一元二次方程的解法易错点剖析.docx

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1、一元二次方程的解法易错点剖析一元二次方程易错题剖析 一、在确定一元二次方程时，容易忽视二次项系数a0 题目1 关于x的方程(k21)xk2k1xk0是一元二次方程，求k的值 错解：k22k12 即k22k30 k13，k21. 错因：方程ax2bxc0为一元二次方程，这里强调a0.当k2 1时，使k210，原方程是一元一次方程. 正解： 2k2k12, k3. 2k10,2二、在使用一元二次方程根的判别式时，容易忽视二次项系数a0 题目2 关于x的一元二次方程(m1)x223mx3m20有实根，求m的取值范围. 错解：方程有实根，D0， 即(23m)24(m1)(3m2)0， 4m80，m2.

2、 错因：因为题中说明是一元二次方程，则还应满足m10，即m1。 正解： 2(23m)4(m1)(3m2)0, m10,m2，且m1. 三、忽视根的判别式和二次项的系数a应满足的条件 题目3 已知关于x的方程x2mxn0的两根之积比两根之和的2倍小，并且两根的平方和为22，求m，n的值. 1 12错解：设两根分别为x1，x2，则x1x2m，x1x2n. 12(x1x2)x1x2由题意，得2, x2x222,1212mn,即2 m22n22,m17,m23,解得27 或 13 n,n.1222错因：因为方程有两根，说明根的判断式D0，即m24n0，但m7和n27不满足，应舍去.又这里二次项系数a1

3、是已知的，解题时可不考虑。 2正解： 2727时，D7240，不合题意，舍去； 221313当m3，n时，D(3)240， 2213m3，n. 2当m7，n四、忽视两未知数的值中有一个是增根的情况 题目4 a为何值时，方程xx14xa只有一个实数根. x1xx(x1)错解：原方程化为2x22x(1a)0. 此方程有两个相等的实数根时，分式方程只有一个实根， D(2)242(1a)0， a. 错因：当方程2x22x(1a)0的两实根中有一个是原方程的增根，另一根是原方程的根时，命题也成立. 正解： 把x0代入2x22x(1a)0，得al； 把x1代入2x22x(1a)0，得a5. 当a1，a21

4、，a35时，原分式方程只有一个实数根. 2 1212五、讨论不定次数的方程的解时，只考虑是二次方程时的情况，忽视是一次方程时的情况. 题目5 已知关于x的方程(k1)x22kxk0有实根，求k的取值范围. 错解：当10，k21)0，4k4k4k0(2k)4k(k22即，k1时，方程有实根， k0且k1时，方程有实根. 错因：只考虑了方程是一元二次方程时方程有根的情况.本题并没有说明方程有“二次”和“两根”的条件，允许它是一次方程. 正解： 当k1O，即k1时， 1方程化为2x10，x-. 2当k0时，方程有实根. 六、不理解一元二次方程的定义 题目6 方程(m1)xm212mx30是关于x的一

5、元二次方程，求m的值. 错解：由题意可得m212，m1 错因：一元二次方程满足的条件是：只含有一个未知数；未知数的最高次数为2；整式方程方程经整理可转化为一般形式：ax2bxc0(a0)本题在解题过程中忽略了一元二次方程系数不为零的条件 正解： 由题意可得，m212，且m10，m1且m1，m的值是1 七、二次三项式的配方与一元二次方程的配方的知识混淆 题目7 用配方法求2x212x14的最小值 错解： 2x212x14x26x92(x3)22 3 当x3时，原多项式的最小值是2 错因： 一元二次方程配方时，二次项系数化为1，方程两边同时除以二次项系数，而二次三项式的配方不能除以二次项系数，而应

6、提取二次项系数要注意等式与代数式变形的区别 正解： 2x212x142(x26x7)2(x26x92)2(x3)24 当x3时，原多项式的最小值是-4. 八、解方程中错误使用等式的性质 题目8 解方程x26x 错解： x26x，解这个方程，得x6 错因： 本题想利用等式的性质进行求解，但方程两边不能同除以值为零的代数式 正解： x26x， x26x0， x(x6)0， x10，x26 九、题目9 关于x的方程2x4xk1，有一个增根为4，求k的值 1.对增根概念理解不准确 错解1：把x4代入原方程，得2444k1，解得 k3. 错因：本解法错误在于对增根概念理解不准确，既然是增根，代到原方程中

7、去，等式不应该成立实际上解法中把4当作原方程的根，而没有当作增根来处理 2.忽略题中的隐含条件 错解2：将原方程化为整式方程，得 4(xk)(x5k)2 (*) 把x4代入整式方程(*)，得4(4k)(45k)2 4 解之，得 k13，k25答：k的值为3或5 错因：本解法已经考虑到增根的定义增根是在将无理方程化为整式方程时产生的，所以题目中的增根x4肯定是在解整式方程(*)时产生的将x4代入整式方程(*)，等式应该成立求出k13，k25，但本解法忽略了对k值的验证 将无理方程化为整式方程时，可能产生增根，也可能不产生增根，因此还必须将求得的k值和x4代到原无理方程中去验证 正解： 将k13，

8、x4代入原无理方程，左边244 431，右边1左边右边 当k3时，x4是适合原方程的根(不是增根) 将k25，x4代入原无理方程，左边1，右边1，左边右边 当k5时，x4是原方程的增根 综上所述，原方程有一个增根为4时， k的值为5 十、忽略前提，乱套公式 题目10 解方程：x2+3x=4. 错解：因为=32-414=-70，所以方程无解. 错因：用公式法解一元二次方程，必须先把方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a0).如果同学们没有理解这一点，胡乱地套用公式，解方程时就会造成错误. 正解：方程可化为x2+3x-4=0. =32-41=250. x=-35. 2即x1=1, x2=-4.

9、5 十一、误用性质，导致丢根 题目11方程(x-6)= x-5的解是 A.x=5 B.x=5或x=6 C.x=7 D.x=5或x=7 错解：选C.将方程的两边同时除以x-5得x-6=1,解得x=7. 错因：在解一元二次方程时，不能在方程的两边同时除以含有未知数的代数式，否则就会产生漏根的现象，导致解题出错. 正解：选D.移项得(x-6)-( x-5)=0，因式分解得(x-7)=0,解得x1=5，x2=7. 十二、考虑不周，顾此失彼 题目12 若关于x的一元二次方程(m+1)x2- x+m2-m-2=0的常数项为0，则m的值为 A. m=-1 B.m=2 C.m=-1或m=2 D.m=1或m=-

10、2 错解：据题意可得m2-m-2=0，解得m1=-1,m2=2，所以选C. 错因：错解中根据题中条件构造关于m的方程m2-m-2=0，以达到求m的值的目的，这样思考并没有错，错就错在忽略了一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0中必须有a0这一条件. 正解：据题意可得m2-m-2=0，解得m1=-1,m2=2.又因为m+10,故m-1，所以m=2，故选B. 十三、一知半解，配方不当 题目13 解方程：x2-6x-6=0. 错解：移项，得x2-6x=6，故2=0 解得x1=x2=3. 错因：运用配方法解一元二次方程时，同学们最容易犯的错误是方程等号一边6 加上了一次项系数一半的平方，而另一边却

11、忘了加或者加错.所以用配方法解一元二次方程时，要正确理解配方法的实质及解题的步骤，避免配方不当产生错误. 正解：移项，得x2-6x=6, 所以x2-6x+9=6+9, 即(x-3)2=15, 解得x1=3+15,x2=3-15. 十四、概念不清，导致错误 题目14 下列方程中，一元二次方程为 . 2(1)4x2=3x； (2)(x2-2)2+3x-1=0； (3)x+4x-133=0； 32(4)x2=0； (5)x-1=2； (6)6x(x+5)=6x. 错解：多找了(2)或(6)或少找了(3)或(4) 错因：多找了(2)或(6)是因为没将方程整理，少找(3)是将它看作是分式方程，少找了(4

12、)是因为方程没有一次项，常数项过于简单判断一方程是否为一元二次方程，首先看它是否为整式方程，若是整式方程，再进行整理，整理之后再看它是否符合定义的另两个特点. 正解：是方程(1),(3),(4) 十五、忽略二次项系数a0导致字母系数取值范围扩大 题目15.如果关于x的一元二次方程(m-2)x2-3x+m2-4=0有一个解是0，求m的值 22错解：将x0代入方程中，得(m-2)0-30+m-4=0， m2=4，m=2. 错因：由一元二次方程的定义知m-20，而上述解题过程恰恰忽略了这一点，7 正解： 将x=0代入方程中，得 (m-2)02-30+m2-4=0, m2=4,m=2. 又因为m-20

13、，所以m=-2. 十六、忽略一元二次方程的“元”和“次”都是对合并同类项之后而言的，导致错解 题目16关于x的方程mx2-3x=x2-mx+2是一元二次方程的条件是什么？ 错解：由一元二次方程的定义知m0. 错因：一元二次方程的“元”和“次”都是对合并同类项之后而言的. 2而上述解题过程恰恰忽略了这一点，整理得(m-1)x-(3-m)x-2=0， m-10,m1 正解：关于x的方程mx2-3x=x2-mx+2是一元二次方程的条件为m1 十七、忽略一元二次方程有实根条件0导致错解 题目17. 已知x1,x2是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的两实根，求x12+x22的最大值. 错解：由

14、根与系数的关系得 x1+x2=k-2，x1x2=k2+3k+5， x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(k-2)2-2(k2+3k+5)=-k-10k-6=-(k+5)2+19,2所以当k=-5时，x12+x22有最大值19. 错因：当k=-5时，原方程变为x2+7x+15=0，此时0，方程无实根. 错因是忽略了0这一重要前提. 8 正解：由于方程有两实根，故0， 即-(k-2)-4(k2+3k+5)0, 解得4k4. 32所以当k=-4时，x12+x22有最大值18. 十八、未挖掘题目中的隐含条件导致错解 2222题目18.若(x+y+1)(x+y-3)=5,则x2+y2=_. 错

15、解：(x2+y2)2-2(x2+y2)-8=0(x+y-4)(x+y+2)=02222解得x2+y2=4或x2+y2=-2 错因：忽视了x2+y2的非负性，所以应舍去x2+y2=-2. 正解：4 题目19、已知方程ax2+3x-5=0有两个实数根，求 的取值范围 错解： 已知方程有两个实数根， 0， 即32-4a(-5)0, a9. 209的实数 20所以的取值范围是大于或等于错因：因已知方程有两个实数根，这个方程必须是一元二次方程，解答过程忽略了二次项系数不为0 的条件。 正解： 9且0 20题目20、 当k 为何值时，方程kx2-2x+3=0有实根? 错解： 已知方程有实根， = (2)4

16、 3 k0， 9 解得k1又k0， 3 当k1且k0 时，方程kx2x + 3= 0 有实根 3错因： 题目未说明已知方程为一元二次方程，当k = 0 时，方程为一元一次方程，此时有实根x=3，也符合题意。 2正解：当k1时，已知方程有实根 3题目21、 已知关于x 的方程( m 1) x ( m + 1) x + 1 = 0 的两实数根互为倒数，求m的值. 1错解：已知方程的两根互为倒数，由根与系数关系，知m2-1=1， 解得m=2 1经检验，它们都是方程m2-1=1的根， 所以m 的值为2，2 错因：求出的m 值需保证已知方程有两个实数根，因此m 的值除满足是解题过程中的分式方程的根外(

17、m 1) ，还需代入已知方程的根的判别式进行检2验实际上，当m =2时，方程为x-(1-2)x+1=0， =3-22-40，此时已知方程无实数根 正解： m 的值是2 222题目22、 已知x1，x2是方程x+px+q=0的两个实数根，且x1+x2+3x1x2=1，(x1+11)+(x2+)=0，求p，q 的值 x1x2x2=q. 错解：由根与系数关系，有x1+x2=-p,x122由x1+x2+3x1x2=1,得 (x1+x2)2+x1x2=1， p + q = 1 10 1x)+(x1由(x1+2+)=01x2，得 (x11+x2)(1+x)=01x2， -p(1+1q)=0 由得p=0 或q=1 当p=0 时，代入得q=1 当q =1 时，代入得p=2 所以p，q 的值是0，1或2，1 或2，1 错因：与题目3 类似，当p=0，q=1 时，方程为x+ 1 =0，此时没有实数根。正解： p，q 的值为2，1 或2，1 11