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1、三角函数资料重整三角函数 p 0 6Sinx 0 1 2CosX 1 p 42 2p 3p 22p 33 2-3p 43 1 2p 5p 6 1 20 222 23 -1 23 30 3p2p 2 -1 0 / 0 1 0 3 22 21 2 0 / 1 2TanX 0 3 1 3 3 -3 -1 二 弧长及扇形面积公式 弧长公式：l=a.r 扇形面积公式:S=l.r a-是圆心角且为弧度制。 r-是扇形半径 例：一个扇形的面积是1cm2，它的周长为4cm, 则其中心角弧度数为_。 解： 124.任意角的三角函数 设a是一个任意角，它的终边上一点p, r=x2+y2 (1)正弦sina=xyy
2、 余弦cosa= 正切tana= rrx(2)各象限的符号： y y + x + y + O + yP T OMAx+pcos-a=sina2O O + + x sina cosa tana 例：角度为450度的角在第几象限？ 解：450=360+90，因此不在象限中，在y轴的正半轴。 5.同角三角函数的基本关系： 平方关系：Sin2a+ cos2a=1 (si2na=-1c2oas商数关系： 6.诱导公式：记忆口诀：把kpa的三角函数化为a的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号2,2aco=s-21)a sinsinap=tana cosa2看象限。 (1)sin(2kp+a)=sina，co
3、s(2kp+a)=cosa，tan(2kp+a)=tana(kZ) (2)sin(p+a)=-sina，cos(p+a)=-cosa，tan(p+a)=tana (3)sin(-a)=-sina，cos(-a)=cosa，tan(-a)=-tana (4)sin(p-a)=sina，cos(p-a)=-cosa，tan(p-a)=-tana 口诀：函数名称不变，符号看象限 (5)sinp-a=cosa，cos-a=sina 22p+a=cosa，cos+a=-sina 22p(6)sinp7三角函数图像的转化 y=sinx的图象上所有点向左平移j个单位长度，得到函数y=sin(x+j)的图象；
4、再将函数y=sin(x+j)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，得到函数y=sin(wx+j)的图象；再将函数y=sin(wx+j)w的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的A倍，得到函数y=Asin(wx+j)的图象 1将y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的不变），得到函数 1w倍平移j个单w位长度，得到函数y=sin(wx+j)的图象；再将函数y=sin(wx+j)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的A倍，得到函数y=Asin(wx+j)的图象 例 函数y=3sin(2xp)的图象，可看作是把函数y=3sin2x的图象作以下哪个平移3得到 pp (B)向右平移 33pp (C)向左平移
5、 (D)向右平移 66解： pp21已知函数y=Asin(x+)，(A0，0，|)在一个周期内，当x=262p时，y有最大值为2，当x=时，y有最小值为2，求函数表达式，并画出函3(A)向左平移数y=Asin(x+)在一个周期内的简图。 1O1xy8、函数y=Asin(wx+j)(A0,w0)的性质： 振幅：A；周期：T=2pw；频率：f=1w；相位：wx+j；初相：=T2pj 函数y=Asin(wx+j)+B，当x=x1时，取得最小值为ymin ；当x=x2时，取得11T(ymax-ymin)，B=(ymax+ymin)，=x2-x1(x1x2) 22215、正弦函数、余弦函数和正切函数的图
6、象与性质： 函 y=cosx y=tanx 数 y=sinx 性 最大值为ymax，则A=质 图象 定义域 值域 R R pxxkp+,kZ 2-1,1 当x=2kp+-1,1 (kZ)当x=2kp(kZ)时， ymax=1；当x=2kp+p R p2最值 时，ymax=1；当x=2kp-p2(kZ)时，ymin=-1 既无最大值也无最小值 (kZ)时，ymin=-1 周期性 奇偶性 2p 2p p 奇函数 偶函数 奇函数 pp在2kp-,2kp+ 22在2kp-p,2kp(kZ)pp在kZkp-,kp+上是增函数；在 )单(上是增函数；在 22调2kp,2kp+p p3p性 2kp+,2kp
7、+ (kZ)上是增函数 22(kZ)上是减函数 (kZ)上是减函数 对称中心对称中心对(kp,0)(kZ) 称对称性 px=kp+(kZ) 2对称中心轴pkp+,0(kZ) 2对称轴x=kp(kZ) kp,0(kZ) 2无对称轴 例 若sinx，则x的取值范围为 p5pp5p)(2k+，2k+) (B) (2k+，2k+) 66665pp7pp(C) (2k+，2k+) (D) (2k，2k+) 以上kZ 666612(A)(2k，2k+16函数y=2sin(2x p)的递增区间为_。 3第三章 三角恒等变换 1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： cos(a-b)=cosacosb+sina
8、sinb；cos(a+b)=cosacosb-sinasinb； sin(a-b)=sinacosb-cosasinb；sin(a+b)=sinacosb+cosasinb； tan(a-b)=tana-tanb ； 1+tanatanbtana+tanb 1-tanatanbtan(a+b)=2、二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin2a=2sinacosa1sin2a=sin2a+cos2a2sinacosa=(sinacosa)2 cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a a,1-cosa=2sin2升幂公式1+cosa=2cos2a22cos2a+11-c
9、os2a，sin2a= 降幂公式cos2a=22 tan2a=2tana 21-tana万能公式:2tan1-tan22;cos= 2sin= 1+tan21+tan2223、 半角公式: 1+cos1-coscos=;sin= 2222 1 - cos sin 1 - cos tan= 2 1 + cos 1 + cos sin 4、合一变形把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 Asina+Bcosa=A2+B2sin(a+j)，其中tanj=y=Asin(vx+j)+B形式。例、已知函数f(x)=2asinx23asinxcosx+a+b(a0)的定义域为2B Ap
10、，0，值域2为5，1，求常数a、b的值。 5、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能常用的数学思想方法技巧如下： 角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： 2a是a的二倍；4a是2a的二倍；a是a2的二倍；a2是a4的二倍； 30op15=45-30=60-45=；问：sin= ；212ooooocosp12= ； a=(a+b)-b；p4+a=p2-(p4-a)；2a=(a
11、+b)+(a-b)=(p4+a)-(p4-a)；等等 函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。 常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有： 1=sin2a+cos2a=tanacota=sin90o=tan45o 幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有： ； 。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式1+cosa常用升幂化为有理式，常用升幂公式有： ； ； 公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的
12、顺用，逆用及变形应用。 如：1+tana1-tana=_； =_； 1-tana1+tanatana+tanb=_；1-tanatanb=_； tana-tanb=_；1+tanatanb=_； 2tana= ；1-tan2a= ； tan20o+tan40o+3tan20otan40o= ； sina+cosa= = ； 1+cosa= ；1-cosa= ； 三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手； 基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值与特殊角的三角函数互化。 如：sin50o(1+3tan10o)= ； 已知sin+cos=，sincos=，则sin()=_。 19证明cos(coscos)+ sin(sinsin)=2sin21312a-b2。 正弦定理 ： abc=2R. sinAsinBsinC余弦定理： a2=b2+c2-2bccosA; b2=c2+a2-2cacosB; c2=a2+b2-2abcosC. 111三角形面积定理.S=absinC=bcsinA=casinB. 222
