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1、三角形垂心定理的7种证法三角形“垂心”定理的7种证法 李小飞 摘要：用赛瓦定理、作辅助线、三角形外接圆、向量法证明三角形垂心定理，形成典型的一题多解，到达异曲同工之妙，体现数学的内在联系。 关键词:三角形、垂心、垂线、圆、向量 目录： 三角形“垂心”定理的证法 1.1定理-2 1.2预备定理-2 1.3定理的证法-2 1.3.1证法1-2 1.3.2证法2-2 1.3.3证法3-3 1.3.4证法4-3 1.3.5证法5-4 1.3.6证法6-4 1.3.7证法7-5 引注和参考资料-5 - 1 - 三角形“垂心”定理的证法 1.1定理： 三角形三条高相交于一点，这点叫做三角形的垂心. 已知，
2、如图DABC中,AD,BE,CF A分别是边BC,CA,AB上的高. E 求证: AD,BE,CF相交于一点 F1.2预备定理: B D图 1.塞瓦(Ceva)定理:设D、E、F分别是DABC三边BC、CA、AB上的点,若 CAFBDCE=1,则AD,BE,CF交于一点. FBDCEA2.三角形“外心”定理:三角形三边的中垂线相交于一点,此点与三顶点等距,这点叫做三角形的外心. 3. 三角形“内心”定理:三角形三内角平分线交于一点,此点与三边等距,这点叫做三角形的内心. 1.3定理的证法 1.3.1证法1 如图，由已知可得，DCAFDBAEBDBFAFAEAFAC=,DABDDCBF AEAB
3、ABCEBC=.三式相乘得：，DACDDBCECBCDACBDCEACABBCAFBDCE=1.即=1.由塞瓦定理可得AD，BFCDABCBACBFCDAEBE，CF相交于一点. 1.3.2证法2 如图分别过A、B、C做它们所在高的垂C线，使之相交成DABC. 则FAEBAB/AB,BC/BC BDC图 - 2 - A四边形ABCB为平行四边形AB=CB同理，四边形ABAC为平行四边形,AB=AC,AC=CB 可见，CF为边AB的中垂线。同理可得，BE为边CA的中垂线，AD为边BC的中垂线.AD,BE,CF为DABC三边上的中垂线.由“外心”定理可知，AD、BE、CF相交于一点. 1.3.3证
4、法3 如图连结DE，EF，FD， 则A、B、D、E四点共圆， 1=2.在RtDABE和RtDACF中， A易知2=3，1=3. 又A、F、D、C四点共圆，E3=4，1=4.可见，AD平F分EDF.同理可得，BE平分DEF，CF平分412EFD.在DDEF中， 3由“内心”定理可得，AD，CDBE，CF相交于一点. B图1.3.4证法4 如图设AB边上的高CF与BC边上的高AD相交于H，连结BH并延长交AC于E. 连结DF，因A、F、D、C四点共圆， A1=2又B、D、H、F四点共圆， E2=3， 1=3在 DBAE和中DCAF中， 可知AEB=AFC=90， 0FH321BEAC， BE为边A
5、C上的高. 由此可见，高AD、BE、CF 相交于一点. BD图C- 3 - 1.3.5证法5 如图设边BC，AC上的高AD，BE相交于H. 连结DE，作HFAB于F。 F连结CH， 3 1 B则A、B、D、E四点共圆， 1=2又1与3互余，2与4互余. 3=4又C、E、H、D四点共圆， AE5H24D图C4=5，3=5。又5+BHC=1800， 3+BHC=1800， C、H、F三点共线。 即AB边上的高CF经过H点。因而三条高AD、BE、CF相交于一点. 1.3.6证法6 如图设BC边上的高AD与AB边上的高CF相交于H，连结BH并延长交AC于E.建立如图所示的直角坐标系，并设A、B、C三点
6、的坐标分别为： A，B，C,则 yA(0,a)EFH B(b,0)D(0,0)C(c,0)图x- 4 - KAB=a-0ab=-.QCFAB,KCF=,0-bbaCF所在直线方程y-0=KCF(x-c)即y=bbc(x-c).令x=0,得y=-.aabc点H坐标为H0，-.abc-0ca-0aKBH=a=.又KAC=-.0-ba0-cccaQKBHKAC=(-)=-1acBEAC即BE为AC边上的高。可见高AD、BE、CF相交于一点. 1.3.7证法7 如图，设边BC上的高AD与AB边上的高CF相交于H，连结BH并延长交AEaFHbBAC于E。cC图D设HA=a，HB=b，HC=c则AB=b-a。QCFABABHC=0 ()即(c-b)a=0ac=ab，bc=ab，b(c-a)=0,Qc-a=AC 即b-ac,bc=ac.又BC=c-b,且ADBC，BCHA=0， HBAC=0可见，BEAC， 即BE是AC边上的高.DABC三边上的高AD、BE、CF相交于一点. 引注和参考资料： 上述7种证法中，其中证法2是由高斯最早发现的，所以此证法又叫做高斯“外心”证法。证法3是由杨乐最早发现的，所以此证法又叫做杨乐“内心”证法。其余证法是由后人所创. - 5 - - 6 -
