《三角函数典型例题剖析与规律总结.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角函数典型例题剖析与规律总结.docx（14页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、三角函数典型例题剖析与规律总结三角函数典型例题剖析与规律总结 山东 田振民 一：函数的定义域问题 1. 求函数y=分析：要求y=sinx-122sinx+1的定义域。 2sin+1的定义域，只需求满足2sinx+10的x集合，即只需求出满足的x值集合，由于正弦函数具有周期性，只需先根据问题要求，求出在一个周期上的适合条件的区间，然后两边加上2kp(kZ)即可。 12解：由题意知需2sinx+10，也即需sinx-在一周期-p3p2,上符合的角为2p7pp7p,由此可得到函数的定义域为-,2kp-,2kp+66(kZ) 66小结:确定三角函数的定义域的依据：正、余弦函数、正切函数的定义域。若函数
2、是分式函数，则分母不能为零。若函数是偶函数，则被开方式不能为负。若函数是形如y=loga当函数是有实际f(x)(a0,a1)的函数，则其定义域由f(x)确定。问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。 二函数值域及最大值，最小值 求函数的值域 例。求下列函数的值域 y=3-2sin2x y=cosx2+2sinx-2 分析：利用cosx1与sinx1进行求解。 解：Q-1sin2x11y5y1,5 y=cos2x+2sinx-2=-sin2x+2sinx-1=-(sinx-1)Q-1sinx1,y-4,0.2评注：一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法，反比例函数
3、法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。 函数的最大值与最小值。 例。求下列函数的最大值与最小值 y=1-1pppsinx y=2sin2x+-x 2666y=2cos2x+5sinx-4 y=3cos2x-4cosx+1p2p x,33分析：可利用sinx,cosx的值域求解求解过程要注意自变量的去值范围可利用二次函数f(x)=ax2+bx+c在闭区间m,n上求最值得方法。 解(1)：11-sinx062 Q-1sinx1当sinx=-1时，y=;当sinx=1时y=2maxmin22-1sinx1(2)Q-1cos(2x+ppp)1,当cos
4、2x+=1时，ymax=5；当cos(2x+)=-1时，ymin=1.333(3) 59y=2cosx+5sinx-4=-2sinx+5sinx-2=-2sinx-+,Qsinx-1,1, 48222当sinx=-1，即x=-p2+2kp(kZ）时，y有最小值-9； 当sinx=1，即x=(4)y=3cosx=2p32p2+2kp(kZ），y有最大值1。 x-4cosx+1=3(cosx-154当cosx=2312)-21p2p,Qx,333,cosx14111-,从而cosx=-,即222时，、ymax=,即x=p3时，ymin=-小结：求值域或最大值，最小值的问题，一般的依据是：sinx,
5、cosx的有界性；tanx的值可取一切实数；连续函数在闭区间上存在最大值和最小值。根据上面的原则，常常把给出的函数变成以下几种形式； sin(wx+a)一次形式sinx=f(y)或cosx=f(y)的形式，通过f(y)1来确定或其他变形来确定。 三：函数的周期性 例 求下列函数的周期(1)f(x)=cos2x(2)f(x)=2sin(x2-p6) 分析：该例的两个函数都是复合函数，我们可以通过变量的替换，将它们归结为基本三角函数去处理。 把2x看成是一个新的变量u，那么cosu的最小正周期是2p，就是说，当u增加到u+2p且必须增加到u+2p时，函数cosu的值重复出现，而u+2p=2x+2p
6、=2(x+p),所以当自变量x增加到x+p且必须增加到x+p时，函数值重复出现，因此，y=sin2x的周期是p。 x2 Q2sin(-pxp+2p)=2sin-即662pxpxp12sin(x+4p)-=2sin(-)f(x)=2sin(-)的周期是4p。 262626小结：由上面的例题我们看到函数周期的变化仅与自变量x的系数有关。一般地，函数y=Asin(wx+j)或y=Acos(wx+j)函数的定义域R关于原点对称。f(x)=xsin(p+x)=-xsinx,f(-x)=(-x)sin(p-x)=-xsinx=f(x)f(x)是偶函数。 3p,kZ.函数的定义xxR，且x2kp+2 2y=
7、cosx Cy=sin2x Dy=cos2x y=sinx B分析：Qp2xp,p2x2p.可根据sinx与cosx在各象限的单调性作出p判断。 Qy=sinx与y=cosx在解：p排除A,B，Qxp，p2x2p,，p上都是减函数，22知y=sin2x在2xp,2p内不具有单调性，又可排除C，应选D。 小结：求形如y=Asin(wx+j)或y=Acos(wx+j)(其中A0,w0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：(1)把“wx+j(w0)视为一个整体；A0(A0)的周期为2p3，则w=-. 4. 下列函数中是偶函数的是 A.y=sin2xBy=-sinxCy=
8、sinxDy=sinx+1 5. 下列函数中，奇函数的个数为 2y=xsinxy=sinx,x0,2py=sinx,x-p,py=xcosx A.1.B2C3D4 6. 在区间0,p上，下列函数为增函数的是 2A.y=1sinxBy=-1cosxCy=-sinxDy=-cosx 7. 函数y=sin2x的单调减区间是 A3pp+2kp,+2kp22p3pBkp+,kp+44Dkp-4,kp+42Cp+2kp,3p+2kppp(kZ)8. 如果xp4，则函数p4y=cos3p4x+sin的最小值是 9. 函数y=tanx(x且xp2)的值域为 A-1,1B(-,-1U1,+)C(-,1D-1,+) 答案：B B 3 C C D B 1-22 B
