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1、三角形重心垂心外心内心相关性质介绍三 角 形 的“四 心” 所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。 一、三角形的外心 定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心， 即外接圆圆心。DABC的重心一般用字母O表示。 性 质： 1.外心到三顶点等距，即OA=OB=OC。 2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即ODBC,OEAC,OFAB. 111BOC,B=AOC,C=AOB。 222二、三角形的内心 3.A=定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。DABC的内心一般用字母I表示，它具有如下
2、性质： 性 质： 1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。 2.三角形的面积1三角形的周长内切圆的半径 23.AE=AF,BF=BD,CD=CE； AE+BF+CD=三角形的周长的一半。 4.BIC=90+o111A,CIA=90o+B，AIB=90o+C。 222三、三角形的垂心 定 义：三角形三条高的交点叫垂心。DABC的垂心一般用字母H表示。 性 质： 1.顶点与垂心连线必垂直对边， 即AHBC,BHAC,CHAB。 2.ABH的垂心为C，BHC的 垂心为A，ACH的垂心为B。 1 四、三角形的“重心”： 定 义：三角形三条中线的交点叫重心。DABC的重心一般用字母G表示。
3、 性 质： 1.顶点与重心G的连线必平分对边。 2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。 即GA=2GD,GB=2GE,GC=2GF 3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值 即xG=xA+xB+xCy+yB+yC,yG=A. 334.向量性质：GA+GB+GC=0； PG=5.SDBGC=SDCGA1(PA+PB+PC)，31=SDAGB=SDABC。 3五、三角形“四心”的向量形式： 结论1：若点O为DABC所在的平面内一点，满足OAOB=OBOC=OCOA， 则点O为DABC的垂心。 结论2：若点O为ABC所在的平面内一点，满足OA+BC=OB+CA=OC+AB， 则点O为DABC的垂心。 结论3：若点G满足GA+GB+GC=0，则点G为DABC的重心。 结论4：若点G为DABC所在的平面内一点，满足OG= 则点G为DABC的重心。 结论5：若点I为DABC所在的平面内一点，并且满足aIA+bIB+cIC=0 ，则点I为ABC的内心。 结论6：若点O为DABC所在的平面内一点，满足2222221(OA+OB+OC)， 3(OA+OB)BA=(OB+OC)CB=(OC+OA)AC，则点O为DABC的外心。 结论7：设l(0,+)，则向量AP=l( AB|AB|AC|+AC)，则动点P的轨迹过DABC的内心。 2
