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1、一次函数与三角形的面积一次函数图象与三角形面积 摘要 一次函数的图象与三角形的面积综合在一起的问题，是初中函数里面的热点、难点问题。这类问题主要是考查学生的分析问题、理解能力和综合素质。由于在解题中常常用到数形结合，化归，分类讨论等思想，题型复杂多样。 关键字 一次函数；三角形；面积；图像 一次函数的图象与三角形的面积综合在一起，是初中函数里面的热点、难点问题。在解题中常常用到数形结合，化归，分类讨论等思想。题型变化多样，学生学得非常吃力。遇到这种情况，笔者从班级情况和对试题的研究深入研究的前提下，认为与一次函数有关的面积问题有以下几类，并对每类问题规律总结如下，以供教学和学习的参考 一、一条
2、直线与两条坐标轴围成的三角形的问题.已知三角形的面积求函数解析式. k未知，b已知 例1、已知直线y=kx+6与两坐标轴所围成的三角形的面积为24，求这个函数的解析式？ 解：设直线y=kx+6与x轴和y轴分别交于两点A、B 由y=0,得x=-; 由x=0,得y=6. 6k6 A (-、0)、B k OA=-6 , OB=6. k161 S= OAOB=-6=24. 22k 1 k=，k=343 43x+6. 4 这个函数的解析式为y=说明 求函数解析式关键是利用三角形面积等于24来建立等式，三角形的面积等于两直角边的积的1.解此题时注意直角边长度与点的坐标的关系，如2OA=-6，是A点横坐标的
3、绝对值，千万不要认为点的坐标就是线段的长度. kb未知，k已知 例2、若直线y=2x+b与两坐标轴围成的三角形的面积是4,求该直线的解析式？ 解：设直线y=2x+b与x轴和y轴分别交于两点A、B b 由y=0,得x=-; 由x=0,得y=b. 2 A (-、0)、B b OA=- , OB=b. 2 S= OAOB=121b-b=4. 22 b2=16，b=4 这个函数的解析式为y=2x4 说明 此题的解题思路与例1一致，都是利用三角形的面积建立等式，不过此时解析式中的b是个未知量，与例1有所不同. b、 k都是未知量 2 例3、已知直线y=kx+b经过点(,0),且与坐标轴围成的三角形的面积
4、是5225,则该直线的解析式。 4解：设直线y=kx+b与x轴，y轴的交点坐标分别是A、B 则A (-，0) B OA= 又 Sbkb , OB=b kDABC=25 4b2b22511b OAOB=.-.b= ，即= 2k2k422k 将点(,0)的坐标代入y=kx+b中，得0=5255k+b,即b=-k 22b2255把b=-k代入=，得k=2 2k42 k=2或k=-2 当k=2时，b=-5;当k=-2时，b=5 该直线的解析式为y=2x-5或y=-2x+5 由以上例题可以看出，已知y=kx+b (k0)与坐标轴围成的三角形的面积，要求直线的解析式.首先要求该直线x轴，y轴的交点坐标分别
5、为A b2b(-，0) 、 B则与坐标轴围成的三角形的面积为. 如2kk果在选择，填空题中出现可以直接代公式求解。如：直线y=3x-b与坐标轴围成的三角形的面积是6，一次函数的解析式 . b2b2解析：此时k=3,则= =6,即b2=36，b=6 ，y=3x6 2k63 二、已知直线过一定点和该直线分面积比，求直线解析式. 例4、已知直线y=-x+2与x轴、y轴分别交于点A和B,另一直线y=kx+b经过C(1,0),且把DAOB分成两部分. 若DAOB被分成的两部分面积相等，求k和b的值. 若DAOB被分成两部分的面积比为1:5，求k和b的值. 解析：欲求k和b的值，需知道直线经过两定点的坐标
6、，又因为直线y=kx+b过定点C(1,0)，故只需再求一个符合条件的点的坐标即可. 解：(1)如图根据题意可知A(2,0)，B(0,2). C是OA的中点，SDOBC= SDCBA.y=kx+b 经过C，B(0,2). 0=k+b 2=by B 解得，k=-2,b=2. y B M O C N A x O C A x (2)设y=kx+b与OB交于点M，分DAOB的面积为1:5， 1111得SDOMC=SOAB，即1h=22. 626222h=.M 332过点M作MNOA交AB于点N,则SDOMC=SDCAN. 34242a=y=-x+2N在直线上，N. 33334 422y=kx+b过点M，
7、点C或点N，点C 333224=k2+b2,=b1, 或 3330=k2+b2.0=k1+b1.2k=-k2=213解得 或 b2=-2b=213解决此类问题要注意数形结合，将求线段的长度转化为求点的坐标，此时要注意点到x轴，y轴的距离分别为b，a. 三、已知两条直线的解析式，求与坐标轴围成的面积 两条直线与x轴所围三角形的面积 例5、直线y=4x-2与直线y=-x+13及x轴所围成的三角形的面积 . 解析：如图，直线y=4x-2与直线y=-x+13及x轴所围成的三角形为DABC过点A作ADx轴，垂足为D，则BC可视为DABC的“底”， AD1可视为DABC的“高”易求B点坐标为(,0)，C点
8、坐标为， 则2BC=13-11=12. 22y y=4x-4x=3解方程组， 得 y=-x+13y=10 则A点坐标为，AD=10 所以SDABC=B O A D x 111125 BCAD=1210=2222C 两条直线与y轴所围三角形的面积 5 例6、已知直线y=-3x+6和y=x,求它们与y轴围成的三角形的面积 。 解析：做出相应的图象，由图象观察求解.如图，在y=-3x+6中，由x=0可得y=6;由y=0可得x=2. 作出y=-3x+6的图象，对于y=x，可知,(1,1)在图象上，可由这两点作出y=x图象. 所以两直线与y轴的交点坐标 分别为A，O (0,0), y 6 A y=-3x+6,x=1.5,由 解得 y=x.y=1.5.两直线的交点坐标为C SDAOC=AOCD=1.56=4.5 D O C x 1212说明 此类问题是求两条直线与坐标轴围成的三角形的面积，一般情况下要选取坐标轴上的一边为底边，高与交点的横坐标或纵坐标有关 6
