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1、上海市重点中学重要考题及精解上海市重点中学重要考题精选及精解 1、已知数列an中，a1=1,且点P(an,an+1)(nN*)在直线x-y+1=0上. 求数列an的通项公式； 若函数f(n)=1111(nN,且n2),+L+n+a1n+a2n+a3n+an求函数f(n)的最小值； 1,Sn表示数列bn的前n项和试问：是否存在关于n的整式g(n)，使得 anS1+S2+S3+L+Sn-1=(Sn-1)g(n)对于一切不小于2的自然数n恒成立？ 若存在，写出g(n)的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。 解：由点P(an,an+1)在直线x-y+1=0上， 设bn=即an+1-an=1，-2
2、分 且a1=1，数列an是以1为首项，1为公差的等差数列 an=1+(n+1)1=n(n2)，a1=1同样满足，所以an=n f(n)=-4分 111+L+ n+1n+22n11111+L+ f(n+1)=-6分 n+2n+3n+42n+12n+2111111+-=0 f(n+1)-f(n)=2n+12n+2n+12n+22n+2n+17 所以f(n)是单调递增，故f(n)的最小值是f(2)=-10分 1211111bn=，可得Sn=1+L+，Sn-Sn-1=(n2)-12分 n23nn nSn-(n-1)Sn-1=Sn-1+1， (n-1)Sn-1-(n-2)Sn-2=Sn-2+1 S2-S
3、1=S1+1 nS-S1=S1+S2+S3+L+Sn-1+n-1 相加得：nS1+S2+S3+L+Sn-1=nSn-n=n(Sn-1)，n2-15分 所以g(n)=n。 故存在关于n的整式g=n,使得对于一切不小于2的自然数n恒成立。-16分 2小题6分，第小题8分） 设数列an是等差数列,a5=6 当a3=3时,在数列an中找一项am,使a3,a5,am成等比数列，求m的值； 当a3=2时,若自然数nt,满足5n1n2 nt ，且使得a3,a5,an1,an2L,antL成等比数列,求数列nt的表达式 解: 由于a5=a3+2d 所以d=33 am= a3+d = 223Q a3、a5、am
4、成等比数列 36=3 m=9. 2 由a3=2, a5=6, d=2 an= a3d = 2n4 又 公比q=a5=3 ant=23t+1 a32nt4=23t+1 nt=3t+1+2. 3. 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分 已知各项均不相等的正项数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn. 若an,bn为等差数列，求证：limanS=limn. nbnTnn将中的数列an,bn均换作等比数列，请给出使lim条件. anS=limn成立的nbnTnn证明设an,bn的公差分别为d1,d2，则 ana+(n-1)d1d1=lim1=, 4分 xbxb+(n-1)dd2n12n
5、(n-1)na1+d1Snd2limlim=1, xTxn(n-1)d2nnb1+d22aS所以limn=limn.8分 xbxTnn解设an,bn的公比分别为q1,q2，则 limlimanaq=limnbbqnn-111n-1n12=qa1lim1b1nq2n-1a1(q1=q2),11分 =b10(qq).12Sna1(1-q2)1-q1nlim=limnTn1-qnb(1-q)n112a1b(q1=q2),1a(1-q2)=1(0q11,0q21),14分 b(1-q)110(0q11).所以使lim anS=limn成立的条件是0q11或q1=q2.16分 xbxTnn4题5分，第题
6、5分，第题6分） 已知数列an中，a1=1,a2=2，且an+1=(1+q)an-qan-1(n2,q0)。 记bn=an+1-an(nN*)，求证：数列bn是等比数列，并求bn的通项公式； 求an的通项公式； -3,-1)(U1-,0)(0,1)U 当q(12nim时，记An=Cn求la1+Cna2+L+Cnan，An的n2n值。 5 解： 由an+1=(1+q)an-qan-1得an+1-an=q(an-an-1)，即bn=qbn-1(n2) 又a1=1,a2=2，所以b1=a2-a1=1，又q0。 所以bn是以1为首项，q为公比的等比数列。 4分 bn-1n=q 5分 注：在证明中若从b
7、n=qbn-1(n2)得出bn是等比数列扣1分。 由bn=an+1-a-1n及bn=qn-1得an+1-an=qn 6分 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+L+(a3-a2)+(a2-a1)+a1 qn-2+qn-3+L+q+1+1 8分 当q=1时an=n 9分 1时a1-qn-1当qn=1-q+1 10分 由q(-3,-1)U(-1,0)U(0,1)知a1-qn-12-qqn-1 n=1-q+1=1-q+q-1 A=C12nnna1+Cna2+L+Cnan=2-q 1-q(C12n11021nn-1n+Cn+L+Cn)+q-1(Cnq+Cnq+L+Cnq) 2-q1-q(2
8、n-1)+1q(q-1)(1+q)n-1 13分 Anq-2112n=q-1(1-2n)+q(q-1)(1+q2)n-12n 2分 因为q(-3,-1)U(-1,0)U(0,1)，所以-2q+12-1则lim(nq+1f(2m2)恒成log2(an+3),n=2k,立的自然数m的最小值. 解：Qa1=1,Sn+1=2Sn+3n+1, S2=2S1+4=a1+a2.a2=5. 又当n2时，Sn=2Sn-1+3(n-1)+1， Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+3,即得an+1=2an+3. an+1+3=2(an+3),(n2).-4分 a2+38=2,数列an+3是公比为2，首项为a1+3
9、=4的等比数列.2分 a1+34 由，知an+3=42n-1. an=2n+14(1-2n)-3,Sn=-3n=2n+2-3n-4. 1-22n+1-1,n=2k-1f(n)=(kN*).4分 n+1,n=2k当m为偶数时，Qf(m)=m+1,f(2m)=2m+1， 不存在自然数m，使f(m)f(2m2)恒成立. 2分 当m为奇数时，f(m)=2m+1-1,f(2m2)=2m2+1,而f(m)f(2m2), 22-1=3=f(2m2)=3； 2+12当m=3时，f(m)=2-1=15f(2m)=51； m2当m5时，即证：2m+1恒成立 ）m=5，已证 k2）假设m=k(k5)，结论成立，即2
10、k+1 k+2 则m=k+2时，2=42k4(k2+1) 2 而4k2+1-(k+2)-1=k(3k-4)-10 k+2则2(k+2)2+1 当m=1时，f(m)=21+1()即 m=k+2时，结论成立 所以当m5且为奇数，f(m)f(2m2)成立， -3分 此时m的最小值为5. -1分 7( 12分)已知数列an的前n项和为Sn，且满足求数列an的通项公式； an-1Sn1=1. 记S=a1+a2+L+an+L.试比较S与(n+1)an的大小关系，并证明你的结论. 解：an+Sn=1， an-1+Sn-1=1 以上两式相减得到an-an-1+(Sn-Sn-1)=0，即an-an-1+an=0
11、 3分 所以11an1=，数列an是公比为等比数列，又a1+S1=1，a1=， 22an-1211n-11n=. 6分 2221n+1S=2=1，(n+1)an=n 8分 121-2n+1n+2n+2n+1n设f(n)=n，则f(n+1)=n+1，f(n+1)-f(n)=n+1-n=-n+10，判断x1+x2-1的值的符号。 解：an=g(an-1)=f(an-1)-f(1-an-1)=an-1-(1-an-1)=2an-1-1，则an-1=2(an-1-1)， a1-1=2，即数列an-1是以2为首项，2为公比的等比数列， n222m-1+2m=22m+1+2m-2； an=2+1，S2m=
12、2-1若x1+x2-10，则x11-x2,x21-x1，f(x)是定义在R上的增函数 f(x1)f(1-x2),f(x2)f(1-x1)，则f(x1)+f(x2)f(1-x2)+f(1-x1) f(x1)-f(1-x1)+f(x2)-f(1-x2)0，即g(x1)+g(x2)0，与g(x1)+g(x2)0矛盾， x1+x2-10 11、 已知数列an的前n项和为Sn，若a1=2,nan+1=Sn+n(n+1)， 求数列an的通项公式： 令Tn=()Sn，当n为何正整数值时，若对一切正整数n，总有Tnm，TnTn+1；n2求m的取值范围。 解：令n=1，1a2=a1+12，即a2-a1=2， 由
13、a2-a1=2，an+1-an=2nN*，即数列an是以2为首项、2为公差的等差数列， an=2n， nan+1=Sn+n(n+1)nan+1-(n-1)an=an+2nan+1-an=2(n2)， (n-1)an=Sn-1+n(n-1)()Snn(n+1)(n+1)(n+2)，即n2nN*， =T=n+12n2n2n+1S33T1=1=1,T2=T3=，又n2时，TnTn+1，各项中数值最大为，对一2223切正整数n，总有Tnm，m。 2Tn=()12 已知：xN，yN，且 1+n=1 xy当n=3时，求x+y的最小值及此时的x、y的值； *2*若nN，当x+y取最小值时，记an=x，bn=
14、y，求an，bn； 在的条件下，设Sn=a1+a2+L+an，Tn=b1+b2+L+bn，试求lim值 注:1+2+3+L+n=解: Q2222Tn的nnSn1n(n+1)(2n+1). 619+=1, x+y=(x+y)(1+9)=10+y+9x16, xyxyxy当且仅当Qx=4x=4y9x,即时,取等号. 所以,当时, x+y的最小值为16. =xyy=12y=12221nynx1n22(n+1)2, +=1, x+y=(x+y)(+)=n+1+xyxyxyx=n+1yn2x 当且仅当+,即时,取等号. 所以,an=n+1, bn=n(n+1). y=n(n+1)xy1因为Sn=a1+a
15、2+L+an =2+3+L+(n+1)=n(n+3), 2 Tn=b1+b2+L+bn=(1+12)+(2+22)+(3+32)+L+(n+n2) n(n+1)1+n(n+1)(2n+1) =(1+2+3+L+n)+(12+22+L+n2)=261T2=n(n+1)(n+2) 所以limn=. nnS33n13. a11，a12，a18 a21，a22，a28 a81，a82，a88 64个正数排成8行8列, 如上所示：在符合aij(1i8,1j8)中，i表示该数所在的行数，j表示该数所在的列数。已知每一行中的数依次都成等差数列，而每一列中的数依次都成等比数列且a11=若a21=11，a24=
16、1，a32=。 241，求a12和a13的值。 436，联An记第n行各项之和为An，数列an、bn、cn满足an=mbn+1=2(an+mbn)，cn=取值范围。 对中的an，记dn=的项数。 解：q=bn22，且c1+c7=100，求c1+c2+c7的an200(nN)，设Bn=d1d2dn(nN)，求数列Bn中最大项ana211a=， a14=24=2 a112q3 21122a=aq=(+d)q=123224 设第一行公差为d， 1a24=a14q=(+3d)q=1211 解出：d=，q= 2211111 an1=a11n-1=n an8=a18n-1=4n-1=8n 22222a11
17、,a12,a13,a14成等差 a12=1,a13=an1+an818=36n an=2n(1n8,nN) 22b+1bn1-= mbn+1=2(an+mbn) n n+1nm22b1而cn=n cn+1-cn= cn是等差数列 anm(c+c7)7故c1+c2+c7=1 22222(c1+c7)2=c1+c7+2c1c72(c1+c7)=200 An=-102c1+c7102 c1+c2+c7-352,352 dn=200n是一个正项递减数列 12dn1时BnBn-1，dn1时BnBn-1 1n2001dn12Bn中最大项满足 1d1n+1n+120012解出：6.643n7.643 nN,
18、 n=7，即Bn中最大项的项数为7项. 14、 在不等边ABC中，设A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知sinA，sinB，sinC依次成等差数列，给定数列222cosAcosBcosC， abc试根据下列选项作出判断，并在括号内填上你认为是正确选项的代号 A是等比数列而不是等差数列 B是等差数列而不是等比数列 C既是等比数列也是等差数列 D既非等比数列也非等差数列 证明你的判断 解：B 因为sinA、sinB、sinC成等差数列，所以2sinB=sinA+sinC， 232222所以2b=a+c222又cosBa2+c2-b2=b2abc，cosAb2+c2-a2=a2abc，cosCa
19、2+b2-c2= c2abc2cosBcosAcosCcosAcosBcosC=+，即、成等差数列若其为等比数列，bacabccosAcosBcosC=有，所以tanA=tanB=tanC，A=B=C，与题设矛盾 abc显然 15、 设有f(x)=x,方程f(x)=xa(x+2)唯一解,已知f(xn)=xn+1(nN*),且f(x1)=1. 1004求数列xn的通项公式； 224-4013xnan+1+an若an=,且bn=(nN*)，求和：Sn=b1+b2+bn； xn2an+1anm*是否存在最小整数m，使得对任意nN，有f(xn)成立，若存在，求出m2008的值，若不存在，说明理由. 解
20、：因方程f(x)=x有唯一解，可求a=12x从而得到f(x)=. 2x+2f(x1)=2x1112,即=x1=1004x1+2100420072xn111又由已知f(xn)=xn-1;=xn-1xn0=+xn+2xn+1xn2111数列是首项为，公差为的等差数列， 2xnx112+(n-1)x111故=, +(n-1)=xnx122x12x12所以数列xn的通项公式为xn=. =(n-1)x1+2n+2006111-). Sn=n+1-将xn代入an可求得an=2n1，所以bn=1+( 2n-12n+12n+1m对nN*恒成立， Qf(xn)=xn-1max即可,而max=. 2008n+20
21、07n+20071+20072008m2,m2,故存在最小的正整数m=3. 即要2008200816(本题满分16分) 已知Sn是正数数列an的前n项和，S12，S22、Sn2 ，是以3为首项，以1为公差的等差数列；数列bn为无穷等比数列，其前四项之和为120，第二项与第四项之和为90。 (1)求an、bn； (2)从数列11中能否挑出唯一的无穷等比数列，使它的各项和等于2。若能的话，请bnS6写出这个数列的第一项和公比?若不能的话，请说明理由。 (1)Sn是以3为首项，以1为公差的等差数列；所以Sn2=3+(n1)=n+2 因为an0，所以Sn=n+2(nN)，当n2时，an=SnSn1=n
22、+2n+1，又a1=S1=3，n=13所以an=(nN) ，设bn的首项为b1，公比为q，则有n+2-n+1n13b1=3b1q+b1q=90n ，所以，所以bn=3(nN)， 2q=3b1+b1q=301111n=，设可以挑出一个无穷等比数列cn，首项为c1=p，公比为k，(p、kN)， 33bn31p111111它的各项和等于2=，则有3=，所以p=1k， 当pk时3p3pk=8，13838S681-k3(2)即3pk(3k1)=8， 因为p、kN，所以只有pk=0，k=2时，即p=k=2时，数列cn的各项和为1。当pp右边含有3的因数，而左边非3的倍数，不存在2S6111p、kN，所以唯
23、一存在等比数列cn，首项为，公比为，使它的各项和等于2。 99S617、 2qcotq=0的两根为a,b，且0q2p，若数列关于x的方程x+xsin2q-sin2n111111,+,+LL,+，的前100项和为0，求q的值。 ababab11110011a+b-1a+b=111a+b=0+=-1=-1， abab111+11+-1abab100解：S100q=-1sinq=-a+b=-sin2q,ab=-sinqcotq=-cosq，2sin0q0，其前n项和为Sn，且满足a2a3=45,a1+a4=14， 求数列an的通项公式； Sn 通过bn=构造一个新的数列bn，是否存在一个非零常数c，
24、使bn也为等差n+c数列； bn(nN*)的最大值。 (n+2005)bn+1解：等差数列an中，公差d0， 求f(n)=a2a3=45a2a3=45a2=5d=4an=4n-3。 a1+a4=14a2+a3=14a3=912nn-S1n(1+4n-3)12Sn=，令c=-，即得=2nn-，bn=n=2n+cn+c22bn=2n， 数列bn为等差数列，存在一个非零常数c=-11， 2005n+200622005+2006n45-2005-2005-44=89-22005=7921-80200，即 459=。 45-20052005-44， n=45时，f(n)有最大值20504618860f(
25、n)=bnn=(n+2005)bn+1(n+2005)(n+1)()19、本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分。 已知函数f(x)=3x2+bx+1是偶函数，g(x)=5x+c是奇函数，正数数列an满足an=1,f(an+an+1)-g(an+1an+an)=1 求an的通项公式； 若an的前n项和为Sn，求limSn. n2解：f(x)=3x2+1 g(x)=5x (an+1+an)(3an+1-2an)=0， limsn=nan+122=，an=n-1 3an3121-3=3 20、本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分, 第3小题满分8分。 2已知公比为q
26、(0q1)，使得limSn存在且不等于零。 nnm设bi为数列T(i)的第i项，Sn=b1+b2+L+bn：求Sn的表达式，并求正整数m(m1)，使得limSn存在且不等于零。 nnma1a1=31-q=9 (1)依题意可知,22。 q=a811=3251-q2(2)由(1)知,an=33n-1,所以数列T(2)的的首项为t1=a2=2,公差d=2a2-1=3, 1S2007=20072+200720063=6043077,即数列的前2007项之和为6043077。 22(3) bi=ai+(i-1)(2ai-1)=(2i-1)ai-(i-1)=3(2i-1)32n(n-1)Sn=45-(18
27、n+27)-； 23ni-1-(i-1)； 由bnbn-1，解得n=2， bnbn+1计算可得b1=3,b2=5,b3=1429453,b4=,b5=,b6=-bn+1，所以Sn当n=5时取最大值。 Sn4518n+272n(n-1)limm=limm-， -mmnnnnn2n3n当m=2时，limSnSn1m2lim=，当时，=0，所以m=2。 mnnmn2ni-12bi=ai+(i-1)(2ai-1)=(2i-1)ai-(i-1)=3(2i-1)32n(n-1)； Sn=45-(18n+27)-32n-(i-1)； Sn4518n+272n(n-1)limm=limm-， -mmnnnnn2n3n当m=2时，limSnSn1m2lim=，当时，=0，所以m=2。 mnnmn2n
