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1、三维空间旋转三维旋转 在三维空间中，旋转矩阵有一个等于单位一的实特征值。旋转矩阵指定关于对应的特征向量的旋转(欧拉旋转定理)。如果旋转角是 ，则旋转矩阵的另外两个(复数)特征值是 exp(i) 和 exp(-i)。从而得出 3 维旋转的迹数等于 1 + 2 cos()，这可用来快速的计算任何 3 维旋转的旋转角。 3 维旋转矩阵的生成元是三维斜对称矩阵。因为只需要三个实数来指定 3 维斜对称矩阵，得出只用三个是实数就可以指定一个 3 维旋转矩阵。 1. Roll, Pitch 和 Yaw (类似于given式变化) 生成旋转矩阵的一种简单方式是把它作为三个基本旋转的序列复合。关于右手笛卡尔坐标
2、系的 x-, y- 和 z-轴的旋转分别叫做 roll, pitch 和 yaw 旋转。因为这些旋转被表达为关于一个轴的旋转，它们的生成元很容易表达。 绕 x-轴的主动旋转定义为: 这里的 x 是 roll 角。 绕 y-轴的主动旋转定义为: 这里的 y 是 pitch 角。 绕 z-轴的主动旋转定义为: 这里的 z 是 yaw 角。 在飞行动力学中，roll, pitch 和 yaw 角通常分别采用符号 , , 和 ；但是为了避免混淆于欧拉角这里使用符号 x, y 和 z。 任何 3 维旋转矩阵 都可以用这三个角 x, y, 和 z 来刻画，并且可以表示为 roll, pitch 和 yaw
3、 矩阵的乘积。 是在 中的旋转矩阵 M仍然是det(M)=1,而且是正交的 在 中所有旋转的集合，加上复合运算形成了旋转群 SO(3)。这里讨论的矩阵接着提供了这个群的群表示。更高维的情况可参见 Givens旋转。 2. 角-轴表示和四元数表示 在三维中，旋转可以通过单一的旋转角 和所围绕的单位向量方向 来定义。 这个旋转可以简单的以生成元来表达: 在运算于向量 r 上的时候，这等价于Rodrigues旋转公式： 角-轴表示密切关联于四元数表示。依据轴和角，四元数可以给出为正规化四元数 Q: 这里的 i, j 和 k 是 Q 的三个虚部。 3. 欧拉角表示 在三维空间中，旋转可以通过三个欧拉角 (,) 来定义。有一些可能的欧拉角定义，每个都可以依据 roll, pitch 和 yaw 的复合来表达。依据 z-x-z 欧拉角，在右手笛卡尔坐标中的主动旋转矩阵可表达为: 进行乘法运算生成: 因为这个旋转矩阵不可以表达为关于一个单一轴的旋转，它的生成元不能像上面例子那样简单表达出来。 4. 对称保持 SVD 表示 对旋转轴 q 和旋转角 ，旋转矩阵 这里的 就是说 的纵列张开正交于 q 的空间而 G 是 度 Givens 旋转，
