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1、线性代数样卷线 性 代 数 样 卷 本题得分 一 、选择题(每小题 2 分，共 10 分) 1. 设A与B都是n阶方阵，且A+AB=0，则有 A=0 E+B=0 A=0或E+B=0 A=0且E+B=0 2. 设P、Q都是n阶方阵，且(PQ)2=E，则必有 P2Q2=E Q2P2=E (QP)2=E 以上都不正确 3. 解方程组AX=b时，对增广矩阵施行的初等变换 允许进行某种初等列变换 只允许进行某一种初等列变换 既可进行初等行变换也可进行初等列变换 只能进行初等行变换 4. 设A为n阶方阵，其秩rn，那么在A的n个行向量中 必有r个行向量线性无关 (B) 任意r个行向量线性无关 (C) 任意
2、r个行向量都构成最大线性无关向量组 (D) 任意一个行向量都可以由其它r个行向量线性表出 5. 若A与B相似，则下列正确的是 存在可逆矩阵U，使A=UBU 存在可逆矩阵U，使A=U-1BU 存在正交矩阵U，使A=U-1BU 存在可逆矩阵U,v，使A=U-1BV 本题得分 二、填空题 -11. 设A是三阶可逆矩阵，A的特征值为111,，则行列式E-A= 345T(1,-,1)1-2. 设A=，B=-r，则AB= 3、 设Anxn,Bnxs,若(A,B):(E,X)，则A可逆，且X= 4、 已知a1=(1,2,1,3)T,a2=(4,-1,-5,-6)T,a3=(1,-3,-4,-7)T，则向量组
3、a1,a2,a3的秩为 25、 矩阵2-2-25-4对应的二次型为f(x1,x2,x3)= . -45rrr6、 若向量a=(1,2,3)，b=(2,t-2,5)，g=(0,0,6)线性相关，则t= . 本题得分 三、计算题 21+a11、Dn=1M1L11M1+an1M11+a2LL1215002、求1-1341523、已知A=203-1-3012 1-22013且AX=A+X，求X。 10lx1+x2+x3=14、设线性方程组x1+lx2+x3=l 2x+x+lx=l312 问l为何值时方程组有唯一解，无解，无穷多解？在有无穷多解时求其通解。 四、证明题 本题得分 1、 已知向量组A：B：
4、a1=(0,1,1),a2=(1,1,0)，b1=(-1,0,1)T,b2=(1,2,1)T,b3=(3,2,-1)T 证明：A组与B组等价。 TT本题得分 T五、应用题 1、验证a1=(0,1,1),a2=(1,0,1)T,a3=(1,1,0)T 为R3的一个基， 并把b1=(1,0,-4)T,b2=(4,3,2)T 用这个基线性表示。 2. 求正交变换x=py，化实二次型f(x)=2x12+x22-4x1x2-4x2x3为标准形, 线性代数答案 一 、选择题(每小题 2 分，共 10 分) 1： 2： 3： 4:5： 二、填空题 本题得分 -1 1、-24 2、-1-1-1-1-1-1-1
5、 3：X=A-1B -1222 4： 2 5： 2x1+5x2+5x3+4x1x2-4x1x3-8x2x3 6、6 本题得分 三、计算题 1+a11： 解：Dnri-r11a2LO1-a1M-a1ci+ana1ci0aiM01a1(1+)i-1ai01a2L1Oan=a1a2Lan(1+i=101) ai7-1092：解：原式= 24-5-63：解：X=A 120220100-226-2(A-E,A)=203213:01020-3X=201-10100012-1-3224：解：A=(l-1)(l+2) l160-3 -1-32l-2时有唯一解 003-2 R(A)R(B) 无解 4110-21
6、当l=-2时(Ab)=B=1-21-2:111-241-211-211当l=1时,(Ab)=B=1111同解方程为x1+x2+x3=1 11111111:0000.R(A)=R(B)=1 有无穷多解 110000x1=1-C1-C2x1-1-11x2=1C1+1C2+0 x2=C1x=C00x0233 本题得分 四、证明题 证明 A组与B组等价R(A)=R(B)=R(A,B)=R(B,A) -1130111-1-10(B,A)=02211:0221111-11000000R(B)=R(B,A)=2,又易知R(A)=2R(A)=R(B)=R(B,A)=2 本题得分 五、应用题 1. 解：证A=(
7、a1,a2,a3)B=(b1,b2) 1100-252011143A:E,即a,a,a为R3,的一个基 (A,B)=10103:010-312322110-420015522535135且b1=x1-x2+x3b2=x1+x2+x3 2222222-202. 解 二次型的矩阵为 A=-21-2，其特征值为 l1=1,l2=4,l3=-2, 0-20对于 l1=1，解线性方程组(A-E)x=0, 得基础解系p1=(2,1,-2)TT对于l2=4,解线性方程组(A-4E)x=0, 得基础解系p2=(2,-2,1) 对于l3=-2,解线性方程组(A-4E)x=0, 得基础解系p3=(1,2,2) T
8、21-22-21122将p1,p2,p3单位化得 e1=,；e=,e=23, 333333333令p=(e1,e2,e3)，则有正交变换x=py使 f(py)=y12+4y22-2y32 TTT线 性 代 数 样 卷 一 、选择题(每小题 2分，共 10 分) 1. 设A, B均为n阶方阵，下面不成立的一项是 若A=O或B=O, 则AB=O (B) 若AO且BO, 则ABO 本题得分 (C) 若AB=O且A0, 则B=O (D) 若(A+B)2=A2+2AB+B2，则AB=BA 2. 若n阶方阵A满足A-2A+3E=0，则A可逆且A= A-2E 2E-A -(A-2E) (A-2E) 2-11
9、3133. 线性方程组ax-by=1，若ab，则方程组 bx+ay=0无解 有唯一解 有无穷多解 需讨论多种情况 4. 若a1，a2，a100可由b1，b2，b10线性表出，则a1，a2，a100是 线性相关 (B) 线性无关 (C) 只有一部分组线性相关 (D) 不能确定 5. n阶方阵A 具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的 充要条件充分不必要条件必要不充分条件 既不充分也不必要条件 本题得分 二、填空题 kx+z=01、 若2x+ky+z=0只有零解，则k应满足 kx-2y+z=0-12、 设A为三阶可逆矩阵，且A=3，则2A= 3. 设A为三阶可逆矩阵，且A=3，则A*()-1= 4
10、. 设mn矩阵A的秩R(A)=r, 则n元齐次线性方程组Ax=0的解集的秩为 . 5. 设三维向量组a1,a2,a3线性无关, 则向量组a1-a2,a2-ka3,a3-a1也线性无关的充分必要条件是_. 1246. 矩阵A=22-1对应的二次型是f(x1,x2,x3)= 4-13本题得分 三、计算题 31L1113L111. 求n阶行列式Dn=MM. 11L3111L13MM231111-1-1-24. 2. 计算111-110513. 设A为n阶方阵，A=2，求( 1-1A)-3A*. 20334. 已知A=110且AB=A+2B，求B -1232x1+lx2-x3=15. 设线性方程组：l
11、x1-x2+x3=2 4x+5x-5x=-1231问l取何值时，方程组有唯一解？无解？无穷多解？并在有无穷多解时求出通解. 四、证明题 本题得分 21. 设n阶矩阵A满足A=A, E为n阶单位阵, 证明R(A)+R(A-E)=n. 本题得分 五、应用题 1. 验证a1=(1,-1,0)T,a2=(2,1,3)T,a3=(3,1,2)T为R3的一个基，并把 b1=(5,0,7)T,b2=(-9,-8,-13)T 用这个基线性表示。 2、求一个正交变换x=Py，使二次型 =5x12+4x1x2+2x22化为标准型 线性代数答案 一 、选择题(每小题 2 分，共 10 分) 1 2 3 4 5 二、
12、填空题 1：kz 2：81 3、 4、n-r 392225、k1 6、x1+2x2+3x3+4x1x2+8x1x3-2x2x3 三、计算题 11L111131101、解：DC1+C2(n+2)ri-r2(n+2)MM11L130231111058-1-1-24 解：原式=0-56 2、111-11051290*3. 解：A=2,由AA=AE得A=2A *-11L1120=(n+2)2n-1 O0L211(A)-1-3A*=2A-1-3A*=-4A-1=(-4)nA-1=(-4)n 224. 解：B=A -2330331(A-2E,A)=1-10110:0-121-123025、解：A=l001
13、00133033-123B=-123 1101100l-15-11=(5l+4)(l-1) -544当l1,l-时唯一解 5当l24=-时4-5(A,b)=54-45-15-112612:+5-5-10-459-50-11无解 039051当l=1时(A,b):000100-10+1x110-1有无穷多解，通解为x2=-1+C1 1x003四、证明题 证明: A2=AA(A-E)=0R(A)+R(A-E)nA+(E-A)=ER(A)+R(E-A)nR(A)+R(A-E)=n. 五、应用题 1. 解：证A=(a1,a2,a3)B=(b1,b2)，对(A,B)施行初等行变换。若A能变E则AB，在即a1,a2,a3为R3的一个基，且当A变为E时，B变为A-1B，就可求得b1,b2 a1,a2,a3下的坐标。 1235-910023(A,B)=-1110-8:0103-3 0327-13001-1-2A:E,a1,a2,a3为R3,的一个基。 且b1=2x1+2x2-x32. 解：对应的矩阵为 b2=3x1-3x2-2x3 520A=220，lE-A=l(l-1)(l-6) 000特征值为l1=1,l2=6,l3=0， 120，a1,a2,a3,两两正交， a1=-2,a=1,a=23000115正交矩阵为2c=-50251500，标准型为012 f=y12+6y2
