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1、现代控制理论刘豹著课后习题答案第一章习题答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 U(s)+-K1Kps+K1+-Kps+K1s+-1J1sKbJ2s2q(s)Kns图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下： Kp+U(s)K1Kp+-K1Kp-x6+-K1x5+-1J1x4x3KbJ2x2x1q(s)Kn图1-30双输入-双输出系统模拟结构图系统的状态方程如下： x1=x2x2=Kbx3J2KpJ1x3-KpKn1x4+x5+x6J1J1J1x3=-x4=x3x5=-K1x3+K1X6x6=-K1KKx1-1x6+1uKpKpKp令q(s)=y，则y=x
2、1 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 1xx2x3=x4x5-x600000K1Kp10Kb0J2Kp0-J10100-K1000-KnJ1000001J000000x10xKp20xJ13+0ux400xK15K1K1x6Kp -Kpx1x2xy=1000003x4x5x61-2有电路如图1-28所示。以电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R2上的电压作为输出量的输出方程。 R1L1L2i1CUi2-Uc-R2图1-28 电路图解：由图，令i1=x1,i2=x2,uc=x3，输出量y=R2x2 x1=-R1x1+L1x1+x3=uR
3、111x1-x3+uL1L1L1R21x2+x3L2L2有电路原理可知：L2x2+R2x2=x3x1=x2+Cx3 既得 x2=-x3=-11x1+x2CCy=R2x2写成矢量矩阵形式为： R1-L1x1。x=02。x31C。0-R2L21-C-11L1x1L11x2+0uL2x30 0x1y=0R20x2x31-3 参考例子1-3. 1-4 两输入u1，u2，两输出y1，y2的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。 u1b1+-y1a1a5a6+a21u2b2+-a3y2a4图1-30双输入-双输出系统模拟结构图解：系统的状态空间表达式如下所示： &10xx&
4、2-a2=x&31&40x1-a10-a5000-a40x10xb-a62+11x30-a3x4000u0b2x1xy=10102x3x4-1sas+a1(sI-A)=2-10a5000sa40a6 -1a3-1sas+a1Wux(s)=(sI-A)-1B=2-10a5000sa40a6-1a3-10b10000 0b200sa40a6-1a3-1-1sas+a1-1Wuy(s)=C(sI-A)B=10102-10a501-5系统的动态特性由下列微分方程描述 (2)y+5y+7y+3y=u+3u+2u K.0b10000 0b2列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。 解：令x1=
5、y，x2=y，x3=y，则有 。110x100x。x+0ux=00122。x3-3-7-5x31 x1y=231x2x3.相应的模拟结构图如下： 13u+-5x3x2x12+y731-6 已知系统传递函数W(s)=出相应的模拟结构图 1016(s+1)-43+3+3 解：W(s)=+s(s+2)(s+3)2(s+3)2s+3s+2s-6(s+1),试求出系统的约旦标准型的实现，并画s(s+2)(s+3)2&1-310xx&20-30=&30x0-2&00x4010y=-4-30x100x21+u0x310x41x11x233x3x41-7 给定下列状态空间表达式 &1010x10xx&2=-2
6、-30x2+1u&3x-11-3x32 x1y=001x2x3 画出其模拟结构图 求系统的传递函数 解： 0s-12s+30 W(s)=(sI-A)=1-1s+3sI-A=s(s+3)2+2(s+3)=(s+3)(s+2)(s+1) (s+3)2s+301 (sI-A)-1=-2(s+3)s(s+3)0(s+3)(s+2)(s+1)-s-5s-1(s+1)(s+2)(s+3)20s+301Wux(s)=(sI-A)-1B=-2(s+3)s(s+3)01(s+3)(s+2)(s+1)-s-52s-1(s+1)(s+2)(s+3)1s(s+3)=(s+3)(s+2)(s+1)(2s+1)(s+3)
7、(s+3)1Wuy(s)=C(sI-A)-1B=001s(s+3)(s+3)(s+2)(s+1) (2s+1)(s+3)(2s+1)=(s+2)(s+1)1-8 求下列矩阵的特征矢量 100302 A=-12-7-60l-1-3l-2=l3+6l2+11l+6=0 解：A的特征方程 lI-A=127l+6解之得：l1=-1,l2=-2,l3=-3 10p110p11302p21=-p21 当l1=-1时，-12-7-6p31p31p111p21=-1 解得： p21=p31=-p11 令p11=1 得 P1=p31-1p11-1=1） p p &141-2x131xx&2=102x2+27u&
8、3x1-13x353x1y1120y=011x22x3 2l-4-1解：A的特征方程 lI-A=-1l-11l1,2=3,l3=1 41-2p11p11当l3时，102p21=3p211= 1-13p31p31解之得 p21=p31=p11 令p11=1 得 41-2p11p111当l2=3时，102p21=3p21+1 1-13p31p311解之得 p12=p22+1,p22=p32 令p12=1 41-2p13p13当l3=1时，102p23=p1-1323 p33p33解之得 p13=0,p23=2p33 令p33=1 1100-12T=102 T-1=11-2 10101-1-2l-3
9、=(l-1)(l-3)2=0 p11 P1=1p21=1 p311p121 得 P2=p22=0 0p32p130 得 P3=p23=2p3310-12318-1T-1B=11-227=-52 01-153-34110120=314 CT=1020111012033108-1&=030xx+-52u约旦标准型001-34 314y=x2031-10 已知两系统的传递函数分别为W1(s)和W2(s) 1111W1(s)=s+1s+2 W2(s)=s+3s+4 s+1100s+2s+1试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果 解：串联联结 1W(s)=W2(s)W1(s)
10、=s+31s+11(s+1)(s+3)=12(s+1)11s+4s+1001s+2s+1s+2s2+5s+7(s+2)(s+3)(s+4)1(s+1)(s+2)并联联结 1111W(s)=W1(s)W1(s)=s+1s+2s+3s+4 s+1100s+2s+11-11 已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为 11-s+110s W2(s)=W1(s)= 1010s+2求系统的闭环传递函数 解： 1s+1W1(s)W21(s)=011s10=s+11010s+2-1s 1s+2-1I+W1(s)W(s)=I+s+10s+3s+1s+2=s+301s+2s10=s+1101
11、0s+2-1s+1s+2s=s+20s+11s s+3s+2-I+W1(s)W2(s)-1s+1s(s+3) s+2s+311s+3s+1s+2-1ss+1W(s)=I+W1(s)W2(s)W1(s)=s+2s+30ss+1s+311s+1-s+2s+1(s+2)(s+1)ss(s+3)=11s+300s+1s+31s1s+2-1-11 已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为 11-s+110s W2(s)=W1(s)= 1012s+2求系统的闭环传递函数 解： 1111-s10=s+1s W1(s)W1(s)=s+1110122s+2s+2111s+2-s10=s+1
12、s I+W1(s)W1(s)=s+11s+30122s+2s+21s+3s I+W1(s)W1(s)-1=2s(s+1)s+2s+2s+5s+2-2s+111s+3s(s+1)-1s+2ss+2W(s)=I+W1(s)W1(s)W1(s)=2s+2s+5s+2-2ss+1s+32s+31+-+2s(s+1)(s+2)ss(s+2)s(s+2)=222(s+2)21s+5s+2-+-+s+2s+1ss+1(s+1)2(3s+8)(s+2)2(s2+5s+2)=s3+6s2+6s(s+2)(s2+5s+2)s+1s2+5s+2s+2-2s+5s+2-1s1s+2-1-12 已知差分方程为 y(k+
13、2)+3y(k+1)+2y(k)=2u(k+1)+3u(k) 试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数b(即控制列阵)为 1b= 1 解法1： 2z+311 W(z)=2=+z+3z+2z+1z+2-101x(k+1)=x(k)+u(k) 0-21y(k)=11x(k) 解法2： x1(k+1)=x2(k)x2(k+1)=-2x1(k)-3x2(k)+u y(k)=3x1(k)+2x2(k)100x(k+1)=x(k)+u(k) -2-31y(k)=32x(k)1111-1T=求T,使得T-1B= 得T-1= 所以 01 01111-1-40110T-1AT= 01-2-301-5
14、-11-1CT=32=3-1 01所以，状态空间表达式为 -401z(k+1)=z(k)+1u(k) -5-1y(k)=3-1z(k)第二章习题答案 2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数eAt。 11 A= 41解：第一种方法： 令 lI-A=0 则 l-1-4-1l-1=0 ，即(l-1)-4=0。 2求解得到l1=3，l2=-1 p11当l1=3时，特征矢量p1= p2111p113p11由 Ap1=l1p1，得p=3p 412121p11+p21=3p111p=即，可令1 4p+p=3p2112121p12当l2=-1时，特征矢量p2= p2211p12-p12=由Ap2=l2p2，得
15、 41p22-p22p12+p22=-p121即 ，可令p2= 4p+p=-p-21222221211-1则T=，T=2-21214 1-4113t1-te+e422=1-e3t+e-t413t1-te-e44 13t1-te+e2211e eAt=2-203t102e-t12第二种方法，即拉氏反变换法： s-1-1sI-A= -4s-1sI-A-1=s-114 s-1s-3s+1()()1s-1(s-3)(s+1) =4(s-3)(s+1)(s-3)(s+1) s-1(s-3)(s+1)11+4s-3+s1211 11+s-3+s11111+2s-3s+1 =11-s-3s+113t1-te
16、+e-122eAt=L-1(sI-A)=e3t-e-t13t1-te-e44 13t1-te+e22第三种方法，即凯莱哈密顿定理 由第一种方法可知l1=3，l2=-1 1013e4=1-1-t=1e14-13t313t3-te+e3t4e44-t= 1e11-e3t-e-t44413t1-te-e44 13t1-te+e2213t1-te+e1011131322eAt=e3t+e-t+e3t+e-t=40144413t-t4e-e2-5 下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A阵。 2e-t-e-2tF(t)=-t-2te-e1-t3t2(e+e)2e-2t-2e-t F
17、(t)=2e-2t-e-t-e-t+e3t1-e-t+e3t)(4 1-t3te+e)(210=I，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件 解：因为 F(0)=01&(t)A=F-2e-t+2e-2t=-t-2t-e+2e-4e-2t+2e-t0-2= -4e-2t+e-tt=01-3t=010=I，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件 因为F(0)=01&(t)A=Ft=01-t33t-2e+2e=e-t+3e3t1-t33te+e1144= 1-t33t41-e+et=0222-6 求下列状态空间表达式的解： 010&=xx+1u 00y=(1,0)x 1初始状态x(0)=，输入u(t)时单位阶跃函
18、数。 101解： A= 00s-1sI-A= 0s11s-1s-1=(sI-A)=2s0s01s2 1s1t-1F(t)=eAt=L-1(sI-A)= 010因为 B= ，u(t)=I(t) 1x(t)=F(t)x(0)+F(t-t)Bu(t)dt 0t1t1t1t-t0=1+001dt 011t+1tt-t=+dt 0111t+1t2=+2 1t12t+t+1 =2t+11y=10x=t2+t+1 22-9 有系统如图2.2所示，试求离散化的状态空间表达式。设采样周期分别为T=0.1s和1s，而u1和u2为分段常数。 u2-1/su1K/(s+1)x1Xx2+1+X+y2 图2.2 系统结构
19、图 解：将此图化成模拟结构图 u2-Xu1K-Xx1x21+X+y2列出状态方程 x&1=ku1-x 1 x&2=x1-u 2 y=x2+2x1 x=-10k0u10x+10-1u 2y=21x1x 2则离散时间状态空间表达式为 x(k+1)=G(T)x(k)+H(T)u(k) y(k)=cx(k)+Du(k) 由G(T)=eAt和H(T)=TeAt0dtB得： A=-1010 B=k0T20-1 C=1 eAt=L-1(sI-A-1-1s+10e-T0)=L-1s=1-e-T1 H=TeAtdt=Te-t00k0k(1-e-T)001dt1-Tk00-1=1-e-TeT-1+e-TT0-1=
20、k(T-1+e-T)当T=1时 x(k+1)=e-10k(1-e-1)01-e-11x(k)+ke-1-1u(k) y(k+1)=21x()k x(k+1)=e-0.1当T=0.1时 0k(1-e-0.)10u1-e-0.11x(k)+(k) k(e-0.1-0.9)-0.1 y(k+1)=21x()k 0-T第三章习题答案 3-1判断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中a,b,c,d的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取值条件如何？ 系统如图3.16所示： u+-ax1y+-x2+x3-+-x4bcd图3.16 系统模拟结构图解：由图可得： x1=-ax1+ux2=-bx2x3=-c
21、x3+x2+x1=x1+x2-cx3 x4=x3-dx4y=x3状态空间表达式为： -a1xx02=x310x4y=0010x11x0-b002+u1-c0x30 01-dx40000x由于x2、x3、x4与u无关，因而状态不能完全能控，为不能控系统。由于y只与x3有关，因而系统为不完全能观的，为不能观系统。 系统如下式： 10x121-11xx=0-10x+a0u220-2x30x3b0 c0dy=x000解：如状态方程与输出方程所示，A为约旦标准形。要使系统能控，控制矩阵b中相对于约旦块的最后一行元素不能为0，故有a0,b0。 要使系统能观，则C中对应于约旦块的第一列元素不全为0，故有c0
22、,d0。 3-2时不变系统 -3111X=X+u1-31111y=X1-1试用两种方法判别其能控性和能观性。 解：方法一： -311A=,B=11-311M=BAB=11rankM=12,系统不能控。 111,C=1-11-2-2-2-211C1-1N= CA-2-2-44rankN=2,系统能观。 方法二：将系统化为约旦标准形。 lI-A=l+3-1-1l+3=(l+3)-1=02l1=-2，l2=-41则状态矢量：A1P1=l1P1P1=11 A2P2=l2P2P2=-1112211-1T=，T=1 11-1-2211-3111-20T-1AT=221-1=0-4 111-3-221122
23、1111-1TB=00 1111-22111120CT= 1-11-102T-1B中有全为零的行，系统不可控。CT中没有全为0的列，系统可观。 3-3确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数ai和bi 1a1(1)A=1,b=1,C=1-1 0a2解：构造能控阵： M=b1a1+1Ab= 1a2要使系统完全能控，则a1+1a2，即a1-a2+10 构造能观阵： -1C1N= CAa11-a2要使系统完全能观，则1-a2-a1，即a1-a2+10 3-4设系统的传递函数是 y(s)s+a=3 2u(s)s+10s+27s+18当a取何值时，系统将是不完全能控或不完全能观的？ 当a取上
24、述值时，求使系统的完全能控的状态空间表达式。 当a取上述值时，求使系统的完全能观的状态空间表达式。 解：(1) 方法1 ：W(s)=y(s)s+a =u(s)(s+1)(s+3)(s+6)系统能控且能观的条件为W(s)没有零极点对消。因此当a=1,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。 方法2： a-1a-3a-6y(s)s+a=10-6+15 u(s)(s+1)(s+3)(s+6)s+1s+3s+6l1=-1，l2=-3，l3=-6 -1X=00a-1y=10011u-30X+0-61 a-3a-6-X6150系统能控且能观的条件为矩阵C不存在全为0的列。因此当a=1,或a=3或a=6时
25、，系统为不能控或不能观。 当a=1, a=3或a=6时，系统可化为能控标准I型 y=a10 x1000x+0 u&= 0x01 -18-27-101根据对偶原理，当a=1, a=2或a=4时，系统的能观标准II型为 00-18a&= 10-27x+1 ux 01-100y=001 x 3-6已知系统的微分方程为：y+6y+11y+6y=6u 试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。 解：a0=6，a1=11，a2=6，a3=3，b0=6 系统的状态空间表达式为 K.1000x+0 u&= 0x01 -6-11-61y=600 x传递函数为 0s-1W(s)=C(sI-A)-1B=6000
26、s-1611s+6其对偶系统的状态空间表达式为： -1060= s3+6s2+11s+6100-66&= 10-11x+0 ux 01-60y=001 x传递函数为W(s)=6 32s-6s-11s+63-9已知系统的传递函数为 s2+6s+8W(s)=2 s+4s+3试求其能控标准型和能观标准型。 s2+6s+82s+5=1+2解：W(s)=2 s+4s+3s+4s+3系统的能控标准I型为 010&= xx+1 u -3-4y=52x+u 能观标准II型为 0-35&= xx+2 u 1-4y=01x+u 3-10给定下列状态空间方程，试判别其是否变换为能控和能观标准型。 1000&= -2
27、-30x+1 ux -11-32y=001 x1000，b=1，C=001 -2-30解：A=-11-32M=bAb01-3 A2b=1-272-511 rankM=23，系统为不能控系统，不能变换为能控标准型。01C0=-1-1-3 N=CA2CA1-79rankN=3，系统为能观系统，可以变换为能观标准型。 3-11试将下列系统按能控性进行分解 12-10,b=0,C=1-11 010A=0-431解： M=bAb0-1-4 rankM=23，系统不是完全能控的。 A2b=0009130-10，R=Ab=0，R=1，其中R是任意的，只要满足0构造奇异变换阵Rc：R1=b=233130Rc满
28、秩。 0-10301 得R-1=-100 001即Rc=c1300100-321 b=R-1b=0 c=cR=12-1 A=Rc-1ARc=14-2cc10003-12 试将下列系统按能观性进行结构分解 12-10,b=0,C=1-11 010 A=0-43112-10,b=0,C=1-11 010解： 由已知得A=0-431C1-11则有N=CA=2-32 2CA4-74rank N=23，该系统不能观 1-11 2-32构造非奇异变换矩阵R0-1，有R0-1=0013-1-1 2-10则R0=0010101&%=R0-1AR0x%+R0-1bu=-230x%+2u x-7321%=100x
29、% y=cR0x3-13 试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解 1001,b=2,C=112 223A=-2012解：由已知得M=AAb11121226 Ab2=20-2 rank M=3，则系统能控 c1=-1cA N=2cA-71242 511 rank N=3，则系统能观 所以此系统为能控并且能观系统 17111-344 取Tc2=21226，则T-1c2=7-1-3 20-22-31544002 则A=10-51，B=T-1c2b=0，c=cTc2=71301403-14求下列传递函数阵的最小实现。 w(s)=111s+111 解： a110=1，B0=11，Ac=-100-1 B
30、101100c=01，Cc=11，Dc=00 系统能控不能观 取R-1110=01，则R0=1-101 所以A=R-10AR0=-100-1，B=R-10Bc=1101 C=CR=10，D=00c01000 所以最小实现为Am=1，Bm=11，C1m=01，Dm=0验证：Cm(sI-Am)-1Bm=111s+111=w(s) 2300 3-15设S1和S2是两个能控且能观的系统 100S1：A1=，b=11，C1=21 -3-4S2：A2=-2，b2=1，C2=1试分析由S1和S2所组成的串联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数； 试分析由S1和S2所组成的并联系统的能控性和能观性，并写出其
31、传递函数。 解： S1和S2串联 &3=-2x3+2x1+x2 当S1的输出y1是S2的输入u2时，x0010&=-3-40x+1u，y=001x x21-20M=bAb01-41-413 A2b=01-4则rank M=23，所以系统不完全能控。 W(s)=C(sI-A)-1B=s+21 =2(s+2)(s+3)(s+4)s+7s+12当S2得输出y2是S1的输入u1时 0&=-3x01-40100u，y=210x 1x+-2101-21 -6-4因为 M=bAb00A2b=1 rank M=3 则系统能控 c210=-3-21 cA 因为N=2cA654 rank N=23 则系统不能观 W(s)=C(sI-A)-1B=1 2s+7s+12S1和S2并联 0010&=-3-40x+1u，y=211x x00-21M=AAb01-41-413 Ab2=1-2-4因为rank M=3，所以系统完全能控 1c21=-3-2-2 N=cA24cA65 因为rank N=3，所以系统完全能观 222s+2+s+2-22-1 w(s)=C(sI-
