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1、一道可用拉格朗日乘数法求最值的题何时可用拉格朗日乘数法求最值？ 题目：已知x-3x+1=3y+2-y，求x+y的最小值 法一：变式：x+y=3x+1+3y+20，则有x+1+y+2=3x+1+3y+2+3； 令x+1=m，y+2=n，则有m2+n2=3m+3n+3； 3315从而有(m-)2+(n-)2=； 222再令m-315315=cosq，n-=sinq，其中q确保m、n同时取非负数； 2222315315+cosq，n=+sinq； 2222则有m=31515(sinq+cosq) 所以m2+n2=22+3222即x+y+3=当q=-9153p3p+15sin(q+)=12+15sin
2、(q+)； 2224243p33时，x+y+3取最小值12-15，即x+y取最小值9-15； 42231531523-153pcosq=+(-)=0 2(n+1)2(n+1)2(n+1)与g(x,y)=x+y-3x+1-3y+2=0联立， 可得：(x+1)+(y+2)-3x+1-3y+2=32(3n23n)-6=3； 2(n+1)2(n+1)解得：3n6603153n3+15=，舍负，取； 2(n+1)422(n+1)2所以x+y=(x+1)+(y+2)-3=2(3+152)-3=9+315； 2结合“法二”，发现求出来的是“最大值”！Why？ 道理很简单：多元求导数，最值是在“驻点”处取得，何为“驻点”者，有导数且为零也！ 可见：用拉格朗日乘数法，所求得的是“驻点”处的最值由法二的图象可知：最小值是在 端点处取得的，而端点处是不可导的，故无法实施拉格朗日乘数法，此意义一定要弄明白， 不能乱用方法诶 综合上述，本题解法二，是可能的方法，答案也就明确了 3
