三角函数应用题练习及答案.docx

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1、三角函数应用题练习及答案三角函数的应用题 第一阶梯 例1如图，ADBC，ACBC，若AD=3，DC=5，且B=30，求AB的长。 解：DAC=90 由勾股定理，有 222CD=AD+AC AD=3，DC=5 AC=4 B=30 AB=2AC AB=8 1例2如图，ABC中，B=90，D是BC上一点，且AD=DC，若tgDAC=4,求tgBAD。 探索：已知tgDAC是否在直角三角形中？如果不在怎么办？要求BAD的正切值需要满足怎样的条件？ 点拨：由于已知中的tgDAC不在直角三角形中，所以需要转化到直角三角形中，即可地D点作AC的垂线。 又要求BAD的正切值应已知RtBAD的三边长，或两条直角

2、边AB、BD的长，根据已知可知没有提 供边长的条件，所以要充分利用已知中的tgDAC的条件。由于AD=DC，即C=DAC，这时也可 把正切值直接移到RtABC中。 解答：过D点作DEAC于E， QtgDAC=14 tgDAC=且DEAE 设DE=k，则AE=4k AD=DC, DAC=C，AE=EC AC=8k tgC=AB1=BC4 设AB=m，BC=4m 由勾股定理，有 222AB+BC=AC m=817k17 3217k17 BC=由勾股定理，有 222CD=DE+EC 1 CD=17k BD=1517k17 由正切定理，有 DBAB15tgBAD=.8 tgBAD=例3如图，四边形AB

3、CD中，D=90，AD=3，DC=4，AB=13，BC=12，求sinB。 探索：已知条件提供的图形是什么形？其中D=90，AD=3，DC=4，可提供什么知识？求sinB应放在什么图形中。 点拨：因已知是四边形所以不能求解，由于有D=90，AD=3，DC=4，这样可求AC=5，又因有AB=13，BC=12， 所以可证ABC是Rt，因此可求sinB。 解：连结AC D=90 由勾股定理，有 222 AC=CD+CD AD=3，CD=4， AC=5 AB=13，BC=12 22213=12+5 ACB=90 由正弦定义，有 ACAB5sinB=13 sinB= 第二阶梯 例1如图，在河的对岸有水塔

4、AB，今在C处测得塔顶A的仰角为30，前进20米后到D处，又测得A的 仰角为45，求塔高AB。 探索：在河对岸的塔能否直接测得它的高度？为什么在C、D两处测得仰角的含义是什么？怎样用CD的长？ 点拨：要直接隔岸测得塔高是不可能的，也不可能直接过河去测量，这时只能考虑如何利用两个仰角及CD长，由于塔身与地面垂直，且C、D、B三点共线这时可以构成一个直角三角形，且有ACB=30，ADB=45，这时就可以借助解直角三角形的知识求解了。 解：根据仰角的定义，有 ACB=30，ADB=45 又ABCB于B。 DAB=45 DB=AB 设AB=x 2 由正切定义，有 ABDBAB及tgACB=.CBCD=

5、x(3-1)QCD=20,tgADB=x(3-1)=20 解得x=10(3+1) 即塔高AB=10(3+1) 答：塔高AB为10(3+1)米。 第三阶梯 例1已知等腰三角形的顶点为A，底边为a，求它的周长及面积。 探索：在现在的已知条件下能否求得周长与面积？如果不能求解是因为什么原因造成的，这时底边为a， 能否确定腰长及各个内角呢？首先能否确定三角形是直角三角形呢如果不是直角三角形怎么办？ 点拨：由于没有相应的图形，所以应先确定图形，若是等腰三角形，应先假设这个三角形是斜三角形， 再根据条件先转化为直角三角形，再求相应的量。 设已知ABC中，AB=AC，BC=a 解：过A点作：ADBC竽D点，

6、设BAD= AB=AC a,BAD=CAD=aBD=CD=2 根据正弦定义，有 sinBAD=BDABaa即AB=2=.sina2sinaa同理AC=2sina aAB+AC+BC=a+sina 由余切定义，有 ctgBAD=ADDB actgaAD=2 3 SDABC=1BCAD2 SDABCa2=ctga4 a注意：也可设BAC=，则BAD=2。 例2有一块矩形纸片ABCD，若把它对折，B点落在AD上F处，如果DC=6cm，且DFC=2，ECB=， 求折痕CE长。 探索：根据已知条件图形对折，B点落在F点的含义是什么？它会有怎样的结论？这时又可以形成什么 图形关系？另知DC的长能否求折痕呢

7、？又根据条件我们还可以确定什么？这时又可形成怎样的问题？ 点拨：由于F点的形成是因对折B点而形成的，因此可有EBCFEC，同时又可有AEFCDF。 根据已知条件DFC=2及ECB=，这时就可以形成与角有关的图形。进而可求CE的长。 解：根据已知条件，有 EBCFEC EB=EF，BC=FC，ECB=ECF CFD=2，且ECB= ECF= 由余弦定义，有 cosADC=CDCF ADC=902 CF= CDsin2q 由余弦定义，有 cosFCE=CE=CFCE 例3如图6-5-5，某船向正东方向航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西30，又航行了半小时，望见灯塔C恰在

8、西北方向，若船速为每小时20海里，求A、D两点间的距离， 6sin2qcosq 4 图6-5-5 思路分析： 易知ACD是等腰直角三角形，要求AD，不能利用ACD直接求得，由于BD=201=10,图形中再没有2其他的直角 三角形，必须构造直角三角形，作CEAD于E，只要求出CE，就可能以求出AD，借助两个直角三角形中，BE、DE与BD的关系以及BE与CE之间的关系就可求CE。 解 作CEAD，垂足为E，设CE=x海里 CAD=CDA=90-45=45， CE=AE=DE=x。 在RtBCE中，CBE=90-30=60， BE=CEcot60o=由DE-BE=BD得， 3x, 3x-31x=20

9、， 32解得x=15+53。 AD=2x=(30+103)(海里）。 答：A、D两点间的距离为(30+103)海里。 第四阶梯 例1有一段防洪大堤，其横断面为梯形ABCD，ABDC，斜坡AD的坡度i1=1:1.2,斜坡BC的坡度i2=1:0.8，大坝顶宽DC为6米，为了增强抗洪能力，现将大堤加高，加高部分的横断面为梯形DCFE，EFDC，点E、F分别在AD、BC的延长线上，当新大坝顶宽EF为3.8米时，大坝加高了几米？ 5 图6-5-6 思路分析： 本题实质上是梯形CDEF的有关计算问题，注意到大堤加高但坡度不变，即DE、CF的坡度公别为1:1.2,1:0.8,又DC=6 米，EF=3.8米,

10、要求大坝加高的高度,分别作FHDC于G,FHDC于H,利用RtDEG, RtCFH和矩形EFHG可以求出新 大坝的高度. 解 作EGDC,FHDC,垂足分别为G,H,则四边形EFHG是矩形,GH=EF=3.8米. 设大坝加高x米,则EG=FH=x米。 i1=1:1.2, i2=1:0.8, EG1FH1=,=. DG1.2CH0.8DG=1.2x,CH=0.8x. 由DG+GH+CH=6，得 1.2x+3.8+0.8=6.解得 x=1.1 答：大坝加高了1.1米。 例2如图6-5-7，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形式气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城

11、市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。 该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由。 若会受到台风的影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ 该城市受到台风影响的最大风力为几级？ 图6-5-7 思路分析： 作ADBC于D，达到或超过四级风力所影响的范围是距台风中心不超过20=160千米的范围内， 6 比较AD与160的大小关系，就可以确定该城市是否受这次台风的影响。 当A点距台风中心不超过160千

12、米时，将受到台风的影响，如图6-5-7，AE=AF=160千米，当台风中心从E处移 到F处时，该城市都会受到这次台风的影响，利用勾股定理计算出EF的长度，就可以计算出这次台风影响该城 市的持续时间。 显然当台风中心位于D处时，A市所受这次台风的风力最大。 解 如图6-5-7，由点A作ADBC，垂足为D。 AB=220，B=30，AD=1AB=110(千米)。 2由题意，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响，由于AD=110160,所以A市会受到这次台 风的影响. (2)在BD及BD的延长线上分别取E,F两点,使AE=AF=160千米. 由于当A点距台风中心不超过160千米时,

13、将会受到台风的影响. 所以当台风中心从E点移到F点时,该城市都会到这次台风的影响. 在RtADE中,由勾股定理,得DE=EF=2DE=6015(千米). AE2-AD2=1602-1102=305 该台风中心以15千米/时的速度移动,这次台风影响该城市的持续时间6015=415(小时). 15110=6.5(级) 20(3)当台风中心位于D处时,A市所受这次台风的风力最大,其最大风马牛不相及力为12-四、 A组 1如图：6-5-8，一铁路路基的横断面为等腰梯形，根据图示数据计算路基的下底宽AB=_。 2如图6-5-9，在高2米，坡角为30的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 _米 图6-5-8

14、图6-5-9 3如图6-5-10，在高离铁塔150米的A 处，用测角仪测得塔顶的仰角为30，已知测角仪高AD=1.52米，则塔高 BE=_ 7 图6-5-10图6-5-11 4某防洪堤坝的横断面是梯形，已知背水坡的坡长为60米，坡角为30，则坝高为_ 米。 5升国旗时，某同学站地离旗杆底部24米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30，若双眼离地面1.5米，则旗杆高度为_ 米， 6在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为45，沿水平方面再向塔底前进a米，又测得塔尖的仰角为60，那么电视塔高为_。 7若太阳光线与地面成37角，一棵树的影长为10m，则树高h的取值范围是 A3h5 B

15、、5h10 C.10h15 8河堤的横断面如图6-5-11所示。堤高BC是5米，迎水坡AB的长是13米。那么斜坡AB的坡宽I是 A1：3 B、1：2 6 C.1:2.4 D.1:2 9.某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时，光线与地面成80角。房屋朝南的窗子高AB=1.8m,要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板AC的宽度至少应为 图6-5-12 图6-5-13 A1.8tan80m B.1.8cos80m C.1.8m D.1.8cot80m osin8010.如图6-5-13，水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽6米，坝高24米，斜坡AB的坡角为45，斜

16、坡CD的坡度I=1：2，则坝底AD的长为 A42米 B、米 C、78米 D、米 11、如图6-5-14，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为a,则它们重叠部分的面积为 A11 B. C.sina D.1 sinacosa 8 图6-5-14 12.如图6-5-15，直升飞机在跨河大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为=30,=45，求大桥AB的长. 13.某型号飞机的机翼形状如图6-5-16所示，其中ABCD，根据图中的数据计算AC、BD和CD的长度。 14如6-5-17，某水库大坝的横断面是等腰梯形，

17、坝顶宽度为6米，坝高10米，斜坡AB的坡度是1：2，现要加高2米，在坝顶宽度和斜坡坡度不变的情况下，加固一条长50米的大坝，需要多少土方？ 15如图6-5-18,已知C城市在B城市的正北方向，两城市相距100千米，计划在两城市间修筑一条高速公路，经测量，森林保护区A在B城市的北偏东40方向上，又在C城市的南偏东56的方向上，已知森林保护区A的范围是以A为圆心，半径为50千米的圆，问：计算修筑的这条公路会不会穿越保护区？为什么？ B组 1、 1、 知小山的高为h,为了测得小山顶上铁塔AB的高x,在平地上选择一点P，在P点处测得B点的仰角为，A点的仰角为。 试用、和h的关系式表示铁塔高x; 在右表

18、中根据第一次和第二次的“测得数据”，填写“平均值”一列中、的数值； 根据表中数据求出铁塔x的值。 2.如图6-5-20，某校的教室A位于工地O的正西方向，且OA=200米，一台拖拉机从O点出发，以每秒5米的速度沿北偏西53方向行驶，设拖拉机的噪声污染半径为130米，试问教室A是否在拖拉机的噪声污染范围内？若不在，请说明理由；若在，求出教室A受污染的时间有几秒？ 图 6-5-20C组 9 1、已知ABC中，BAC=90，ADBC于D，CD=9，AB=20，求sinB。 2、已知水库大坝的横截面是梯形ABCD，若BCAD，坝顶BC宽5米，坝高20米，斜坡AB的坡度之i=12.5， 斜坡CD的坡度i

19、=12，求坝底AD及AB、CD长。 3、在RtABC中，ACB=Rt,CDAB于点D，AD4,sinACD= A组答案 1、34m 2、5.5 3、88.1米 4.30 5.(83+1.5) 6.4,则CD，BC。 53+3a米 2113-3）米 37B 8、C 9、D 10、C 11、A 12、329米 13、AC=36米，BD=6米，CD=x=tanbx30.88m -1h;(2)=2918，=3559；tana2作ABOM于B，易知AOB=90-53=37，所以AB=OAsinAOB=OAsin372000.60=120(米)。因为120130，所以教室A在噪声污染范围内，依题意，在OM上取两点C、D，连结AC、AD，使AC=AD=130米。在Rt ABC中，由勾股定理可得BC=50米，所以CD=2BC=100米， 间为20秒。 C组答案： 100=20，教室A受噪声污染时520x=21、易证ABDABC，即AB=BCBD，设BD=x，则x+920 sinB=x=16，即BD=25，AC=15，35 2、作BEAD于E，CFAD于F，AD=95米，AB53.9米，CD44.7米。 3、3， 10