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1、七巧板能拼出多少种凸多边形七巧板能拼出多少种凸多边形 奉化市大堰初中 董孟雄 一、问题的提出 问题： 对正方形ABCD按如图1分划,其中E,F分别是BC,AB的中点,M,N,G分别是OA,OC,EF的中点,沿分划线可以剪出一副由七块部件组成的“七巧板”.设正方形OGFM的边长为1.请用这幅七巧板既不留下一丝空隙,又不相互重叠,各拼出1种周长最大与最小的凸多边形,画在下面,计算最大周长与最小周长各是多少？ 参考答案：如图2,周长最大8+42；如图3,周长最小8+22. 图2中的多边形周长为什么是最大的？图3中的多边形周长为什么又是最小的？笔者亦是百思不得其解,只能换个角度思考：七巧板到底能拼出多
2、少种凸多边形？ 二、问题的分析 1. 剪出的七块部件如下图4所示,出现了1,2,2,22四类线段共23条,其中长度为1的线段10条,长度为2的线段6条,长度为2的线段5条,长度为22的线段2条. 2. 七块部件的内角总和1620,其中9个直角,12个45角,2个135角. 3. 不论拼成哪种多边形,其面积为常量8. 4. 可以从凸多边形的边数分类讨论. 三、问题的解决 1. 拼成三角形 三角形的内角和等于180,由七巧板角的特征,只有 180=90+45+45.所以拼成的三角形必为等腰直角三角形.因为面积为8,所以直角三角形的直角边长为4,如图5. 2. 拼成四边形. 四边形的内角和等于360
3、,由七巧板角的特征,有 360= 904 = 902+451+1351 =1352+452. 2.1 360= 904 拼成的四边形为正方形或长方形. 若为正方形,则图形唯一确定,如图6. 若是长方形,因为面积是8,所以长,宽分别为4,2或42,2. 长,宽分别42,2的矩形拼不出来.理由如下：边长为42,2的矩形其周长为102,而七巧板中含2的线段总和也只有102,即所有长度含2的线段都应成为矩形边的一部分.平行四边形的那块不可能做到.所以,长,宽分别42,2的矩形拼不出来. 长,宽分别为4,2的矩形如图7. 2.2 360=902+451+1351 若两个直角相邻,则拼成的四边形为直角梯形
4、. 直角梯形的高不可能为4,若高为4,则一腰长为25,不存在这类线段.直角若梯形的高为22,则上下底和为42,如图8. 若梯形的高为4,则上下底和为8,如图9. 若两个直角不相邻,则所得四边形如图10-1所示.过点A作AECD与E,过点B作BFAE于F,连结BD,如图10-2.设CE=n,ED=m,则AB=2n,AD=2m,BC=m-n,(nm)因为四边形面积为8,所以 SABD+SDBC=mn+12(m+n)(m-n)=8 m2-n2+2mn=16 nm 16=m2-n2+2mnm2-n2+2n2 2n2 n28,n=2或n=1. 当n=2或n=1时,m都不是整数.所以拼不出如图10-1所示
5、的四边形. 2.3 360=1352+452 若两个135角相邻,则拼成的四边形是等腰梯形,如图11所示. 若两个135角相对,则拼成的四边形是平行四边形,如图12所示. 3. 拼成五边形 五边形的内角和等于540,由七巧板角的特征,有 540= 1353+901+451 =1352+903 3.1 540= 1353+901+451 若三个135角相邻,则能构成这类五边形的最小面积为6.5,如图13.比它略大的五边形面积必超过8,所以这类五边形也不能拼成. 若三个135角中的一个与其余两个不相邻,则拼成的五边形如图14所示. 3.2 若540=1352+903 若三个90角相邻,如图15.
6、假若m,n是整数,则x也是整数,且mx,nx. 由mn-12x2=812x,得x是偶数 2 8=mn-fx-212x2=12x2 x4,又x是偶数 x=2 当x=2时,mn=10,不存在大于2的整数解； 假若m,n是2的整数倍,则x也是2的整数倍.设m=2a,n=2b,x=2t,(a,b,t均为整数,且at,bt,). 由mn-12x2=8,得2ab-t2=8,t为偶数 2ab-t2=8 8=2ab-t2 t2 t=2, 当t=2时,ab=6,不存在大于2 的整数解. 所以,不存在这样的五边形. 若三个90角中的一个与其余两个不相邻,则拼成的五边形如图16所示. 4. 拼成六边形 六边形的内角
7、和等于720,由七巧板角的特征,有 720=1355+901 = 1354+902 4.1 若720=1355+901 拼出的四边形面积至少为9.5,如图17.所以这类六边形不能拼成. 4.2 若720= 1354+902 若两个直角相邻,则拼成的六边形如图18所示. 若两个直角不相邻,则拼成的六边形如图19、20、21所示. 5. 不能拼成七边形,八边形. 七边形的内角和等于900,由七巧板角的特征,有 900=1356+901, 这样的七边形最小面积为7.5,稍大些则必超过8.所以不能拼成七边形. 同理,也不能拼成八边形. 6. 不能拼成边数大于8的多边形 因为七巧板能提供的最大内角为135.对于n边形,有135n180(n-2),得n8.所以不能拼成边数大于8的多边形. 至此,七巧板能拼出13中不同形状的凸多边形. 四、问题的反思 1. 本题周长的最大值或最小值,很难从理论上证明,图形存在多样性的探讨情况也很复杂,因此这样的问题是不是适宜当作笔试的题目？笔者认为这个问题更适宜当作一个话题,在课堂活动中探究. 2. 上述问题的解答过程有些环节不甚严密,请教方家.
