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1、三次函数的三大性质初探三初探 随着导数内容进入新教材，函数的研究范围也随之扩大，用导数的方法研究三次函数的性质，不仅方便实用，而且三次函数的性质变得十分明朗，本文给出三次函数的三大主要性质. 1 单调性 三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0), (1) 若b-3ac0，则f(x)在(-,+)上为增函数； (2) 若b-3ac0，则f(x)在(-,x1)和(x2,+)上为增函数，f(x)在22-b-b2-3ac-b+b2-3ac. (x1,x2)上为减函数，其中x1=,x2=3a3a 证明 f(x)=3ax2+2bx+c, =4b2-12ac=4(b2-3ac)， (1) 当D0 即
2、b-3ac0时，f(x)0在 R上恒成立， 即f(x)在2(-,+)为增函数. (2) 当D0 即b-3ac0时，解方程f(x)=0，得 2-b-b2-3ac-b+b2-3ac x1=,x2=3a3af(x)0 xx2 f(x)在(-,x1)和(x2,+)上为增函数. f(x)0x1x0), (1) 若b-3ac0，则f(x)在R上无极值； (2) 若b-3ac0，则f(x)在R上有两个极值；且f(x)在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值. 1 22322 根的性质 三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0) (1) 若b-3ac0，则f(x)=0恰有一个实根； (2) 若b
3、-3ac0,且f(x1)f(x2)0，则f(x)=0恰有一个实根； (3) 若b-3ac0,且f(x1)f(x2)=0，则f(x)=0有两个不相等的实根； (4) 若b-3ac0,且f(x1)f(x2)0，且f(x1)f(x2)0. (3)f(x)=0有两个相异实根的充要条件是曲线y=f(x)与X轴有两个公共点且其中之一为切点，所以b-3ac0，且f(x1)f(x2)=0. (4)f(x)=0有三个不相等的实根的充要条件是曲线y=f(x)与X轴有三个公共点，即f(x)有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以b-3ac0且f(x1)f(x2)0)在m,+)上恒正的充要条件是f(m)0(mx2
4、),或f(m)0且f(x2)0(m0)的图象关于点bbb,f(-)对称，并且f(x)在x=-处取得最小值，其图象关于直3a3a3ab线x=-对称. 3a(-2 b3b2bb)+(c-)(x+)+f(-) 证1 f(x)=ax+bx+cx+d=a(x+3a3a3a3a32b2)x是奇函数，图象关于原点对称，则f(x)关于点易知g(x)=ax+(c-3a3(-bb,f(-)对称. 3a3ab时，f(x)取得最小值，显3af(x)=3ax2+2bx+c，Qa0 当x=-然y=f(x)图象关于x=-b对称. 3a证2 设y=f(x)的图象关于点(m,n)对称，任取 y=f(x)图象上点A(x,y)，则
5、A关于(m,n)的对称点A(2m-x,2n-y)也在y=f(x)图象上2n-y=a(2m-x)3+b(2m-x)2+c(2m-x)+d, y=ax3-(6ma+b)x2+(12m2a+4mb+c)x-(8m3a+4m2b+2mc+d-2m) bb=-6ma-bm=-3a2c=12ma+4mb+c d=-(8m3a+4m2b+2mb+d-2n)n=f(-b)3a由上又可得以下结论： y=f(x)是可导函数，若y=f(x)的图象关于点(m,n)对称，则y=f(x)图象关于直线x=m对称. 证明 y=f(x)的图象关于(m,n)对称，则f(x)+f(2m-x)=2n, Q f(x+Dx)-f(x)D
6、x0Dxf(2m-x+Dx)-f(2m-x)2n-f(x-Dx)-2n+f(x)f(2m-x)=lim=limDx0Dx0DxDxf(x)-f(x-Dx)=lim=f(x) Dx0Dxf(x)=lim3 y=f(x)图象关于直线x=m对称. 若y=f(x)图象关于直线x=m对称，则y=f(x)图象关于点(m,0)对称. 证明 y=f(x)图象关于直线x=m对称，则f(x)=f(2m-x)， f(x+Dx)-f(x)Dx0Dxf(2m-x+Dx)-f(2m-x)f(2m-x)=limDx0DxQf(x)=lim=limDx0f(x-Dx)-f(x)=-f(x)， Dxf(2m-x)+f(x)=0 ， y=f(x)图象关于点(m,0)对称. 掌握上面的研究方法和三次函数的三大性质，对于解决有关三次函数的问题是十分有益的. 4
