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1、七大函数,七大性质函数综合问题概述赵老师教你打通关七大函数 1、一次函数2、二次函数3、反比例函数4、指数函数5、对数函数6、幂函数7、三角函数七大性质 1、定义域2、值域3、最值4、周期性5、奇偶性6、单调性7、对称性壹一次函数 1、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。特别地，当b=0时，即：y=kx 则此时称y是x的正比例函数。 2、一次函数的性质：在一次函数上的任意一点P，都满足等式：y=kx+b。一次函数与y轴交点的坐标总是正比例函数的图像总是过原点。表示的是正比例函数的图像。这时，当k0时，直线只通过一、三象限

2、；当k0时，直线只通过二、四象限。 3、一次函数和正比例函数的图象和性质 1 函数综合问题概述赵老师教你打通关贰二次函数 1函数y=ax2+bx+c(a0)叫做一元二次函数。其图象是一条抛物线。 2根与系数的关系-韦达定理若一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)中，两根为x1，x2。求根公式x=-bb2-4acD2a，补充公式 x1-x2=a。韦达定理xbc1+x2=-a，x1x2=a。以x21，x2为两根的方程为x+(x1+x2)x+x1x2=0 用韦达定理分解因式ax2+bx+c=ax2+bax+ca=a(x-x1)(x-x2) 3任何一个二次函数y=ax2+bx+c(a

3、0)都可配方为顶点式：y=a(x+b2a)2+4ac-b24a，性质如下：图象的顶点坐标为(-b4ac-b22a,4a)，对称轴是直线x=-b2a。最大值 2 当a0，函数图象开口向上，y有最小值，y=4ac-bmin4a，无最大值。当a0，函数在区间(-,-bb2a)上是减函数，在(-2a,+)上是增函数。当a0 D=0 D0)的图象一元二次方程有两个相异实数根有两个相等实数根ax2+bx+c=0(a0)的根 -bDx1,2=(x10(a0) ax2+bx+c0) xxx2 xx1bxx- 2a R x0 k1，且nN* 2实数指数幂的运算性质 arar=ar+s (ar)s=

4、ars (ab)r=aras 均满足(a0,r,sR) 指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数y=ax(a0,且a1)叫做指数函数，其中定义域为xR 2、指数函数的图象和性质条件 a1 0a0且a1)值域是f(a),f(b)或f(b),f(a)；若x0，则f(x)1；f(x)取遍所有正数当且仅当xR；对于指数函数f(x)=ax(a0且a1)，总有f(1)=a；伍对数函数对数 1对数的概念：一般地，如果ax=N(a0,a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作：x=logaNax=NlogaN=x； 2两个重要对数：1 常用对数：以10为底的对数lgN； 2 自然对数：以

5、无理数e=2.71828L为底的对数lnN 对数的运算性质如果a0，且a1，M0，N0，那么： 1 loga(MN)=logaMlogaN； 2 logMaN=logaMlogaN； 3 logaMn=nlogaM (nR) 注意：换底公式 logab=logcblog ca利用换底公式推导下面的结论 lognnamb=mlogab； log1ab=log ba4 函数综合问题概述赵老师教你打通关对数函数 1、对数函数的概念：函数y=logax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是注意：对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：y=2log2x，

6、xy=log5 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数 52、对数函数的性质：条件 32.52a1 32.520a0,a1) 指数函数对数数函数y=logax(a0,a1) x(0,+) yR xR y(0,+) 图象过定点(0,1)󰀀 减函数增函数 x(-,0)时，y(0,1) 过定点(1,0) 减函数增函数 x(-,0)时，y(1,+)x(0,+)时，y(0,1)性质 x(0,1)时，y(0,+)x(0,+)时，y(1,+)x(1,+)时，y(-,0)x(0,1)时，y(-,0)x(1,+)时，y(0,+)ab ab 5 函数综合问题概述赵老师教你打通关陆幂函

8、点梳理 1. 函数的单调性 (1)设x1x2a,b,x1x2那么 f(x1)-f(x2)0f(x)在a,b上是增函数； x1-x2f(x1)-f(x2)0f(x)在a,b上是减函数. (x1-x2)f(x1)-f(x2)0，则f(x)为增函数；如果f(x)02. 奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数注：若函数y=f(x)是偶函数，则f(x+a)=f(-x-a)；若函数y=f(x+a)是偶函数，则f(x+a)=f(-x+a). 注：对于函数y=

9、f(x)(xR),f(x+a)=f(b-x)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数x= 两个函数y=f(x+a)与y=f(b-x) 的图象关于直线x=a+b； 2a+b对称. 2注：若f(x)=-f(-x+a),则函数y=f(x)的图象关于点(,0)对称；若f(x)=-f(x+a),则函数y=f(x)为周期为2a的周期函数. nn-13. 多项式函数P(x)=anx+an-1x+a2+a0的奇偶性多项式函数P(x)是奇函数P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数P(x)是偶函数P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 函数y=f(x)的图象的对称性 (1)函数y=f(x)的图

10、象关于直线x=a对称f(a+x)=f(a-x) f(2a-x)=f(x). (2)函数y=f(x)的图象关于直线x=4. 两个函数图象的对称性 (1)函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于直线x=0(即y轴)对称. (2)函数y=f(mx-a)与函数y=f(b-mx)的图象关于直线x=(3)函数y=f(x)和y=f-1a+b对称f(a+mx)=f(b-mx) f(a+b-mx)=f(mx). 2a+b对称. 2m(x)的图象关于直线y=x对称. (4)若将函数y=f(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数y=f(x-a)+b的图象；若将曲线f(x,y)=0的图象右移a、上移b个单位

11、，得到曲线f(x-a,y-b)=0的图象. 5. 互为反函数的两个函数的关系 f(a)=bf-1(b)=a. 若函数y=f(kx+b)存在反函数,则其反函数为y=1-1f(x)-b,并不是y=fk-1(kx+b), 14 函数综合问题概述赵老师教你打通关 1f(x)-b的反函数. k而函数y=f-1(kx+b)是y=6. 几个常见的函数方程 (1)正比例函数f(x)=cx,f(x+y)=f(x)+f(y),f(1)=c. (2)指数函数f(x)=a,f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=a0. (3)对数函数f(x)=logax,f(xy)=f(x)+f(y),f(a)=1(a0,a1

12、). (4)幂函数f(x)=x,f(xy)=f(x)f(y),f(1)=a. xa(5)余弦函数f(x)=cosx,正弦函数g(x)=sinx，f(x-y)=f(x)f(y)+g(x)g(y)，f(0)=1,limx0g(x)=1. x7. 几个函数方程的周期(约定a0) f(x)=f(x+a)，则f(x)的周期T=a； f(x)=f(x+a)=0，或f(x+a)=或11(f(x)0)，或f(x+a)=-(f(x)0), f(x)f(x)1+2f(x)-f2(x)=f(x+a),(f(x)0,1),则f(x)的周期T=2a； 1(f(x)0)，则f(x)的周期T=3a； f(x+a)f(x1

13、)+f(x2)(4)f(x1+x2)=且f(a)=1(f(x1)f(x2)1,0|x1-x2|2a)，则f(x)的周期T=4a； 1-f(x1)f(x2)(5)f(x)+f(x+a)+f(x+2a)f(x+3a)+f(x+4a) =f(x)f(x+a)f(x+2a)f(x+3a)f(x+4a),则f(x)的周期T=5a； (6)f(x+a)=f(x)-f(x+a)，则f(x)的周期T=6a. (3)f(x)=1-8. 分数指数幂 (1)amnmn=1nam. (2)a*-=1amn. *9. 根式的性质 (na)n=a. 当n为奇数时，an=a；当n为偶数时，a=|a|=nnna,a0. -a,a0,r,sQ). (2)(a)=a(a0,r,sQ). (3)(ab)=ab(a0,b0,rQ). 注：若a0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用. 指数式与对数式的互化式 logaN=bab=N (

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