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1、一元二次方程的概念及解法一、考点突破 a不为零要切记。 1. 理解一元二次方程的定义、解，ax2+bx+c=0，a、b、c均为常数，尤其2. 熟练掌握一元二次方程的几种解法，如因式分解法、公式法等，弄清化一元二次方程为一元一次方程的转化思想。 二、重难点提示 熟练掌握一元二次方程的几种解法。 一、知识结构 二、解题策略与方法 解一元二次方程的基本策略是：降次。降次的主要方法是因式分解法和开平方法。 1. 一元二次方程的概念 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程 2一般形式：ax+bx+c=0 2. 一元二次方程的解法 直接开平方法 形如(mx+n)2=r(r0)的
2、方程，两边开平方，即可转化为两个一元一次方程来解，这种方法叫做直接开平方法 配方法 把一元二次方程通过配方化成(mx+n)=r(r0)的形式，再用直接开平方法解，这种方法叫做配方法 2用配方法解一元二次方程ax+bx+c=0的一般步骤是： 化二次项系数2为1，即方程两边同除以二次项系数a； 移项，也就是使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； 配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方； 化原方程为(x+m)2=n的形式； 如果n0就可通过两边开平方来求出方程的解；如果n0，则原方程无解 公式法 通过配方法可求得一元二次方程ax+bx+c=0(a0)的求根公式：2-bb2-4acx=，用求
3、根公式解一元二次方程的方法叫做公式法 2a一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式是b2-4ac利用根的判别式可以判定方程实根的个数；利用根的判别式也可以建立等式、不等式，求方程中的参数的值或取值范围；通过根的判别式可证明与方程有关的代数问题，也可运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题等。 用公式法解一元二次方程的一般步骤是： 化方程为一元二次方程的一般形式； 确定a,b,c的值； 求出b2-4ac的值；若b2-4ac0，则代入求根公式求方程的解；若b2-4ac0，则方程无解 因式分解法 如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的左边可以分解为两个一次因式的积，
4、那么根据两个因式的积等于0，这两个因式至少有一个为0，原方程可转化为两个一元一次方程来解，这种方法叫做因式分解法 因式分解法的步骤是： 将方程右边化为0； 将方程左边分解为两个一次因式的乘积； 令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式，否则会丢根 能力提升类 例1 方程x2mx50 是关于x的一元二次方程，则m满足的条件是 A. m1 B. m0 C. |m|1 D. m1 一点通：该方程为关于x的一元二次方程，根据一元二次方程的定义中a0的条件可求。 答案：C 评析：根据一元二次方程中二次项的系
5、数不为0这一条件可确定二次项系数中所含字母的取值范围. 2例2 解关于x的方程：ax+c=0(a0) 一点通：含有字母系数的方程，一般需对字母的取值范围进行分类讨论 2解：因为a0，所以x=-c。 a当c0时，x1x20； 当ac0(即a,c同号时)，方程无实数根 评析：本题主要考查分类讨论思想。 例3 解关于x的方程： (m-1)x2+(2m-1)x+m-3=0 一点通：含有字母系数的方程，一般需对字母的取值范围进行讨论讨论m，由于二次项系数含有m，所以首先要分m-1=0与m-10两种情况；当m-10时，再分D0，D=0，D，且m1时，D0，方程有两个不相等的实数根， 121-2m12m-1
6、1； x1,2=2(m-1)11当m=时，D=0，方程有两个相等的实数根， 121-2mx1=x2=5； 2(m-1)11当m时，D0，方程没有实数根。 12评析：本题主要考查分类讨论，一元二次方程的概念，根的判别式及一元二次方程的解法等知识，并强化分类讨论的思想方法。 综合运用类 2例4 三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x-12x+35=0的根，则该三角形的周长为 A. 14 B. 12 C. 12或14 D. 以上都不对 一点通：解这个方程得x1=5，x2=7。结合三角形三边关系，第三边的范围是1x0时，x-3x-4=0，所以x1=4,x2=-1 2当x1 原式即x-11=x-1-
7、 xx平方，整理得x(x-1)-2x(x-1)+1=0 配方得x(x-1)-1=0 开方x(x-1)-1=0 移项x(x-1)=1 再平方x(x-1)=1 整理x2-x-1=0 解之，得x=215 2取不小于1的根，得x=经检验，x=1+5 21+5是原方程的解。 2点评：无论是高次方程还是根式方程，我们看到主要的解题策略都是通过适当的转化手段，变成我们常见的一元一次方程或者一元二次方程来求解。 1. 若方程3x2bxc0的解为x11，x23，则整式3x2bxc可分解因式为_。 2. 已知：关于x的方程2x22x220有两相等实数根 求证：ac2b 3. 解方程：(3x-1)(x-1)=(4x
8、+1)(x-1) 4. 解方程：(x+3)4+(x+1)4=82 5. 已知二次方程3x2-(2a-5)x-3a-1=0有一个根为2，求另一个根，并确定a的值 22226. 设a，b，c为DABC的三边，且二次三项式x+2ax+b与x+2cx-b有一次公因式，求证：DABC一定是直角三角形 1. 3(x-1)(x+3) 2. 证明： 一元二次方程有两个相等实数根， 0，即2242220 220 a24b2c22ac4ab4bc0 24b4b20 20 ac2b0 即ac2b 3. 解：(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)=0 (x-1)(3x-1)-(4x+1)=0 (x-1)(x+
9、2)=0 x=1,x2=-2 所以14. 解：设 y=(x+3)+(x+1)=x+22， 于是原方程变为 (y+1)4+(y-1)4=82， 整理得 y4+6y2-40=0 解这个方程，得y=2，即 x+2=2 解得原方程的根为x1=-4，x2=0。 5. 解：由方程根的定义知，当x=2时方程成立，所以 322-(2a-5)2-3a-1=0 故a=3原方程为3x2-x-10=0，即(x-2)(3x+5)=0， 5所以另一个根为x=-。 36. 证明：因为题目中的两个二次三项式有一个公因式，所以二次方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0必有公共根，设公共根为x0，则 2x0+2ax0+b2=0， 2x0+2cx0-b2=0。 两式相加得 22x0+2(a+c)x0=0， x0x0+(a+c)=0 若x0=0，代入式得b=0，这与b为DABC的边不符，所以公共根x0=-(a+c)。22把x0=-(a+c)代入式得(a+c)-2a(a+c)+b=0， 整理得a2=b2+c2 所以DABC一定是直角三角形
