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1、七天课堂初中数学经典例题解析 初中数学经典例题解析 如图10，平行四边形ABCD中，AB5，BC10，BC边上的高AM=4，E为BC边上的一个动点过E作直线AB的垂线，垂足为F FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF。 求证：BEFCEG 当点E在线段BC上运动时，BEF和CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由 设BEx，DEF的面积为y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？ A FM BxE 图10 解析过程及每步分值 DCG1） 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以ABPDG 1分 所以B=GCE,G=BFE 所以BEFCEG 3分 B
2、EF与CEG的周长之和为定值 4分 理由一： 过点C作FG的平行线交直线AB于H ， 因为GFAB，所以四边形FHCG为矩形所以 FHCG，FGCH 因此，BEF与CEG的周长之和等于BCCHBH 由 BC10，AB5，AM4，可得CH8，BH6， 所以BCCHBH24 6分 理由二： H由AB5，AM4，可知 DA在RtBEF与RtGCE中，有： 4343EF=BE,BF=BE,GE=EC,GC=CE， 55551212BE， ECG的周长是CE 所以，BEF的周长是55FBMxEGC又BECE10，因此PBEF与PCEG的周长之和是24 6分 43x,GC=(10-x) 551143622
3、2x-x 8分 所以y=EFPDG=Px(10-x)+5=-2255255655121(x-)2+配方得：y=- 256655所以，当x=时，y有最大值 9分 6121最大值为 10分 6设BEx，则EF= 如图 二次函数yax2bxc(a0)与坐标轴交于点A B C且OA1 OBOC3 求此二次函数的解析式 写出顶点坐标和对称轴方程 点M N在yax2bxc的图像上(点N在点M的右边) 且MNx轴 求以MN为直径且与x轴相切的圆的半径 解析过程及每步分值 依题意A(-1 1分 ，0)B(3，0)C(0，-3)分别代入y=ax2+bx+c 解方程组得所求解析式为y=x2-2x-3 4分 y=x
4、2-2x-3=(x-1)2-4 5分 -4)，对称轴x=1 7分 顶点坐标(1，-r) 设圆半径为r，当MN在x轴下方时，N点坐标为(1+r， 8分 把N点代入y=x2-2x-3得r=-1+17 9分 2同理可得另一种情形r=+1+172 圆的半径为-1+171+2或172 10分 已知两个关于x的二次函数y1与当x=k时，y2=17；且二次函数y2的图象的对称轴是直y2，y1=a(x-k)2+2(k0)，y1+y2=x2+6x+12线x=-1 求k的值； 求函数y1，y2的表达式； 在同一直角坐标系内，问函数y1的图象与y2的图象是否有交点？请说明理由. 解析过程及每步分值 由y1=a(x-
5、k)2+2，y1+y2=x2+6x+12 得y2=(y1+y2)-y1=x2+6x+12-a(x-k)2-2=x2+6x+10-a(x-k)2 又因为当x=k时，y2=17，即k+6k+10=17， 解得k1=1，或k2=-7，故k的值为1 由k=1，得y2=x2+6x+10-a(x-1)2=(1-a)x2+(2a+6)x+10-a， 所以函数y2的图象的对称轴为x=-22a+6， 2(1-a)于是，有-2a+6=-1，解得a=-1， 2(1-a)所以y1=-x2+2x+1，y2=2x2+4x+11 ，2)； 由y1=-(x-1)2+2，得函数y1的图象为抛物线，其开口向下，顶点坐标为(1由y
6、2=2x2+4x+11=2(x+1)2+9，得函数y2的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标，9)； 为(-1故在同一直角坐标系内，函数y1的图象与y2的图象没有交点 如图,抛物线y=x2+4x与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点. 求点A的坐标; 以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标; 设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x,当4+62S6+82时,求x的取值范围. 解析过程及每步分值 解：y=x2+4x=(x
7、+2)2-4 A(-2,-4) 四边形ABP1O为菱形时，P1(-2,4) 4) 548四边形ABP3O为直角梯形时，P1(-，) 55612四边形ABOP4为直角梯形时，P1(，-) 55四边形ABOP2为等腰梯形时，P1(，- 25由已知条件可求得AB所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线l的函数关系式是y=-2x 当点P在第二象限时，x0, POB的面积SDPOB=AOB的面积SDAOB14(-2x)=-4x 21=44=8， 2S=SDAOB+SDPOB=-4x+8(x0, 过点A、P分别作x轴的垂线，垂足为A、P 则四边形POAA的面积 SPOAA=S梯形PPAA-SDPPO
8、=4+2x1(x+2)-(2x)x=4x+4 22AAB的面积SDAAB=1242=4 S=SPOAA+SDAAB=4x+8(x0) 4+62S6+82， S4+624x+8 即4+62S6+82 4x+86+82x的取值范围是32-2422x-12 2-2x32 S42-12 随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，如图所示；种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图所示 分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式； 如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，
9、他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？ 解析过程及每步分值 解：设y1=kx,由图所示，函数y1=kx的图像过，所以2=k1，k=2 故利润y1关于投资量x的函数关系式是y1=2x； 因为该抛物线的顶点是原点，所以设y2=ax，由图12-所示，函数y2=ax的图像过， 2所以2=a2，a=221 212x； 2设这位专业户投入种植花卉x万元， 则投入种植树木万元，他获得的利润是z万元，根据题意，得 111z=2(8-x)+x2=x2-2x+16=(x-2)2+14 222当x=2时，z的最小值是14； 因为0x8，所以-2x-26 故利润y2关于投资量x的函数关系式是y=所以(x-2)
10、236 1(x-2)218 212所以(x-2)+1418+14=32，即z32，此时x=8 2当x=8时，z的最大值是32. 所以 如图，已知 A(-4,0)，B(0,4)，现以A点为位似中心，相似比为9:4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C 求C点坐标及直线BC的解析式; 一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象; 现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为32的点P 解析过程及每步分值 解:过C点向x轴作垂线，垂足为D，由位似图形性质可知： ABOACD， AOBO4= ADCD9由已知A(-4,0)，B
11、(0,4)可知： AO=4,BO=4 AD=CD=9C点坐标为(5,9) 直线BC的解析是为： 化简得： y=x+4 y-4x-0= 9-45-04=c2设抛物线解析式为y=ax+bx+c(a0)，由题意得：9=25a+5b+c ， b2-4ac=01a=225a1=14解得： b1=-4b2=5c=41c2=4 2解得抛物线解析式为y1=x-4x+4或y2=124x+x+4 255又y2=124x+x+4的顶点在x轴负半轴上，不合题意，故舍去 2552满足条件的抛物线解析式为y=x-4x+4 2 将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，设P到 直线AB的距离为h， 故P点应在与直线AB平
12、行，且相距32的上下两条平行直线l1和l2上 由平行线的性质可得：两条平行直线与y轴的交点到直线BC的距离也为32 如图，设l1与y轴交于E点，过E作EFBC于F点， 在RtBEF中EF=h=32，EBF=ABO=45， BE=6可以求得直线l1与y轴交点坐标为(0,10) 同理可求得直线l2与y轴交点坐标为(0,-2) 两直线解析式l1:y=x+10；l2:y=x-2 oy=x2-4x+4y=x2-4x+4根据题意列出方程组： ； y=x+10y=x-2x1=6x2=-1x3=2x4=3解得：； y=0y=1y=16y=94123满足条件的点P有四个，它们分别是P1(6,16)，P2(-1,9)，P3(2,0)，P4(3,1). 如图，抛物线L1:y=-x2-2x+3交x轴于A、B两点，交y轴于M点.抛物线L1向右平移2个单位后得到抛物线L2，L2交x轴于C、D两点. 求抛物线L2对应的函数表达式； 抛物线L1或L2在x轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由； 若点P是抛物线L1上的一个动点，那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线L2上，请说明理由. 解析过程及每步分值
