失灵的条件下，系统I仍有效的概率。 解：令A= “系统有效” ，B= “系统有效” 则P(A)=0.92,P(B)=0.93,P(B|A)=0.85 P(AB)=P(B-AB)=P(B)-P(AB) =P(B)-P(A)

11、P(B|A)=0.93-(1-0.92)0.85=0.862 P(BA)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=0.92-0.862=0.058 P(A|B)=P(AB)0.058=&0.8286 P(B)1-0.934. 设0P(A)1，证明事件A与B独立的充要条件是 P(B|A)=P(B|A) 证： ：QA与B独立，A与B也独立。 P(B|A)=P(B),P(B|A)=P(B) P(B|A)=P(B|A) ： Q0P(A)10P(A)0，P(B)0，则有 解：QP(AB)=P(AB)= 当A与B独立时，A与B相容； 当A与B不相容时，A与B不独立。 证明：P(A)0,P(B)0 因为A与B

12、独立，所以 P(AB)=P(A)P(B)0，A与B相容。 因为P(AB)=0，而P(A)P(B)0， P(AB)P(A)P(B)，A与B不独立。 7. 已知事件A,B,C相互独立，求证AUB与C也独立。 证明：因为A、B、C相互独立， P(AUB)IC=P(ACUBC) =P(AC)+P(BC)-P(ABC)=P(A)P(C)+P(B)P(C)-P(A)P(B)P(C)=P(A)+P(B)-P(AB)P(C)=P(AUB)P(C)AUB与C独立。 8. 甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为0.7，0.8和0.9，求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概

13、率。 解： 令A1,A2,A3分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾， 那么P(A1)=0.7,P(A2)=0.8,P(A3)=0.9 令B表示最多有一台机床需要工人照顾， 7 那么P(B)=P(A1A2A3+A1A2A3+A1A2A3+A1A2A3) =P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3) =0.70.80.9+0.30.80.9+0.70.20.8+0.70.80.1 =0.9029. 如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为p(0p0，求常k!解：Qck!ek=1lk-l=1，而k=0lkk!e-l=1 l0-le=1，即c=(1-e-l)-1

14、c1-0! 3. 设一次试验成功的概率为p(0p1). k=N+120C100k100(0.01)(0.99)k100-k1ke-10.01 k!k=N+1100=0)=1，求 21,l=ln2 0!2P(X1)=1-P(X1)=1-P(X=0)+P(X=1) 111 =1-+ln2=(1-ln2) 222解：QP(X=0)=l0e-l=8. 设书籍上每页的印刷错误的个数X服从Poisson(泊松)分布。经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率。 解：QP(X=1)=P(X=2)，即l11!e-l=l22!e-l,l=2 =e

15、P P=(e)=e 9. 在长度为的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数服从参数为的Poisson分布，而与时间间隔的起点无关，求 某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率； 某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率； t9. 在长度为t的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数X服从参数为2的Poisson(泊松)分布，而与时间间隔的起点无关. 求 某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率； 某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率； -24-8-2 13 解： 3t=3,l=25t=5,l=2P(X=0)=e P(X1)=1-P(X=0)=1-e

16、 -52-3210. 已知X的概率分布为： X -2 2a -1 1100 3a 1 a 2 a 3 2a P 试求a； Y=X2-1的概率分布。 解： 1+3a+a+a+2a=1 101 a=。 10Q2a+ Y P -1 0 3 8 3131 55101011. 设连续型随机变量X的概率密度曲线如图1.3.8所示. f (x) 0.5 t o 2 3 x 1 图1.3.8 试求:t的值； X的概率密度； P(-2X2). 解： 11(-t)0.5+0.53=1 22 t=-1 Q 14 11x+,x-1,0)2211f(x)=-x+,x0,3) 62，其它002111111Px11x25；

17、 1x15x2. 1,1x5解：X的概率密度为f(x)=4 其他0,x211P(x1Xx2)=dx=(x2-1) 441P(x1Xx2)=11dx=(5-x1) 44x15=1的指数分布。某顾客等5待服务，若超过10分钟，他就离开。他一个月要去等待服务5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开的次数，试求Y的概率分布和P(Y1). 17. 设顾客排队等待服务的时间X服从l解： P(X10)=1-P(X10)=1-1-e P(Y1)=1-(1-e)0.5167 -251-105=e-2 P(Y=k)=C5k(e-2)k(1-e-2)5-k,k=0,1,2,3,4,5 16 习题1.4解答 1. 已

18、知随机变量X的概率分布为P(X=1)=0.2，P(X=2)=0.3，P(X=3)=0.5，试求X的分布函数；P(0.5X2)；画出F(x)的曲线。 解： 00.2F(x)=0.51F(x)曲线： ,x1； ,1x2,2x3,x3P(0.5X2)=0.5 F(x)10.50.20x1232. 设连续型随机变量X的分布函数为 x-10,0.4,-1x1 F(x)=0.8,1x3x31,试求:X的概率分布； P(X2|X1). 解： X P -1 1 3 0.4 0.4 0.2 P(X=-1)2= P(X1)3 P(X2|X1)= 3. 从家到学校的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的概率是

19、相互独立的，且概率均是0.4，设X为途中遇到红灯的次数，试求X的概率分布； X的分布函数。 解： P(X=k)=C3 列成表格 k25k353-k,k=0,1,2,3 17 X p 0 1 2 3 2754368 125125125125,x00x11x2 2x3x302712581 F(x)=1251171251解： 4. 试求习题1.3中第11题X的分布函数，并画出F(x)的曲线。 01211x+x+24F(x)=4111-x2+x+24121F(x)x-1-1x00x0x0试求:A,B的值； P(-1X1)； 概率密度函数f(x). )=1A=1 又Qlim+(A+Bex0)=F(0)=

20、0B=-A=-1 18 -2P(-1X0f(x)=F(x)= ,x00 6. 设X为连续型随机变量，其分布函数为 a,xe.试确定F(x)中的a,b,c,d的值。 解： QF(-)=0a=1 又QF(+)=1d=1 又Qlim-(bxlnx+cx+1)=a=0x1c=-1 be-e+1=1 即b=1 a，试确定a的值并求F(x)2p(1+x) 又Qlim-(bxlnx-x+1)=d=1xe 7. 设随机变量X的概率密度函数为f(x)=和P(X1). 解：Q即 adx=1 2p(1+x)-+aparctanx|+-=1a=1 a11dt=+arctanx,-x+ 22p-p(1+t)P(|X|t

21、)=P(N(t)=0)=e F(t)=P(Xt)=1-P(Xt)=1-e 当t0时，F(t)=0 -0.1t-0.1t1-e-0.1x F(x)=0x0 x0 19 X服从指数分布 F(3)=1-e0.26 F(5)-F(3)0.13 9. 设XN(-1,16)，试计算P(X-1.5)；P(X1). 解： -0.132.44-(-1)3.44)=F=&0.8051 44P(X-1.5)=1-P(X-1.5) -1.5+11 =1-F=1-F(-)=&0.5498 484+1-4+15-3P(|X|1)=P(X2)=P(X2) 0+12+113 =F+1-F=F+1-F=&0.8253 4444P(X0时，fY(y)=c(b-a) 0,其他1,cb+dyca+d-当c0时，fY(y)=c(b-a) 0,其他