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1、直线与平面垂直的判定典型例题直线与平面垂直的判定 典型例题 目标导航 1 知识与技能：理解并掌握直线与平面垂直的定义及垂线、垂面、垂足的含义，会用空间图形及数学符号分别表示直线与平面垂直；理解并掌握直线与平面垂直的判定定理，并能运用定义及判定定理判断直线是否与平面垂直。 2 过程与方法：利用等价转化的思想证明立体几何问题；提高学生逻辑思维能力；培养学生由图形想象出位置关系的能力。 3 情感态度与价值观： 利用所学知识解释生活现象，激发学生学习数学的积极性，能辩证的看待问题；学会分析事物间的关系，进而选择解决问题的途径。 要点聚焦 1 直线与平面垂直的定义：直线与平面内的任意一条直线都垂直，称直
2、线与平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面。直线与平面垂直时，它们的唯一公共点叫做垂足。 2 直线与平面垂直是直线与平面相交的特例。直线与平面相交但不垂直时，直线叫做平面的斜线，直线与平面的交点叫做斜足。 3 直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则称该直线与此平面垂直。 4 直线与平面垂直的定义中的“任何一条直线”这个词语与“所有直线”是同义语，但与“无数条直线”不同，定义的实质就是直线与平面的所有直线都垂直。 5 直线与平面垂直的判定定理可以用符号表示： 6 “a，b，ab=P，la，lb，l” 7 直线与平面垂直的方法： (1) 若一条直线垂直
3、于平面内的任何直线，则这条直线垂直于平面； (2) 若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线垂直于平面； (3) 两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面； (4) 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它必垂直于另一个平面。 经典题例 例1判断题：正确的在括号内打“”号，不正确的打“”号 1一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行 2如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直 3垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边 4过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内 5如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直
4、于另两条直线确定的平面 分析: 本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题。 解答: 1直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种平行，异面，因此应打 2该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系，若为平行，则该命题应打“”号；若为相交，则该命题应打“”号，正是因为这两种可能同时具备，因此，不说明面内这无数条线的位置关系，则该命题应打“”号 3垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用，则1 该直线必垂直于三角形的第三边，该命题应打“” 4前面介绍了两个命题，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，
5、根据第一个命题知：过点A垂直于直线a的平面惟一，因此，过点A且与直线a垂直的直线都在过点A且与直线a垂直的平面内，该命题应打“” 5三条共点直线两两垂直，设为a，b，c且a，b，c共点于O， ab，ac，bc0，且c确定一平面，设为，则a， 同理可知b垂直于由a，c确定的平面，c垂直于由a，b确定的平面 该命题应打“” 点评:此类问题必须做到：概念清楚、问题理解透彻、相关知道能灵活运用。 例2如图235：在空间四边形ABCD中，已知BCAC，ADBD，引BECD，E为垂足，作AHBE于H，求证：AH平面BCD。 分析: 要证AH平面BCD，只须利用直线和平面垂直的判定定理，证AH垂直于平面BCD中两条相交直线即可。 证明:取AB中点F，连结CF、DF， ACBC，CFAB， 又ADBD，DFAB，AB平面CDF， 又CD平面CDF，CDAB 又CDBE，CD平面ABE，CDAH 又AHBE，AH平面BCD。 图235 点评:证明线面垂直，需转化为线线垂直，而线线垂直，又可通过证线面垂直来实现。在这里，定义可以双向使用，即直线a垂直于平面内的任何直线，则a，反之，若a，则a垂直于平面内的任何直线。 2
