三角函数知识点复习总结.docx

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1、三角函数知识点复习总结1角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3终边相同的角的表示： 终边与终边相同(的终边在终边所在射线上)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等。 如与角的终边相同，且绝对值最小的角的度数是

2、，合弧度。 终边与终边共线(的终边在终边所在直线上) 。 终边与终边关于轴对称。 终边与终边关于轴对称。 终边与终边关于原点对称。 终边在轴上的角可表示为：；终边在轴上的角可表示为：；终边在坐标轴上的角可表示为：。 如的终边与的终边关于直线对称，则_。 4与的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定。 是第二象限角，则是第_象限角 5弧长公式：，扇形面积公式：(1rad)。 ，1弧度如若 如已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。，它与原点的距离是是的终边上的任，那么 ） ， ，。 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。 如已知角的终边经过点P(

3、5，12)，则的值为。；设是第三、四象限角，则的取值范围是_；若，试判断符号 的7三角函数线的特征是：正弦线MP“站在轴上(起点在轴上)”、余弦线OM“躺在轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点处(起点是)”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。 如若，则)；若为锐角，则；函数的大小关系为_(答：的大小关系为_ 的定义域是_ 9 同角三角函数的基本关系式： 平方关系：倒数关系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1, 商数关系：同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三

4、角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。比如： 函数的值的符号为_； 若，则使成立的的取值范围是_； 已知，已知，则_；，则_； _已知；）； ，则等于 A、 B、 C、 D、； 已知，则的值为_。 10三角函数诱导公式的本质是：奇变偶不变，符号看象限.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：负角变正角，再写成2k+,；(2)转化为锐角三角函数。比如： 的值为_； 已知，则_，若为第二象限角， 则_。 11两角和与差的正弦、余弦、正切

5、公式及倍角公式： 比如： 下列各式中，值为的是 A、 B、 C、； D、 命题P：，命题Q：，则P是Q的 A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件； 已知，那么的值为_； 的值是_； (5)已知，求的值甲求得的结果是，乙求得的结果是，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是_ 12 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有: 巧变角，比如： 已知，那么的值是_； 已知，且，求的

6、值； 为锐角，则与的函数关系为_； ） 的值 。比如： ，则_； 设中，则此三角形是_三角形 (4)三角函数次数的降升(降幂公式：升幂公式：，)。比如： 与若 函数，化简为_； 的单调递增区间为_ (5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。比如： ； 求证： ； 化简： (6)常值变换主要指“1”的变换。 如已知 ，求。 (7)正余弦“三兄妹比如： 若 特别提醒：这里 ； ，则”的内存联系“知一求二”， _。 ，求的值。； ，试用表示的值若方程确定)在求最值、化简时有实数解，则的取值范围是_.； 当函数取得最大值时，的值是_(答：)； 如果2)； 求值：是奇函数，则= (答：_(答：

7、32) 14正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数和余弦函数图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象 15正弦函数、余弦函数定义域：都是R。 值域：都是，对，当时，取最大值的性质： 1；当取最大值1，当时，取最小值1；对，当时，时，取最小值1。比如： 若函数的最大值为，最小值为，则_，； 函数的值域是_； 若，则的最大值和最小值分别是_ 、_； 函数的最小值是_，此时_； 己知，求的变化范围； 若，求，）。 的最大、最小值周期性：、的最小正周期都是2；和的最小正周期都是。比如： 若，则_； 函数设函数立，则的最小

8、正周期为_； ，若对任意都有成的最小值为_ 奇偶性与对称性：正弦函数是奇函数，对称中心是，对称轴是直线；余弦函数是偶函数，对称中心是，对称轴是直线。比如： 函数的奇偶性是_； 已知函数为常数），且_； 函数的图象的对称中心和对称轴分别是，则_、_； 为偶函数，求的值。 单调性：上单调递增，在单调递减；减，在特别提醒，别忘了16形如几个物理量：A振幅；在上单调递增。 上单调递！ 的函数： 频率；初相； 相位；函数表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定，如，的图象如图所示，则_； 函数图象的画法：“五点法”设，令0，求出相应的值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；图象变换法

9、：这是作函数简图常用方法。 函数的图象与图象间的关系：函数个单的图象纵坐标不变，横坐标向左或向右平移位得的图象；函数图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象；函数图象的横坐的图象；函数）或向下，得得到标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数图象的横坐标不变，纵坐标向上； 的图象，只需把函数的图象向_平移_个单位； 图像，按向量平移后得到的函数图像关于原点对称，这样的向量是否唯一？若唯一，求出；若不唯一，求出模最小的向量； 的图象与直线有且仅有四个） 不同的交点，则的取值范围是 研究函数只需将中的性质的方法：类比于研究看成中的，但在求的性质，的单调区间时，要特别注意A和的符号，通过诱导公

10、式先将化正。比如： 函数的递减区间是_； 的递减区间是_； 设函数称，它的周期是，则 A、 B、数 C、 D、 的最大值是A 在区间上是减函的图象关于直线对对于函数给出下列结论：图象关于原点成中心对称；图象关于直线成轴对称；图象可由函数的图像向左平移个单位得到；图像向左平移个单位，即得到函数的图像。其中正确结论是_； 已知函数图象与直线的交点中，距离最近两点间的距离为，那么此函数的周期是_ 17正切函数的图象和性质： 定义域：。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的定义域了吗？ 值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值； 周期性：是周期函数且周期是，它与直线的两个相邻交点之间的距离是一个

11、周期。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。 如的周期都是, 但的周期为，而， 的周期不变； 奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是，特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图象与轴的交点，另一类是渐近线与轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。 单调性：正切函数在开区间内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性。如下图： 18三角形中的有关公式： (1)内角和定理：三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！

12、任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方。 (2)正弦定理：正弦定理的一些变式：；已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解。 (3)余弦定理：鉴定三角形的形状。 等，常选用余弦定理(R为三角形外接圆的半径).注意：； (4)面积公式：半径）.如中，若状。 求解三角形中的问题时，一定要注意这个特殊性：；求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。比如： 中，A、B的对边分别是件的，且，那么满足条 A、 有一个解 B、有

13、两个解 C、无解 D、不能确定； 在中，AB是成立的_条件； 在中， 在中，分别是角A、B、C所对的边，若，则_； ，则_； 在中，若其面积，则=_； 在中，这个三角形的面积为，则外接圆的直径是_； 在ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，= ，的最大值为 ； 在ABC中AB=1，BC=2，则角C的取值范围是 反三角函数的定义：，且，求。 ）； 的面表示一个角，这个角的正弦值为,且这个角在、反余弦、反正切内。(2)反正弦的取值范围分别是。 在用反三角表示两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角、直线的倾斜角、到的角、与的夹角以及两向量的夹角时，你是否注意到了它们的范围？， 。

14、 20求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数。比如： 若，且、是方程的两根，则求的值_； 中，则_； 若且，求的值向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？。 如已知A，B，则把向量按向量平移后得到的向量是_） 零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的； 单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)； 相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 平行向量：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：，规定零向量和任何向量平行。

15、 提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。 如下列命题：若，则。两个向量相等的充要条件是它，则是平行四边形。若，则。若，们的起点相同，终点相同。若是平行四边形，则则。若。其中正确的是_） 2向量的表示方法： 几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如在后； ，注意起点在前，终点符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，等； 坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基

16、底，则平面内的任一向量可表示为称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数若，则_； 、，使a=e1e2。比如： 下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. B. C. D. 已知分别是的边上的中线,且,则； 可用向量表示为_； 已知中，点在边上，且，则的值是_ ，4实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作和方向规定如下：0时，它的长度的方向与的方向相同，当，注意：0。 的方向与的方向相反，当0时，5平面向量的数量积：

17、两个向量的夹角：对于非零向量，作， 称为向量，的夹角，当0时，同向，当时，反向，当时，垂直。 平面向量的数量积：如果两个非零向量，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积，记作：，即。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。比如： ABC中，9）； ，则_； 已知，则等于_； 已知是两个非零向量，且） ，则的夹角为_在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。 如已知，且，则向量在向量上的投影为_的几何意义：数量积） 等于的模 与在上的投影的积。 向量数量积的性质：设两个非零向量，其夹角为，则： 当，同向时，反向时，特别地，0，且0，且不同向，不反向，；当与是；

18、 ；当为锐角时，为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，是为钝角的必要非充分条件； 非零向量，夹角的计算公式：；。 如已知，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是_；已知的面积为，且，若，则夹角的取值范围是_；已知，用表示；求与之间有关系式的最小值，并求此时与的夹角的大小 6向量的运算： 几何运算： 向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设那么向量叫做与的和，即； ，向量的减法：用“三角形法则”：设，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。 如化简：_；若正方形_；，则的中点，的所形状为

19、_；若在平面内有一点，满足的外心，且；若点是）； 坐标运算：设 向量的加减法运算： 如已知点，若，则： ，。 ，则当_时，点P在第一、三象限的角平分线上；已知，则 ；已知作用在点的三个力，则合力的终点坐标是 ） 实数与向量的积： 若，则，即一个向量的坐标等于表。 示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。 如设，且，则C、D的坐标分别是_； 平面向量数量积：。 如已知向量, , 。若x，求向量、的夹角；若x，函数的最大值为，求的值； 向量的模： 如已知）； 两点间的距离：若比如： 如图，在平面斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若向的单位向量，则P点斜坐标为中，则均为单位向量，它们的夹角为。 ，那

20、么_若点P的斜坐标为，求中的方P到O的距离PO；求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系程。2；）； 7向量的运算律： 交换律：， ，； (2)结合律：； 分配律：如下列命题中： ； 若，则； 或；若，。 ； 则；。其中正确的是_ 提醒：向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；向量的“乘法”不满足结合律，即么？ 8向量平行(共线)的充要条件：0。 如(1)若向量2）；已知；设线 9向量垂直的充要条件：.，当_时与共线且方向相同；以

21、原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，的坐标是_ ）；已知且，则的坐标是_ ，定比分点的概念：设点P是直线PP上异于P、P的任意一点，若存在一个实数 ，使叫做有向线段，则叫做点P分有向线段的以定比为的定比分点； 的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段 PP上时当P点在线段 PP的延长线上时；若点P分有向线段0；所成的比，P点1；当P点在线段PP的延长线上时所成的比为，则点P分有向线段所成的比为如若点分所成的比为，则分线段的定比分点公式：设。 所成的比为_ 、，分有向线段所成的比为，则，特别地，当1时，就得到线段PP的中点公式。在使用定比分点的坐标公式时，应明确，、的意义，

22、即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比。 如若M，N，且，则点P的坐标为_；已知且，直线与线段交于，则等于_ 11.平移公式：如果点曲线按向量按向量平移至平移得曲线，则。 ；注意：函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！ 如按向量把平移到，则按向量把点平移到点_）；函数的图象按向量平移后，所得函数的解析式是，则_ 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用； ，特别地，当同向或有；当共线反向或有(这些和实数比较类似). ；当不在中，若，则其重心的坐标为。 如若ABC的三边

23、的中点分别为、 ，则ABC的重心的坐标为_； 的重心，特别地的重心； 为的垂心； 向量所在直线过直线)； 的内心(是的角平分线所在的内心； 若P分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则，特别地为的中点 ； 向量中三终点且 共线。 存在实数使得如平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点,其中 、 ,若点满足且直线AB ,则点的轨迹是_的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如已知，则在数列的最大项为_；数列的通项为，其中均为正数，则中，且与的大小关系为_；已知数列取值范围；一给定函数得到的数列，由关系式则该函数的图象是 2.等差数列的有关概念： 等差数列的判断方法：定义法或。如设是等

24、差数列，求证：以bn=差数列。 为通项公式的数列为等等差数列的通项：，则通项或 ；首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是_ 等差数列的前和：，。如数列 中，）；已知数列 ，前n项和的前n项和，则，等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。 提醒：等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为，个数成等差，可设为，3.等差数列的性质： ；偶数, 当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和关于的

25、二次函数且常数项为0. 若公差，则为递增等差数列，若公差若公差，则为常数列。 当时,则有则有如等差数列27）；在等差数列则A、都小于0，中，中，且都大于0 B、都小于0，0，特别地，当。 是，则为递减等差数列，时，则_ (4) 若、若是等差数列，则、 (、是非零常数)、成等比数列； ，也成等差数列，而是等比数列，且，则是等差数列。 如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。 在等差数列时，中，当项数为偶数时，即）；项数为奇数。 在等差数列中，S1122，则数的等差数列_；项数为奇中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数 若等差数列、的前和分别为、，且

26、，则.如设与是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么_ (7)“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组确定出前多少项为非负；法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。上述两种方法是运用了哪种数学思想？，由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？ 如等差数列中，问此数列前多少项和最大？并求是等差数列，此最大值。；若首项，则使前n项和， 成立的最大正整数n是 (8)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两

27、等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究4.等比数列的有关概念： 。 等比数列的判断方法：定义法，其中或。 如一个等比数列共有项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则为_；数列中，=4+1 且=1，若 ，求证：数列等比数列的通项：如设等比数列中，是等比数列。 或。 ，前项和126，求和公比. 等比数列的前和：当时，；当时，。 如等比数列中，2，S99=77，求；的值为_； 特别提醒：等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解。 等比中

28、项：若成等比数列，那么A叫做与的等比中项。提醒：不是任。如已知两个正数何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为_ 提醒：等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为，；但偶数个数成等比时，不能设为，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为。 如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。

29、 5.等比数列的性质： 当时，则有，特别地，当. 如在等比数列中，公比q是整数，则中，若，则=_时，则有；各项均为正数的等比数列 。 (2) 若是等比数列，则、成等比数列；若成等比数列，则、成等比数列；若是等比数列，且公比，则数列数时，数列 ，也是等比数列。当，且为偶 ，是常数数列0，它不是等比数列。 如已知且，则，设数列满足 . ；的值在等比数列中，为其前n项和，若为_ (3)若若若，则 ，则，则为递增数列；若为递减数列；若为摆动数列；若，则, 则, 则为递减数列；为递增数列；为常数列。 (4) 当时，这里，但，判断数列，是否这是等比数列前项和公式的一个特征，据此很容易根据为等比数列。 如若

30、是等比数列，且(5) 如设等比数列的公比为，前项和为，若，则 。 成等差数列，则的值为_ (6) 在等比数列中，当项数为偶数时，时，。 ；项数为奇数(7)如果数列列，故常数数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。 如设数列若的前项和为，则，则， 关于数列有下列三个命题：既是等差数列又是等比数列；若，则是等比是等差数列；若数列。这些命题中，真命题的序号是 6.数列的通项的求法： 公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。 如已知数列试写出其一个通项公式：_ 已知求 如已知的前项和满足，求；，用作差法：。 数列满足，求 已知求，用作商

31、法： 。 如数列中，对所有的都有，则_ 。 如已知数列满足， ，则=_ 已知求，用累乘法：。 如已知数列中，前项和，若，求 已知递推关系求，用构造法。特别地， 形如、的递推数列都可以用。 待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求如已知，求，求；已知）； 形如的递推数列都可以用倒数法求通项。 如已知，求；已知数列满足=1，求 注意：用件了吗？；一般地当已知条件中含有，先将已知条件转化为只含与或的混合关系时，常需运用关系式的关系式，然后再求解。 如数列满足，求7.数列求和的常用方法： 公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类

32、讨论.；常用公式： ; ; . 如等比数列的前项和S2，则_；计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。二进制即“逢2进1”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是，那么将二进制转换成十进制数是_分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。 如求：倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和。 如求证：；已知，则_ 错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法。 如设求数列为等比数列，已知的通项公式.；设函数是

33、等比数列；令，求函数在点处的导数，并比较与的大小。 裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： ； ； ，； ； 如求和： ；在数列中，且S，则n_； 通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。 如求数列14，25，36，前项和= ；求和： 8. “分期付款”、“森林木材”型应用问题 (1)这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题，则常选用“统一法”统一到“最后”解决。 (2)利率问题：单利问题：如零存整取

34、储蓄本利和计算模型：若每期存入本金元，每期利率为，则期后本利和为：；复利问题：按揭贷款的分期等额还款模型：若贷款元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期后为第一次还款日，如此下去，分期还清。如果每期利率为，那么每期等额还款元应满足：同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若，但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； 左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若，则； 左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若； 若，则；若比如： ，则，则或。 对于实数中，给出下列命题：；，则。其中正确的命题是_； 已知，则）； 的取值范围是_已知，且则的取值范

35、围是_ 2不等式大小比较的常用方法： 作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 作商； 分析法； 平方法； 分子有理化； 利用函数的单调性； 寻找中间量或放缩法； 图象法。 其中比较法是最基本的方法。比如： 设，比较的大小；当取等号）； 时，设，试比较的大小； 比较1+与的大小 ；当时，1+3利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。比如： 下列命题中正确的是 A、的最小值是2 B、的最小值是2 C、的最大值是值是 D、； 的最小若，则的最小值是_； 正数满足，则的最小值为_； 4常用不等式有： (根据目标不等式左右的运

36、算结构选用) ； 若，则。 时，取等号）； a、b、cR，如如果正数、满足，则） 的取值范围是_后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。). 常用的放缩技巧有：如已知，求证：，求证：；已知 ；(2) 已知，且，求证：；(4)若a、b、c是不全相等的正数，求证：；已知；(6)若，求证：，求证：；(7)已知，求证：；求证：。 6简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集

37、。比如： 解不等式。不等式的解集是_设函数、的定义域都是R，且，则不等式的解集为的解集为_； 要使满足关于的不等式至少满足不等式的每一个的值中的一个，则实数的取值范围是，或）； 或）； 的解集为_. 7分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。比如： 解不等式关于的不等式的解集为，则关于的不等式）. ； 的解集为_分段讨论法：如解不等式数形结合；如解不等式如若不等式对；利用绝对值的定义；）两边平方：恒成立，则实数的取值范围为_。

38、9含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. 比如： 若，则的取值范围是_解不等式； 或；时，或） 提醒：解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。 如关于的不等式 的解集为，则不等式的解集为_） 10含绝对值不等式的性质： 同号或有异号或有. ； 如设，实数满足，求证： 11不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？ 1)恒成立问题 若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间如设实数_；不等式）；若不等式，当时，的取值范围是对一切实数恒成立，对满足上上求实数的取值范围_）；若不等式对于任意正整数恒成立，则实数的取值范围是_；若不等式对的所