《高等数学下》作业集答案魏平.docx

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1、高等数学下作业集答案魏平二、11，2x-y+z=0。3过点(x-1)-(y-2)-(z+1)=0， 4已知两条直线的方程是(x-1)+(y-2)-(z-3)=0。 三、2(x-1)+3y+(z+1)=0；3x-2y-1=0；x-z=1； 2x-y+z=0；y-3z=0；4x+3(y-1)-z=0. x+5y+8zx+4y-4zxy-1z=; =; = 321103-312x-2y+3z-4xy-2z-4x+1y-2z-1=五、 ； =； -1313-123-113x+7y-6z-12=0六、异面，d=1,(3) x=1第四节 空间曲面与空间曲线 z22225z=0,(x-1)+y1;x=0,(

2、-1)+y1,z0;y=0,xz2x. 2四、第七章 综合练习题 rrvr 2如果x=0,y=0，a,b可任意，如果x0，则a=b。 vvvvvvvvvv 3(a+b+c)2=59；(a-2b+c)2=8；(2a-b)(3b-c)=-30 rrrrrr4如果x=0,y=0,z=0，a,b,c可任意，如果x0,y=z=0，则a=0,b,c任意，等，rrr如果x0,y0,z=0，则a=b,c可任意，如 1都不正确 第七章 向量代数与空间解析几何 第一节 向量及其标表示 2 (i)A、B间的距离为d=3；(ii)中点C的坐标为(0,1,)；(iii)A、B联线与三坐标面交点为(-3,-2,0),(-

3、1,0,-1),(0,1,) 32rrra=-b-c。 vv513vvrr5prjba=2及prjab=， m与b的夹角为arccos. 132第二节 数量积、向量积和混合积 一、1 36. 2 l= 3. 3共面.4 18 。 二、计算下列各题，1。arccos3(1) i+j+k不是单位向量，(2)三个单位向量之和有可能是零向量，此时vvv322， 72vv5,1,710,2,14cos=2、3，；,18，；. 21p110,3，5(0,0,)。 3、.4、5,3,cos=-5310第三节 空间平面与空间直线 一、1D，2C， 3 C4A 5 D6A7 A8 C 二、11，2x-y+z=0

4、。3过点(x-1)-(y-2)-(z+1)=0， 4已知两条直线的方程是(x-1)+(y-2)-(z-3)=0。 三、2(x-1)+3y+(z+1)=0；3x-2y-1=0；x-z=1； 2x-y+z=0；y-3z=0；4x+3(y-1)-z=0. x+5y+8zx+4y-4zxy-1z=; =; = 321103-312x-2y+3z-4xy-2z-4x+1y-2z-1=五、 ； =； -1313-123-113x+7y-6z-12=0六、异面，d=1,(3) x=1第四节 空间曲面与空间曲线 z22225z=0,(x-1)+y1;x=0,(-1)+y1,z0;y=0,xz2x. 2四、第七

5、章 综合练习题 rrvr 2如果x=0,y=0，a,b可任意，如果x0，则a=b。 vvv2vvvvvvv2 3(a+b+c)=59；(a-2b+c)=8；(2a-b)(3b-c)=-30 rrrrrr4如果x=0,y=0,z=0，a,b,c可任意，如果x0,y=z=0，则a=0,b,c任意，vvvrrr等，如果x0,y0,z=0，则a=b, c可任意，如果x0,y0,z0时a、b、c共面。uuuruuuruuuruuuruuuruuur|ABAC|28|ABAC|14|ABAC|28uuuruuuruuur8hAB=，hBC= =hAC=5|AB|AC|BC|1389113x+3y+6z-1

6、1=0。 1都不正确 第八章 多元函数微分学及其应用 第一节 多元函数的基本概念 一、1 B 2A 3 D4 C 5 D C 7 D 8A9 C10 B 22二、1 x+y=1，2(x,y)|x0y0，3 x-y=0间断，4定义域是整个平面，5ln2。 三、 xy ， 四、 D=(x,y)|y2x， D=(x,y)|x0,y0,x2y D=(x,xy)|x+y0,x-y0， D=(x,y)|0xy,x+y1 D=(x,y)|-yxy 五、 2，-22221，2，1 4第二节 偏导数 一、1A2A3 C4A5 D 6 D7 B zzz4x12zx2=(1+xy)exy，=3x(x+xy)=+二、

7、2=-，2，4 ，5 22xx2x+yxyy(x+y)zzzyyy=3x2y-y3，7 =ycos(xy)+cosy，8 =cotgsec2g(-2)，xxxxxxz2y9， =2x(x+y)z2z2x10 =(1+xy)2x2ln(1+xy)+ ，11=yxy-1，12 fx(1,2)=。 x5x1+xy6 2222z2z12z1zx2z2z四、 ， =12x,=12xy,=-6y=,=,=-x2xyy2x2xxyyy2y22z2z2zx2x-1 =ylny,=y(1+xlny),2=x(x-1)yx-2。 2xxyy第三节 全微分 一、1 C2 B3A4 A5 D6C A8C 二、dz(1

8、,1)=e(dx+dy)，三、 dz=e(-dz=四、 Dz=yxzy=1+e2，(1,2)z=16+7e6。 t(1,2)xdx+ydyydxdy dz=+)222xx+yxdx+x2y(1-x2y)dy,du=yzxyz-1dx+zxyzlnxdy+yxyzlnxdz. y1-x2y2.011.032510-,dz=-0.01+0.03 222.01-1.03399第四节 多元复合函数与隐函数的求导法则 一、1 B2 B3C1， 4A 5A6 C 2z二、1 y2dzdzy+xex2x-2y=(cost-6t)e=-1， 2 ， 3 ， =2dtdx1+(xy)x=1duaeax(y-z)

9、aeaxcosxeaxsinxzz=+=2u+2v4 。5 ，=2u-2v， xdxa2+1a2+1a2+1yzzzz=2xf1+yexyf2，=-2yf1+xexyf2,=f1+yf2+f3， =xf2-f3三、 xxyy2z四、=-2f11+(2sinx-ycosx)f12+ysinxcosxf22+cosf2。 xy1y2=-。七、五、 fy(x,x). y2cosy+e-2xy2第五节 多元函数微分学在几何上的应用 x=yx-1y-1z-1=一、,二、，16x+9y-z=24,三、2(x-1)+(y-2)=0。 169-1z=0五、x-y+2z=zyz-xyzzxz-2xyz11=.六

10、、， x2xyz-xyyxyz-xy2zz2zz2z2y2zez-2xy3z-y2z2ex=七、十、2= +=1九、xyxyy(x+z)x(ez-xyz)3第六节 方向导数和梯度 一、1+23，二、6u14，三、=7n2204204204，四、1 xyz+abc第七节 多元函数的极值与最值 一、1 D2C 3 B 4 B5A6 D 7 C 8A 9D 二、1 (x0,y0)=(0,0)，2(x0,y0)=(0,0)，3(x0,y0)=(0,0),(1,1)。 三、极小值f(1,0)=-5，极大值f(-3,20=31极大值z(3,2)=36极小值1ef(,-1)=- 221112a四、极大值f(

11、,)=五、当长、宽、高都等于时，体积最大. 2243六、切点(a3,b3abc. 233第八节 多元函数微分学在经济管理中的应用 ,)，Vmin=c一、两种产品的产量分别为120和80。 二、x=0.75万元，y=1.25万元，x=0，y=1.5万元。 第八章 综合习题 2u2u=f11-2f13+f33， =f12-f13-f22-f23， 极大值z(1,1)=1 2xyz 求函数f(x,y)=x2-y2在圆周x2+4y24上的最大值、最小值 zmax(-2,1)=6,zmin(-2,1)=-2 l=b,c,a. l=3abc. 9第九章 重积分及其应用 第一节 二重积分的概念与性质 一、1

12、 C ，2 A ，3 B ，4 D ，5 D ，6 B ，7 C ，8 A 。 二、13，2p，3 3p。 三、11，6. 1。 4第二节 二重积分的计算 一、1 A ，2 D ，3 D ，4 A ，5 D ，6. A ，7. B ，8 C。 二、1三、1. 10dxf(x,y)dy，20，3dx2f(x,y)dy，400xx1x1。 -42(1-e)baf(x)(1-x)2，3. x1(y),x2(y)=y,1 f(x)dx=2，2.j(x)=2四、原式=dy01eeyf(x,y)dx,原式=dyf(x,y)dx+dy0y01112-y1f(x,y)dx 第二节 二重积分的计算 一、1 D

13、，2 B ，3 C，4 B ，5 A ，6 B 。 二、12p0dqf(rcosq,rsinq)rdr，23p，3dqr3dr 012pR002pa33三、12p，2p(1-e-a)，3ap，42p(5ln10-ln2-4)，5(a,b)=(,p)。 23第三节 二重积分的应用 一、 1 D，2 C。 二、12f(x,y)dxdy=dyD13y+231f(x,y)dx+dy34y+23y-2f(x)dx， p40dq2cosq2cosq+sinqf(rcosq,rsinq)rdr，31，40。 16第四节 三重积分的概念 一、1 A ，2 A ，3 C ，4 C ，5 C，6 A 二、13(e

14、-1)2pa24。 22四、原式=10dzdxz11-x0f(x,y,z)dy+dzdx001z1-xz-xf(x,y,z)dy。 第五章 三重积分的计算 一、1 D，2C， 3 B，4 A，5 C，6 D。 p二、1 2 Df(x,y)ds=4dtf(rcost,rsint)rdr， 001eDx2+y2pds=20dtrerdr=012p4(e-1)。 三、1 p1，1. (I1,I2,I3)=(0,0,)，2. j(r)=2pr(1-r)f(r2)，3. 122j(r)=4pr2f(r2)。 4. j(z)=p(R2-z2)f(z)。 第六节 三重积分的应用 27571(1), (2)

15、, (3) p, (4) p, (5) 21p 312462a2a73(A4-a4)a23,20,0, 0,0,， 338(A+a)553043(1)J=p2hR4,J=p10hR4，4. Jz=r2dm=(x2+y2)m(x,y,z)dS，5. SS8p。 3第九章 综合练习 3p-21p21 2p, 2 , 3 ，3ln2-2，4，5 ，6-，7 cpR， 4422p178pp2-8p，12. a5。 8，9ln2, 10 , 11. 81581216512224ab+b2c2+c2a2，16 13. kpR，14 (0,0,R)，15 R ， 42336814ar，18 pa2(62+5

16、5-1)，19 。 1710563第十章 曲线积分与曲面积分 第一节 第一类曲线积分与第一类曲面积分 1. 2p55-11052221(p+)p+8p。，2 . ，3. ，4 ，.5. ，6. 252a(2-2)315a312第二节 第二类曲线积分 1. 0，2. 2ap，3.-2，4.(1)-2572,(2)-,(3) -. 31215第三节 格林公式，平面曲线积分与路径无关的问题 1. p， 2. 8p，3.-p，4. 0，5. 3pa2 23x+11321+c x+xy-xy2+y3+c, u=33x+yxdy-ydxx57. ydx+xdy=d(xy)，3, ， =d(-)-6yy26

17、. u=p2u=xcosy+ycosx+c, -。 4k351p3pa214(e-1)，10. 8. ,1， 9(1)pR-2abp- ,12. 2s。 23202813132213. U=x+xy-xy-y+c 。 33U=x2cosy+y2cosx+c 。 1114. 计-2, 9 e-。 222215.U=xcosy+ycosxs+c 为势函数。 x+y(2)U=xe+ex+y-yex+y+yex+c 为势函数。 22第五节 高斯公式与散度 1R6p122221. ，2 . 2ap，3. -，4. ，5 .abc+abc+abc， 24815212326. 3a 2paH。 pR5，7.

18、 (1)pa2+a365第六节 斯托克斯公式与旋度 232pa，.2 . 3a2，3. (1) 2pr2环量为2pR2 ， 3rr122rot=0rotA=04. ，5 . (1) (2) ，6. (-4xz-16z)j-3xyk， 312p347. : (1) 3a,(2) (3) -h4，8 . 2pa，9. (1)6,(2)8,(3)18， pR5521313134332210. u=x+y+z-2xyz+c，u=x+3xy+y+c。 3333第十章 综合练习 1. . -1p324m-n-sin1 ，4. a，5. 4p，6. a，7. 42232834258. (1)质心P(0,0,

19、a)，(2)转动惯量ap，9. (1)质心(0,0,(-)p)(2)转动惯35158342-55，10. 310(sin1+cos1-1)，11. -3，12. 4p，13. (1+2)p， 量32223-24p5p24-1+5R，19 . 0， R，16. 0，17. h=14 .0，15. -a，18. 58220. (1)u=sinxy-cosz+c,(2) u=x2cosy+y2cosx+c。 3 . 第十一章 常微分方程 第一节 常微分方程的基本概念 一、1 C ，2 C ，3 A ，4 D ，5 A ，6 B ，7 A ，8 D ，9 A ，10 B ，11 B 。 111三.y=

20、(x3-1). 四.x=t4-t2+t. 1223第二节 一阶常微分方程 一、1B，2C ，3B ，4D ，5B ，6 D，7 B ，8 A，9 A ，10 A ，11 D，12 A ，13 B ，14 B ，15 C 。 二、y=xcosx+ccosx，2.y=sinx+cosx1+ce-x，3.y=ex+ce-x，4.y=xex+cex。 22三x2+y2=C； y2+21-x2=C； y=1+tan(x+C)； y=3tan(3t2+C). y1四.(1)(x2+y2)3=Cx2; (2)y=xeCx+1; (3)arctan-ln(x2+y2)=C. x2五.(1)xsinx+cosx

21、+1=y6-y; (2)y=-xlnx+x y+51六.(1)arctan-ln(x-1)2+(y+5)2=C; (2)2x+(x-y)2=C. x-12sinx+C七.(1)y=e-x(x+C); (2)y=Ccosx-2cos2x; (3)y=2; x-111 (4)2xlny=ln2y+C; (5)x=Cy3+y2; (6)x=Ce2y+(2y2+2y+1); 421111(7)y=Ce2x-ex+x+,y=2e2x-ex+x+;(8)s=Ce-sint+sint-1. 2424八.(1)y-2222=Ce2x21+x+22; (2)1=(x+C)cosx;y (3)1y2=C(1-x2

22、1)41+(x2-1)3; (4)x-1=Ce-y22+2-y2. 九.(1)是，x2y-x=C； 是，x4+y4-x2y2=C； 是，xy=C； (4)是，xsin(x+y)=C； (5)a=b=1时，是，yex+xey=C. 11x1y22十.(1)2,x-=C; (2)2,ln(x+y)-arctan=C; xyxx+y221x-x211x22=C; (4) 2(3)2,ln(x+y)-arctan=C; yyyx+y222十一.(2)当a+b=1时,是方程的解. 十二 f(x)=e2xln2. 十三.t=ln3;s=v0. 321十四.y=3x-x2(0x3). 十五.f(x)=x+.

23、 33x第三节 可降阶的高阶常微分方程 一、 1 B ，2 C ，3 C ，4 D ，5 B ，6 A 。 二、求解下列各微分方程 y=c1+c2x+2xlnx+x， (2).，y=c1ekx+c2e-k。 三.(1)y=(x-3)ex+C1x2+C2x+C3; (2)y=C1e2x+C2; (3)y=x1;及y=C C1x+C2x21+C12x (4)y=C1e+C2x+C3; (5)y=;(6)ln1+Cx-+Cy=2+ln. 122C2C11 四. y=1-x. 第四节 高阶线性微分方程 一、1 C ，2 D ，3 D 。 二.y=C1coswx+C2sinwx. 三. (1)线性无关;

24、 (2)线性无关; (3)线性相关; (4)线性相关; (5)线性无关. 第五节 常系数线性微分方程 一、1 C ，2 A ，3 D ，4 C ，5 D，6 A ，7 A ，8 B ，9 B 。 二、填空题 1 y=ae-x+be-3x，2.y=axex+b，3.y=(a+bx)ex+cx2ex， 4. y=(ax+b)sinx+(cx+d)cosx，5.y-y=(a+bx)ex+(c+dx)。 三. (1)y=C1e-5x+C2e-3x; (2)y=(C1+C2x)e-3x; (3)y=e-2x(C1cosx+C2sinx); (4)y=C1cosx+C2sinx; (5)y=(C1+C2x

25、+C3x2)eax; (6)y=C1cos2x+C2sin2x+C3e2x+C4e-(8)y=(C1+C2x)cosx+(C3+C4x)sinx. 四.(1)y=e-xcosx; (2)y+2cos3x+3sin3x. 五.(1)Axex; (2)(Ax+B)xex; (3)(Ax2+Bx+C)xe2x; (4)A; (5)Ax+B; (6)(Ax3+Bx2+Cx+D)e-x; (7)Ae3x; (8) Axex+(Bx+C)e3x; (9)ex(Acosx+Bsinx); (10)(Acos2x+Bsin2x). 11六.(1)y=C1ex+C2e2x-x(1+x)ex; (2)y=C1ex

26、+C2e-3x-xe-3x; 2435xx2123xx6x13x(3)y=C1e+C2e-(x+)e; (4)y=(C1+C2x)e+(+)xe; 4412211(5)当a1时,y=C1cosax+C2sinax+2sinx,当a=1时, y=C1cosx+C2sinx-xcosx. 2a-11xexx(6)y=e(C1cosx+C2sinx)+(cosx+xsinx); (7)y=C1cos2x+C2sin2x-xcos2x; 241(8) y=C1cosx+C2sinx+x+xsinx. 22x; (7)y=C1+C2x+C3x2+C4e-3x; 1七.y=(C1+C2x)e2x+cos2

27、x. 8b2b2x八.(1)y=(1-2)cosax+2; (2) y=(1+)sin2x; (3) y=ex-(1+2x)e-2x. 4aa第六节 欧拉方程 1一. (1)y=C1x-1+C2x2; (2)y=C1x2+C2x3+; 3x+1)+C2sinln(x+1)+1. (3)y=C1cosln(二.11.55% 三.(1)N(t)=694e0.366t; (2)N(0)=694. 第七节 常微分方程在经济管理中的应用 一.-30. 二.u=. +1)a+c三.Q(t)=20e-t/20. 四.p=+Ce-k(b+d)t. b+da+1-bxa+1五.P=(P0-)e-x+. bbk(

28、e8kt8(e8kt-1)b)e六.(1)Y(t)=(Y0-1-ab)e I(t)=(1-a)(Y0-1-a1-atka+1-abtbb)eka+; ; C(t)=a(Y0-1-a1-a1-a1-atka; (2) limY(t)1=. tI(t)1-a七.R=(20x2-2x3)1/3 aat八.C(t)=+(C0-)b-1. tt0t0第十一章 综合练习 4以缉私艇发现走私船时走私船所在位置为坐标原点，正北方向为y轴正向建立坐标系.aac1x1+r1x1-rcrr=1时，缉私当r=1时，追赶路线为曲线y=；当-+bb21+rc1-rc1-r21x2-c2x艇追赶路线为曲线y=(-cln)；当r1时，缉私艇不可能追上走私船. 2b-ab5.P(t)=ebt. d+(b/P0)-d