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1、一阶微分方程解的存在定理第三章 一阶微分方程解的存在定理 教学目标 1. 理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解的误差估计式。 2. 了解解的延拓定理及延拓条件。 3. 理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。 教学重难点 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。 教学方法 讲授，实践。 教学时间 12学时 教学内容 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。 考核目标 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。 2.熟练近似解的误差估计式，解对
2、初值的连续性及可微性公式。 3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。 1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法 微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很
3、重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。 例如方程 dy=2y dx2过点(0,0)的解就是不唯一，易知y=0是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，y=x或更一般地，函数 0 0xc y= 2(x-c) cx1都是方程过点(0,0)而且定义在区间0x1上的解，其中c是满足0c0，使对于R上任何一对点(x,y1)，(x,y2)均有不等式f(x,y1)-f(x,y2)Ly1-y2成立，则方程存在唯一的解y=j(x)，在区间|x-x0|h上连续，而且满足初始条件 j(x0)=y0 其中h=min(a,b),M=maxf(x,y),L称为Lipschitz常数. x,yR
4、M思路： 1） 求解初值问题(3.1)的解等价于积分方程 y=y0+的连续解。 2） 构造近似解函数列jn(x) 任取一个连续函数j0(x)，使得|j0(x)-y0|b，替代上述积分方程右端的 xx0f(x,y)dx y，得到 j1(x)=y0+xx0f(x,j0(x)dx 如果j1(x)j0(x)，那么j0(x)是积分方程的解，否则，又用j1(x)替代积分方程右端的y，得到 j2(x)=y0+xx0f(x,j1(x)dx 如果j2(x)j1(x)，那么j1(x)是积分方程的解，否则，继续进行，得到 jn(x)=y0+于是得到函数序列jn(x). 3） 函数序列jn(x)在区间x0-h,x0+
5、h上一致收敛于j(x)，即 limjn(x)=j(x)nxx0 f(x,jn-1(x)dx 存在，对(3.4)取极限,得到 limjn(x)=y0+limf(x,jn-1(x)dxnnx0xx =y0+f(x,j(x)dx x0即j(x)=y0+xx0f(x,j(x)dx. 4) f(x)是积分方程y=y0+xx0f(x,y)dx在x0-h,x0+h上的连续解. 这种一步一步求出方程解的方法逐步逼近法.在定理的假设条件下,分五个命题来证明定理. 为了讨论方便,只考虑区间x0xx0+h,对于区间x0-hxx0的讨论完全类似. 命题1 设y=j(x)是方程(3.1)定义于区间x0xx0+h上,满足
6、初始条件 j(x0)=y0 的解,则y=j(x)是积分方程 y=yx0+xf(x,y)dx x00xx0+h (3.5) 的定义于x0xx0+h上的连续解.反之亦然. 证明 因为y=j(x)是方程(3.1)满足j(x0)=y0的解,于是有 dj(x)dx=f(x,j(x) 两边取x0到x的积分得到 j(x)-j(x0)=xxf(x,j(x)dx x00xx0+h 即有j(x)=y0+xxf(x,j(x)dx x00xx0+h 所以y=j(x)是积分方程y=y0+xxf(x,y)dx定义在区间xh上的连续解. 00xx0+反之,如果y=j(x)是积分方程(3.5)上的连续解,则 j(x)=y0+
7、xxf(x,j(x)dx x0xx0+h 0由于f(x,y)在R上连续,从而f(x,j(x)连续,两边对x求导,可得 dj(x)dx=f(x,j(x) 而且 j(x0)=y0, 故y=j(x)是方程(3.1)定义在区间x0xx0+h上,且满足初始条件j(x0)=y0的解. 构造Picard的逐次逼近函数序列jn(x). j0(x )=y0jn(x)=y0+xxf(x,j(x)dx xxx+(n=1,2,) 0n-100h命题2 对于所有的n，中的函数jn(x)在x0xx0+h上有定义，连续且满足不等式 |jn(x)-y0|b 证明 用数学归纳法证明 当n=1时，j1(x)=y0+ xxx0f(
8、x,y0)dx，显然j1(x)在x0xx0+h上有定义、连续且有 |j1(x)-y0|=|f(x,y0)dx|f(x,y0)|dxM(x-x0)Mhb x0x0x即命题成立. 假设n=k命题2成立，也就是在x0xx0+h上有定义、连续且满足不等式 |jk(x)-y0|b 当n=k+1时， jk+1(x)=y0+xx0f(x,jk(x)dx )x0xx0+h上连续，于是得知jk+1(x)在由于f(x,y)在R上连续,从而f(x,jk(x)在x0xx0+h上有定义、连续,而且有 |jk+1(x)-y0|xx0|f(x,jk(x)|dxM(x-x0)Mhb 即命题2对n=k+1时也成立.由数学归纳法
9、知对所有的n均成立. 命题3 函数序列jn(x)在x0xx0+h上是一致收敛的. 记limjn(x)=j(x),x0xx0+h n证明 构造函数项级数 j0(x)+它的部分和为 Sn(x)=j0(x)+j(x)-jkk=1k-1(x) x0xx0+h (3.9) j(x)-jkk=1nk-1(x)=jn(x) 于是jn(x)的一致收敛性与级数(3.9)的一致收敛性等价. 为此，对级数(3.9)的通项进行估计. |j1(x)-j0(x)|f(x,j0(x)|dxM(x-x0) (3.10) x0x|j2(x)-j1(x)|f(x,j1(x)-f(x,j0(x)|dxx0x由Lipschitz条件
10、得知 |j2(x)-j1(x)|L|j1(x)-j0(x)|dx0x LM(x-x0)dx x0x 设对于正整数n,有不等式 ML(x-x0)22!MLn-1(x-x0)n |jn(x)-jn-1(x)|n!成立,则由Lipschitz条件得知,当x0xx0+h时,有 |jn+1(x)-jn(x)|f(x,jn(x)-f(x,jn-1(x)|dxx0x L|jn(x)-jn-1(x)|dx0xMLnxn (x-x)dx 0x0n!MLn (x-x0)n+1(n+1)!于是由数学归纳法可知, 对所有正整数k,有 MLk-1MLk-1kk|jk(x)-jk-1(x)|(x-x0) h x0xx0+
11、h (3.11) k!k!由正项级数MLk=1K-1hk 的收敛性,利用Weierstrass判别法,级数(3.9)在x0xx0+h上一致收k!敛.因而序列jn(x)在x0xx0+h上一致收敛. 设limjn(x)=j(x),则j(x)也在x0xx0+h上连续,且 n |j(x)-y0|b 命题4 j(x)是积分方程(3.5)的定义在x0xx0+h上的连续解. 证明 由Lipschitz条件 |f(x,jn(x)-f(x,j(x)|L|jn(x)-j(x)| 以及jn(x)在x0xx0+h上一致收敛于j(x),可知f(x,jn(x)在x0xx0+h上一致收敛于f(x,j(x).因此 limjn
12、(x)=y0+limf(x,jn-1(x)dx nnx0xx =y0+limf(x,jn-1(x)dx x0n即 jn(x)=y0+xx0f(x,j(x)dx 故j(x)是积分方程(3.5)的定义在x0xx0+h上的连续解. 命题5 设y(x)是积分方程(3.5)的定义在x0xx0+h上的一个连续解,则j(x)y(x),x0xx0+h. 证明 设g(x)=|j(x)-y(x)|,则g(x)是定义在x0xx0+h的非负连续函数,由于 j(x)=y0+xx0f(x,j(x)dx y(x)=y0+f(x,y(x)dx x0x而且f(x,y)满足Lipschitz条件,可得 g(x)=|j(x)-y(
13、x)|=|f(x,j(x)-f(x,y(x)dx|x0x xx0|f(x,j(x)-f(x,y(x)|dxxxx0x0 L|j(x)-y(x)|dx=Lg(x)dx令u(x)=Lxx0g(x)dx,则u(x)是x0xx0+h的连续可微函数,且u(x0)=0, 0g(x)u(x),u(x)=Lg(x),u(x)Lu(x),(u(x)-Lu(x)e-Lx0, 即(u(x)e-Lx)0,于是在x0xx0+h上, u(x)e-Lxu(x0)e-Lx0=0 故g(x)u(x)0,即g(x)0,x0xx0+h,命题得证. 对定理说明几点: (1)存在唯一性定理中h=min(a,b)的几何意义. M在矩形域
14、R中f(x,y)M,故方程过(x0,y0)的积分曲线y=j(x)的斜率必介于-M与M之间,过点(x0,y0)分别作斜率为-M与M的直线. 当M即bbb时，即a,，解y=j(x)在x0-axx0+a上有定义；当M时,aMab，不能保证解在x0-axx0+a上有定义，它有可能在区间内就跑到矩a,Mbb形R外去，只有当x0-才能保证解y=j(x)在R内，故要求解的存在范围是 xx0+MM|x-x0|h. (2)、 由于李普希兹条件的检验是比较费事的，而我们能够用一个较强的，但却易于验证的条件来代替他，即如果函数f(x,y)在矩形域R上关于y的偏导数fy(x,y)存在并有界，即fy(x,y)L，则李普
15、希兹条件条件成立. 事实上 f(x,y2+q(y1-y2)|y1-y2|y L|y1-y2|f(x,y1)-f(x,y2)|=|这里(x,y1),(x,y2)R,0q0,使得 y0 |f(x,y)-f(x,0)|L|y| 所以方程右端函数在y=0的任何邻域并不满足Lipschitz条件. 此题说明Lipschitz条件 是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件. 2)考虑一阶隐方程 F(x,y,y)=0 (3.12) )的某一邻域内F连续且F(x0,y0,y0)=0,而由隐函数存在定理,若在(x0,y0,y0唯一地表为x,y的函数 F0,则必可把yy y=f(x,y) (3.13) =f(
16、x0,y0) 并且f(x,y)于(x0,y0)的某一邻域连续,且满足y0如果F关于所有变元存在连续的偏导数,则f(x,y)对x,y也存在连续的偏导数,并且 fFF=-/ (3.14) yyy显然它是有界的,由定理1可知,方程(3.13)满足初始条件的y(x0)=0解存在且唯一.从而得到下面的定理. 定理2 如果在点(x0,y0,y0)的某一邻域中: ) F(x,y,y)关于所有变元(x,y,y)连续,且存在连续的偏导数； ）F(x0,y0,y0)=0 ）F(x0,y0,y0)y0 则方程存在唯一的解 y=y(x) |x-x0|h 满足初始条件 y(x0)=y0, y(x0)=y0 1、 近似计
17、算和误差估计 求方程近似解的方法Picard的逐次逼近法 j0(x) =y0jn(x)=yx 0+xf(x,j0n-1(x)dx x0xx0+h对方程的第n次近似解jn(x)和真正解j(x)在|x-x0|h内的误差估计式 |jx)-j(x)|MLnn(n+1)!hn+1 此式可用数学归纳法证明. |j0(x)-j(x)|xx|f(x,j(x)|dxM(x-x00)Mh 设有不等式 MLn-1 |jn-1(x)-j(x)|n!(x-xnMLn-1n0) n!h 成立,则 3.15） 3.16） （|jn(x)-j(x)|f(x,jn-1(x)-f(x,j(x)|dxx0x L|jn-1(x)-j
18、(x)|dx0x MLnxn (x-x0)dx n!x0MLnMLnn+1n+1 (x-x0)h(n+1)!(n+1)!例1 讨论初值问题 dy=x2+y2, y(0)=0 dx解的存在唯一性区间,并求在此区间上与真正解的误差不超过0.05的近似解,其中, R:-1x1,-1y1. 解 M=max|f(x,y|=2,a=1,b=1,h=mina,(x,y)Rfb1=,由于|=|2y|2=L,根据误yM2差估计式(3.16) MLnn+11h=0.05 |jn(x)-j(x)|(n+1)!(n+1)!可知n=3.于是 j0(x)=0 x3j1(x)=x+j(x)dx= 03x220x3x7j2(x)=x+j(x)dx=+ 0363x221x3x7x11x15j3(x)=x+j(x)dx=+ 0363207959535x22211j3(x)就是所求的近似解,在区间-x上,这个解与真正解得误差不超过0.05. 22
