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1、一元二次不等式高次不等式分式不等式解法资料有大小学习网收集 课题： 目标： 一元二次不等式、高次不等式、分式不等式解法 1巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握掌握简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法； 2培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力； 3激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想。 重点：简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法。 难点：正确串根。 过程： 一、复习引入 1一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。 2一元二次不等式的解法步骤。 引言：今天我们来研究一元二次不等式的另外
2、解法，以及特殊的高次不等式、分式不等式的解法。 二、新课 一元二次不等式与特殊的高次不等式解法 例1 解不等式(x+4)(x-1)0x-10须异号，原不等式的解集是下面两个不等式组：与的解集x+40x-10x-10的并集，即x|x|=x|-4x1=x|-4x1.书写时可x+40按下列格式： x-10x-10解二：(x-1)(x+4)0或 x+40x或-4x1-4x1， 资料有大小学习网收集 资料有大小学习网收集 原不等式的解集是x|-4x0(或ax2+bx+c0(a0)相应的方程ax2+bx+c=0(a0)的两根为x1、x2且x1x2，则ax2+bx+c0a(x-x1)(x-x2)0； x-x
3、10,xx1,若a0,则得 或或x-x20.xx2.当x1x2时，得xx2；当x1=x2时，得xR,且xx1. 若a0,则得x-x10,x-x10,xx1,x0,x-x20.xx2,xx2.当x1x2时，得x1xx2；当x1=x2时，得x. 分析三：由于不等式的解与相应方程的根有关系，因此可求其根并由相应的函数值的符号表示出来即可求出不等式的解集. 解：求根：令(x-1)(x+4)=0，解得x分别为-4，1，这两根将x轴分为三部分：； 分析这三部分中原不等式左边各因式的符号 x+4 x-1 (x-1)(x+4) - - + + - - + + + 由上表可知，原不等式的解集是x|-4x0； 解
4、：检查各因式中x的符号均正； 求得相应方程的根为：-2，1，3； 列表如下： x+2 x-1 x-3 - - - -2 1 3 + - - + + - + + + 资料有大小学习网收集 资料有大小学习网收集 各因式积 - + - + 由上表可知，原不等式的解集为：x|-2x3. 小结：此法叫列表法，解题步骤是： 将不等式化为(x-x1)(x-x2)(x-xn)0(0. x|-1x0或2x3. 思考：由函数、方程、不等式的关系，能否作出函数图像求解 例2图 练习图 直接写出解集：x|-2x3. x|-1x0或2x0(0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“0”,则找“线”在x轴下方的区间.
5、 注意：奇穿偶不穿 资料有大小学习网收集 资料有大小学习网收集 例3 解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)0. 解：检查各因式中x的符号均正； 求得相应方程的根为：-1，2，3； 在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次，如下图： 原不等式的解集为：x|-1x2或2x3. 说明：3是三重根，在C处穿三次，2是二重根，在B处穿两次，结果相当于没穿.由此看出，当左侧f(x)有相同因式(x-x1)n时，n为奇数时，曲线在x1点处穿过数轴；n为偶数时，曲线在x1点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇穿偶不穿”. 练习：解不等式：(x-3)(x+1)(x2+4x+4)0. 解：将原不等式化为：(x-3)(x
6、+1)(x+2)20； 求得相应方程的根为：-2，-1，3； 在数轴上表示各根并穿线，如图： 原不等式的解集是x|-1x3或x=-2. 说明：注意不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿-2点，但x=-2满足“=”的条件，不能漏掉. 2分式不等式的解法 例4 解不等式：x-30. x+7错解：去分母得x-30 原不等式的解集是x|x0x-30x-30或x或-7x3-7x3， x+7x+70原不等式的解集是x|-7x3. 解法2：化为二次不等式来解： (x-3)(x+7)0x-30-7x3， x+7x+70资料有大小学习网收集 资料有大小学习网收集 原不等式的解集是x|
7、-7x3 说明：若本题带“=”，即(x-3)(x+7)0，则不等式解集中应注意x-7的条件，解集应是x| -7x3. 小结：由不等式的性质易知：不等式两边同乘以正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以负数，不等号方向要变；分母中有未知数x，不等式两边同乘以一个含x的式子，它的正负不知，不等号方向无法确定，无从解起，若讨论分母的正负，再解也可以，但太复杂.因此，解分式不等式，切忌去分母. 解法是：移项，通分，右边化为0，左边化为x2-3x+20. 例5 解不等式：2x-2x-3f(x)的形式. g(x)解法1：化为不等式组来解较繁. 22x2-3x+2(x-3x+2)(x-2x-3)002解法2：
8、2 x-2x-3x-2x-30(x-1)(x-2)(x-3)(x+1)0， (x-3)(x+1)0原不等式的解集为x| -1x1或2x2. 练习：1.课本P21练习：3；2.解不等式x+5答案：1.x|-5x8；x|x-1/2；2.x|-13x0(或0f(x)g(x)0式，转化为：(或)，即转化 g(x)0g(x)0资料有大小学习网收集 资料有大小学习网收集 为一次、二次或特殊高次不等式形式 . 3一次不等式，二次不等式，特殊的高次不等式及分式不等式，我们称之为有理不等式. 4注意必要的讨论. 5一次、二次不等式组成的不等式组仍要借助于数轴. 四、布置作业 五、思考题： 1 解关于x的不等式：
9、(x-x2+12)(x+a)0， 相应方程的根为：-3，4，-a，现a的位置不定，应如何解？ 讨论： 当-a4，即a-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下： 原不等式的解集为x| -3x-a. 当-3-a4，即-4a3时，各根在数轴上的分布及穿线如下： 原不等式的解集为x| -3x4. 当-a3时，各根在数轴上的分布及穿线如下： 原不等式的解集为x| -ax4. 0当-a=4，即a=-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下： 原不等式的解集为x| x-3. 当-a=-3，即a=3时，各根在数轴上的分布及穿线如下： 原不等式的解集为x| x4. 资料有大小学习网收集 资料有大小学习网收集 2x2+2kx+k1对于x取任何实数均成立，2若不等式求k的取值范围.(提24x+6x+3示：4x2+6x+3恒正) 资料有大小学习网收集
