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1、一元三次方程的解法详细详细一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0的解法 先把方程ax3+bx2+cx+d=0化为x3+px+q=0的形式： 令x=y-b，则原式变成 3aa(y-b3bb)+b(y-)2+c(y-)+d=0 3a3a3aby2b2yb32byb2b2a(y-+2-)+b(y-+)+c(y-)+d=0 32a3a9a3a3a27a3b2b32b2b3bc2ay-by+y-+by-y+cy-+d=0 3a3a3a27a29a232b22b3bcay+(c-)y+(d+-)=0 23a3a27a3cb2d2b3bcy+(-2)y+(+-)=0 a3aa27a33a23cb2d2b3
2、bc-如此一来二次项就不見了，化成y+py+q=0，其中p=-2，q=+。 a27a33a2a3a3- 对方程y3+py+q=0直接利用卡尔丹诺公式： y1=3-qqpqqp+2+3+3-2+3 223223qqpqqp+2+3+w23-2+3 223223qqpqqp+2+3+w3-2+3 223223y2=w3-y3=w23-其中w=-1+3i。 qp23其中至少有两个根相等；0时，有三不等实根。 D=2+3是根的判别式：0时，有一个实根两个虚根；0时，有三个实根，且附：方程y3+py+q=0 求根公式的推导过程： 不妨设p、q均不为零，令y=u+v 代入得，u3+v3+(u+v)(3uv
3、+p)+q=0 p选择u、v，使得3uv+p=0，即uv=- 3代入得，u3+v3=-q p3将式两边立方得，uv=- 27联立、两式，得关于u3、v3的方程组： u3+v3=-qpp3，且uv=- 33uv=-32733p3=0的两根u3、v3。于是问题归结于求上述方程组的解，即关于t的一元二次方程t+qt- 272q4p3Dqp2设D=q+，D=+，T=-， 227423又记u3的一个立方根为u1，则另两个立方根为u2=w1u1，u3=w2u1，其中w1、w2为1的两23个立方虚根。 以下分三种情形讨论： 1）若D0，即D0，则u3、v3均为实数，可求得u3=T+D，u3=T-D。 取u1
4、=3T+D，v1=3T-D， p， 3p即u1、v1；u2、v3；u3、v2，也就是满足u1v1=u2v3=u3v2=3T2-D=-， 3在y=ui+vj，(i,j=1,2,3)组成的九个数中，有且只有下面三组满足uv=-于是方程的根为这时方程有一个实根的形式，这里的根式2）若同理，可求得及，两个共轭虚根，都是在实数意义下的。 。取 ， ， ，其表达式就是前面给出的“卡丹公式”，即D0时，可求得 方程有三个实根，其中至少有两个相等的实根。 pqp3）若D0，即D0时，因为=-0， 323则u3、v3均为虚数，求出u3、v3，并用三角式表示，就有其中T，Q 323， 都是实数， 4 同理其中取则 ；，且， ， 显然，当且仅当取，；这三组时才满足， ， 于是方程得三个实根为具体表示出来就为： 其中4 当， 时，方程有三个实根。 的求根公式如下： ， 综上所述，实系数一元三次方程令，1）当， 时，方程有一个实根和两个共轭虚根， 时，方程有三个实根，其中至少有两个相等的实根， 2）当3）当， ， 时，方程有三个实根， ，
